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广东省汕头市金山中学、广州六中、佛山一中、中山一中2024届高三数学上学期四校期中联考试题（Word版附答案）
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这是一份广东省汕头市金山中学、广州六中、佛山一中、中山一中2024届高三数学上学期四校期中联考试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了已知，若，且，则，故选D．等内容，欢迎下载使用。
汕头市金山中学、中山市第一中学
试卷总分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第一部分 选择题（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则A∩B= ( )
A. AB. BC. ∁RAD. ∁RB
2.已知向量，，若，则m的值为( )
A. -6B. -4C. 0D. 6
3.若函数fx=ax-3,x≥4,-ax+4,x<4(a>0,a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围为( )
A. 0,1∪1,54B. 1,54C. 0,45D. 45,1
4.若复数z满足(1+i)z=1+i，则 z 的虚部为( )
A. - 2iB. - 22C. 22iD. 22
5.数列{an}满足a1=2019，且对∀n∈N*恒有an+3=an+2n，则a7=( )
A. 2037B. 2035C. 2023D. 2021
6.如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB//α，设α与SM交于点N，则SMSN的值为( )
A. 43 B. 32 C. 23 D. 34
已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，且f(x)为偶函数，f(π6)=-2，
且3f(x)csx+f’(x)sinx>0，则不等式f(x+π2)cs3x-14>0的解集为( )
A. (-π3,+∞)B.(π3,+∞)C. (-2π3,π3)D. (-2π3,+∞)
8.已知函数f(x)= 3sin2ωx2+12sinωx- 32(ω>0)，若f(x)在π2,3π2上无零点，则ω的取值范围是( )
A. (0,29]∪[89,+∞)B.(0,29]∪[89,1]C. (0,29]∪[23,89] D. (29,89]∪[1,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。每小题有多项符合题目要求）
9.若{an}是公比为q的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是( )
A. 若{an}是递增数列，则q>1
B. 若a1>0，0C. 若q>0，则S4+S6>2S5
D. 若bn=1an，则{bn}是等比数列
10.已知，若，且，则( )
A. B. 在上的投影向量的坐标为
C. D.
11.定义为a,b中较大的数，已知函数，给出下列结论，
其中正确的是( )
A. 的值域为
B. 是周期函数
C. 图象既有对称轴又有对称中心
D. 不等式的解集为{x|}
第二部分非选择题（90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知y=f(x)-x2为奇函数，且f(1)=3，则f(-1)= ．
14.设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2-csn3π，则a6= ．
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+3c的最小值为 ．
16.设fx=lnx,0四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
若y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象；若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π6,0)，求θ的最小值．
18.(本小题12分)
已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=2，且a1,a3,a9成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)数列bn满足b1=12,1bn-1bn-1=an，求数列bn的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为等边三角形．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若P-AD-B的大小为120°，求二面角A-PB-C的正弦值．
20.(本小题12分)
已知函数e为自然对数的底数
若函数在处的切线平行于x轴，求函数的单调区间；
若函数在上有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜．如图，平面镜宽BC为2 m，某人在A点处观察到自己在平面镜中所成的像为A'，且仅当线段AA'与线段BC交于点D(异于B，C)时，此人能在镜中看到自己的像．已知∠BAC=π3．
(1)若在A点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围；
(2)求某人在A处与其在平面镜中的像的距离AA' 的最大值．
22、(本小题12分)
设函数，，
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：；
(3)证明：
2024届高三级11月四校联考
数学 答案
简答：1、A 2.D 3.C 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9. BD 10.ACD 11.BD 12.ABC
13.-1 14.212 15.7+4√3 16. 6；22,452
详解：3.C解：因为y=-ax+4是减函数，且fx是R上单调函数，根据题意，fx为R上的单调减函数；
故可得 04.D 解：由(1+i)z=|1+i|= 2，得z= 21+i= 2(1-i)(1+i)(1-i)= 22- 22i，z的虚部为 22．故选 D．
5.A解：因为an+3-an=2n，a1=2019，所以a7=a7-a4+a4-a1+a1=24+2+2019=2037．
6.B解：连接 MB 交 AC 于点 D ，连接 ND,NA,NC ，则平面 NAC 即为平面 α ，
因为 SB//α ，平面 SMB∩α=DN ， SB⊂ 平面 SMB ，所以 SB//DN ，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以 ∠ABM=∠BMC=∠MBC=∠BAC=30∘ ， MC=BC=12AB ，
所以 MC//AB 且 MC=12AB ，所以 DMDB=MCAB=12 ，
又 SB//DN ，所以 MNSN=DMDB=12 ，所以SMSN=32 ．故选：B．
7.D解：令g(x)=f(x)sin3x，g'(x)=3f(x)sin2xcsx+f'(x)sin3x=sin2x[3f(x)csx+f'(x)sinx]≥0，
所以g(x)在R上单调递增．又因为f(x)为偶函数，所以f(-π6)=f(π6)=-2，所以g(-π6)=(-12)3f(-π6)=14，g(x+π2)=f(x+π2)sin3(x+π2)=f(x+π2)cs3x，所以不等式f(x+π2)，cs3x-14>0等价于g(x+π2)>g(-π6)，则x+π2>-π6，解得x>-2π3，所以不等式f(x+π2)cs3x-14>0的解集为(-2π3,+∞).故选D．
8.C解：f(x)= 3sin2ωx2+12sinωx- 32= 32(1-csωx)+12sinωx- 32=12sinωx- 32csωx
=sin(ωx-π3)，若π2所以(3ωπ2-π3)-(ωπ2-π3)⩽T2=πω，则ω2⩽1，又ω>0，解得0<ω⩽1，
又kπ⩽ωπ2-π3(k+1)π⩾3ωπ2-π3(k∈Z)，解得2k+23⩽ω⩽23k+89(k∈Z)，
由2k+23⩽23k+892k3+89>0(k∈Z)，解得-43所以k=0或k=-1，当k=0时，23⩽ω⩽89，当k=-1时，结合0<ω⩽1，可得0<ω⩽29，
∴ω∈(0,29]∪[23,89]．故选C．
9.BD解：A选项中，a1=-2，q=1/3满足{an}单调递增，故A错误；
B选项中，若a1>0，00且anan-1=q∈(0,1)，所以{an}单调递减，故B正确；
C选项中，若a1=1，q=12，则a6D选项中，bn+1bn=anan+1=1q(q≠0)，所以{bn}是等比数列．故选BD．
10、ABD解:A项两边平方，亦可注意到三个向量构成的三角形为底角为30度的等腰三角形，故A正确；
B项在上的投影向量的坐标应为，故B错误；
易验证，，故C、D都正确.
11.BD解：作出函数的图象：
由图可知，值域为，故A错；因为是以为最小正周期的周期函数，B正确；由图可知，C错误;时，，D正确．
12.ABC.令x=y得f(0)=0,又得f(x)是奇函数，A正确
设-1故f(x)是增函数,B正确；
由，C正确；
由 ,D错误.
13.-1．解：由题意，y=f(x)-x2为奇函数，可得f(1)-12=-[f(-1)-(-1)2]，∴f(-1)=2-f(1)=-1．
(36-1)-(25-12)=212，
15. 7+43.解：由S△ABC=S△ABD+S△CBD，得12acsin120∘=12csin60∘+12asin60∘，得ac=a+c，即1a+1c=1．
所以4a+3c=(4a+3c)1a+1c=7+4ac+3ca≥7+43，当且仅当c=2a时取等号．
16.6；22,452 ．解：作出图象如下：可知当 m=ln2 时， y=m 与函数 fx 有三个不同的交点，其中一根为2，另两根关于x=2对称 ，故这三个根之和为4+2=6 ；
∵ 2∴ fx 在 2,4 与 0,2 上的图象关于 x=2 对称，
可得 x1+x4=x2+x3=4 ， -lnx1=lnx2 ，∴ x1x2=1 ．
∴ x1=1x2 ， x4=4-1x2 ， x3=4-x2 ，∴ x1+x22+x32+x42=1x22+x22+2+4-x22+4-1x22
=2(x2+1x2)2-8(x2+1x2)+30 ， x2∈1,2 ，令 t=x2+1x2∈(2,52) ，
则原式化为： ht=2t2-8t+30 ， t∈(2,52) ，其对称轴 t=2 ，开口向上，故 ht 在 2,52 递增，
∴ 22四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：(I)根据y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象知，
最小正周期T=11π12-(-π12)=π，∴ω=2πT=2，且A=2． ……………2分
又(-π12,0)在图像上，可得2⋅(-π12)+φ=kπ,k∈Z，∴φ=π6+kπ,k∈Z
又∵|φ|<π2， ∴φ=π6， ……………4分
∴fx=2sin(2x+π6) ; ……………5分
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，
得到y=g(x)=2sin[2(x+θ)+π6]=2sin(2x+2θ+π6)的图象， ……………6分
若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π6,0)，则2·5π6+2θ+π6=kπ, k∈Z．……………8分
即θ=kπ2-11π12, k∈Z ……………9分
∵θ>0 ，∴取k=2，θ的最小值为π12． ……………10分
18.解：(1)设数列an的公差为d，d≠0，
由a1=2，且a1,a3,a9成等比数列，可得a32=a1a9， ……………1分
即(2+2d)2=22+8d，解得d=2或d=0(舍去) ……………3分
∴an=2n． ……………4分
(2)由(1)得1bn-1bn-1=2n， ……………5分
∴1bn-1-1bn-2=2(n-1), ⋯, 1b2-1b1=2×2，
将它们累加得：1bn-1b1=n2+n-2, 1bn=n2+n. ……………7分
∴bn=1n2+n，n≥2， ……………8分
易知n=1时，b1=12也符合上式， ……………9分
所以bn=1n2+n=1n(n+1)=1n-1n+1，n∈N*， ……………10分
所以Sn=1-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1． ……………12分
解：(1)证明：取AD的中点O，连接OB，OP，BD， ……………1分
∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵BD=AB，∴OB⊥AD， ……………2分
又OP∩OB=O，OP、OB⊂平面POB，则AD⊥平面POB， ……………3分
∵PB⊂平面POB，∴AD⊥PB． ……………4分
(2)由(1)知P-AD-B的平面角为∠POB，∴∠POB=120°， ……………5分
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1, 0, 0), B(0, 3, 0),
C(-2, 3, 0), P(0, - 32, 32)， ……………6分
设平面PAB的法向量为n1=(x1, y1, z1)，
∵AP=(-1, - 32, 32), AB=(-1, 3, 0)，
∴n1⋅AP=-x1- 32y1+32z1=0, n1⋅AB=-x1+ 3y1=0,
取x1=3可得n1=(3, 3, 3)， ……………8分
设平面PBC的法向量为n2=(x2, y2, z2)，∵CB=(2, 0, 0), CP=(2, -32 3, 32)，∴n2⋅CB=2x2=0, n2⋅CP=2x2-32 3y2+32z2=0,
取y2=1可得n2=(0, 1, 3)， ……………10分
∴cs〈n1⋅n2〉=n1⋅n2|n1|⋅|n2|= 3+3 3 21×2=2 77， ……………11分
故二面角A-PB-C的正弦值为 1-2 772= 217． ……………12分
解：，， ……………1分
又函数在处的切线平行于x轴，
则，即，解得 ……………2分
此时，令，解得，
当时，单调递增; ……………3分
当时，单调递减. ……………4分
的单调递增区间为，单调递减区间为 ……………5分
令，，， ……………6分
令，得
当时，单调递增;当时，单调递减，
故在处取得极大值 ……………8分
又， ……………9分
要使在上有两个零点，只需，即， ……………11分
解得故实数a的取值范围为 ……………12分
21、解：(1)因为线段AA'与线段BC交于点D(异于B，C)，所以B，C∈0,π2，
又因为∠BAC=π3，所以C=2π3-B∈π6,π2， ……………1分
即tanC∈ 33,+∞， ……………2分
由正弦定理，ACAB=sinBsinC=sin2π3-CsinC=12+ 32tanC， ……………4分
12+ 32tanC∈12,2即ACAB的取值范围为12,2． ……………6分
(2)易知AA'=2AD，
又由三角形ABC的面积S=12BC⋅AD=12AB⋅AC⋅sin∠BAC，
可得AD= 34AB⋅AC， ……………7分
由余弦定理，得BC2=4=AB2+AC2-2AB·AC·cs∠BAC≥2AB·AC-AB·AC=AB·AC，…………9分
解得AB·AC≤4，当且仅当AB=AC=2时，等号成立， ……………10分
所以AD= 34AB⋅AC≤ 3， ……………11分
即AA'的最大值为2 3． ……………12分
答：(1)ACAB的取值范围为12,2；(2)AA'的最大值为2 3．
22.(1)当时，函数，； ………………1分
时，；
当时，，； ………………2分
时，令,则增， ………………3分
存在，又，
时，，减，有，时，，增，亦有，
所以时，恒有，即；
即当时，， ………………5分
又，，即当时，， ……6分
因，当时，， ………………7分
令，，，，
，. ………………8分
又，，即当时，. ………………9分
由（2）知，当时，有当且仅当时等号成立，
， ……………………10分
则， ……………………11分
故. ………………12分
汕头市金山中学、中山市第一中学
试卷总分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第一部分 选择题（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则A∩B= ( )
A. AB. BC. ∁RAD. ∁RB
2.已知向量，，若，则m的值为( )
A. -6B. -4C. 0D. 6
3.若函数fx=ax-3,x≥4,-ax+4,x<4(a>0,a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围为( )
A. 0,1∪1,54B. 1,54C. 0,45D. 45,1
4.若复数z满足(1+i)z=1+i，则 z 的虚部为( )
A. - 2iB. - 22C. 22iD. 22
5.数列{an}满足a1=2019，且对∀n∈N*恒有an+3=an+2n，则a7=( )
A. 2037B. 2035C. 2023D. 2021
6.如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB//α，设α与SM交于点N，则SMSN的值为( )
A. 43 B. 32 C. 23 D. 34
已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，且f(x)为偶函数，f(π6)=-2，
且3f(x)csx+f’(x)sinx>0，则不等式f(x+π2)cs3x-14>0的解集为( )
A. (-π3,+∞)B.(π3,+∞)C. (-2π3,π3)D. (-2π3,+∞)
8.已知函数f(x)= 3sin2ωx2+12sinωx- 32(ω>0)，若f(x)在π2,3π2上无零点，则ω的取值范围是( )
A. (0,29]∪[89,+∞)B.(0,29]∪[89,1]C. (0,29]∪[23,89] D. (29,89]∪[1,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。每小题有多项符合题目要求）
9.若{an}是公比为q的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是( )
A. 若{an}是递增数列，则q>1
B. 若a1>0，0
D. 若bn=1an，则{bn}是等比数列
10.已知，若，且，则( )
A. B. 在上的投影向量的坐标为
C. D.
11.定义为a,b中较大的数，已知函数，给出下列结论，
其中正确的是( )
A. 的值域为
B. 是周期函数
C. 图象既有对称轴又有对称中心
D. 不等式的解集为{x|}
第二部分非选择题（90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知y=f(x)-x2为奇函数，且f(1)=3，则f(-1)= ．
14.设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2-csn3π，则a6= ．
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+3c的最小值为 ．
16.设fx=lnx,0
17.(本小题10分)
若y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象；若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π6,0)，求θ的最小值．
18.(本小题12分)
已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=2，且a1,a3,a9成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)数列bn满足b1=12,1bn-1bn-1=an，求数列bn的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为等边三角形．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若P-AD-B的大小为120°，求二面角A-PB-C的正弦值．
20.(本小题12分)
已知函数e为自然对数的底数
若函数在处的切线平行于x轴，求函数的单调区间；
若函数在上有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜．如图，平面镜宽BC为2 m，某人在A点处观察到自己在平面镜中所成的像为A'，且仅当线段AA'与线段BC交于点D(异于B，C)时，此人能在镜中看到自己的像．已知∠BAC=π3．
(1)若在A点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围；
(2)求某人在A处与其在平面镜中的像的距离AA' 的最大值．
22、(本小题12分)
设函数，，
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：；
(3)证明：
2024届高三级11月四校联考
数学 答案
简答：1、A 2.D 3.C 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9. BD 10.ACD 11.BD 12.ABC
13.-1 14.212 15.7+4√3 16. 6；22,452
详解：3.C解：因为y=-ax+4是减函数，且fx是R上单调函数，根据题意，fx为R上的单调减函数；
故可得 0
5.A解：因为an+3-an=2n，a1=2019，所以a7=a7-a4+a4-a1+a1=24+2+2019=2037．
6.B解：连接 MB 交 AC 于点 D ，连接 ND,NA,NC ，则平面 NAC 即为平面 α ，
因为 SB//α ，平面 SMB∩α=DN ， SB⊂ 平面 SMB ，所以 SB//DN ，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以 ∠ABM=∠BMC=∠MBC=∠BAC=30∘ ， MC=BC=12AB ，
所以 MC//AB 且 MC=12AB ，所以 DMDB=MCAB=12 ，
又 SB//DN ，所以 MNSN=DMDB=12 ，所以SMSN=32 ．故选：B．
7.D解：令g(x)=f(x)sin3x，g'(x)=3f(x)sin2xcsx+f'(x)sin3x=sin2x[3f(x)csx+f'(x)sinx]≥0，
所以g(x)在R上单调递增．又因为f(x)为偶函数，所以f(-π6)=f(π6)=-2，所以g(-π6)=(-12)3f(-π6)=14，g(x+π2)=f(x+π2)sin3(x+π2)=f(x+π2)cs3x，所以不等式f(x+π2)，cs3x-14>0等价于g(x+π2)>g(-π6)，则x+π2>-π6，解得x>-2π3，所以不等式f(x+π2)cs3x-14>0的解集为(-2π3,+∞).故选D．
8.C解：f(x)= 3sin2ωx2+12sinωx- 32= 32(1-csωx)+12sinωx- 32=12sinωx- 32csωx
=sin(ωx-π3)，若π2
又kπ⩽ωπ2-π3(k+1)π⩾3ωπ2-π3(k∈Z)，解得2k+23⩽ω⩽23k+89(k∈Z)，
由2k+23⩽23k+892k3+89>0(k∈Z)，解得-43
∴ω∈(0,29]∪[23,89]．故选C．
9.BD解：A选项中，a1=-2，q=1/3满足{an}单调递增，故A错误；
B选项中，若a1>0，0
C选项中，若a1=1，q=12，则a6
10、ABD解:A项两边平方，亦可注意到三个向量构成的三角形为底角为30度的等腰三角形，故A正确；
B项在上的投影向量的坐标应为，故B错误；
易验证，，故C、D都正确.
11.BD解：作出函数的图象：
由图可知，值域为，故A错；因为是以为最小正周期的周期函数，B正确；由图可知，C错误;时，，D正确．
12.ABC.令x=y得f(0)=0,又得f(x)是奇函数，A正确
设-1
由，C正确；
由 ,D错误.
13.-1．解：由题意，y=f(x)-x2为奇函数，可得f(1)-12=-[f(-1)-(-1)2]，∴f(-1)=2-f(1)=-1．
(36-1)-(25-12)=212，
15. 7+43.解：由S△ABC=S△ABD+S△CBD，得12acsin120∘=12csin60∘+12asin60∘，得ac=a+c，即1a+1c=1．
所以4a+3c=(4a+3c)1a+1c=7+4ac+3ca≥7+43，当且仅当c=2a时取等号．
16.6；22,452 ．解：作出图象如下：可知当 m=ln2 时， y=m 与函数 fx 有三个不同的交点，其中一根为2，另两根关于x=2对称 ，故这三个根之和为4+2=6 ；
∵ 2
可得 x1+x4=x2+x3=4 ， -lnx1=lnx2 ，∴ x1x2=1 ．
∴ x1=1x2 ， x4=4-1x2 ， x3=4-x2 ，∴ x1+x22+x32+x42=1x22+x22+2+4-x22+4-1x22
=2(x2+1x2)2-8(x2+1x2)+30 ， x2∈1,2 ，令 t=x2+1x2∈(2,52) ，
则原式化为： ht=2t2-8t+30 ， t∈(2,52) ，其对称轴 t=2 ，开口向上，故 ht 在 2,52 递增，
∴ 22
17.解：(I)根据y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象知，
最小正周期T=11π12-(-π12)=π，∴ω=2πT=2，且A=2． ……………2分
又(-π12,0)在图像上，可得2⋅(-π12)+φ=kπ,k∈Z，∴φ=π6+kπ,k∈Z
又∵|φ|<π2， ∴φ=π6， ……………4分
∴fx=2sin(2x+π6) ; ……………5分
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，
得到y=g(x)=2sin[2(x+θ)+π6]=2sin(2x+2θ+π6)的图象， ……………6分
若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π6,0)，则2·5π6+2θ+π6=kπ, k∈Z．……………8分
即θ=kπ2-11π12, k∈Z ……………9分
∵θ>0 ，∴取k=2，θ的最小值为π12． ……………10分
18.解：(1)设数列an的公差为d，d≠0，
由a1=2，且a1,a3,a9成等比数列，可得a32=a1a9， ……………1分
即(2+2d)2=22+8d，解得d=2或d=0(舍去) ……………3分
∴an=2n． ……………4分
(2)由(1)得1bn-1bn-1=2n， ……………5分
∴1bn-1-1bn-2=2(n-1), ⋯, 1b2-1b1=2×2，
将它们累加得：1bn-1b1=n2+n-2, 1bn=n2+n. ……………7分
∴bn=1n2+n，n≥2， ……………8分
易知n=1时，b1=12也符合上式， ……………9分
所以bn=1n2+n=1n(n+1)=1n-1n+1，n∈N*， ……………10分
所以Sn=1-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1． ……………12分
解：(1)证明：取AD的中点O，连接OB，OP，BD， ……………1分
∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵BD=AB，∴OB⊥AD， ……………2分
又OP∩OB=O，OP、OB⊂平面POB，则AD⊥平面POB， ……………3分
∵PB⊂平面POB，∴AD⊥PB． ……………4分
(2)由(1)知P-AD-B的平面角为∠POB，∴∠POB=120°， ……………5分
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1, 0, 0), B(0, 3, 0),
C(-2, 3, 0), P(0, - 32, 32)， ……………6分
设平面PAB的法向量为n1=(x1, y1, z1)，
∵AP=(-1, - 32, 32), AB=(-1, 3, 0)，
∴n1⋅AP=-x1- 32y1+32z1=0, n1⋅AB=-x1+ 3y1=0,
取x1=3可得n1=(3, 3, 3)， ……………8分
设平面PBC的法向量为n2=(x2, y2, z2)，∵CB=(2, 0, 0), CP=(2, -32 3, 32)，∴n2⋅CB=2x2=0, n2⋅CP=2x2-32 3y2+32z2=0,
取y2=1可得n2=(0, 1, 3)， ……………10分
∴cs〈n1⋅n2〉=n1⋅n2|n1|⋅|n2|= 3+3 3 21×2=2 77， ……………11分
故二面角A-PB-C的正弦值为 1-2 772= 217． ……………12分
解：，， ……………1分
又函数在处的切线平行于x轴，
则，即，解得 ……………2分
此时，令，解得，
当时，单调递增; ……………3分
当时，单调递减. ……………4分
的单调递增区间为，单调递减区间为 ……………5分
令，，， ……………6分
令，得
当时，单调递增;当时，单调递减，
故在处取得极大值 ……………8分
又， ……………9分
要使在上有两个零点，只需，即， ……………11分
解得故实数a的取值范围为 ……………12分
21、解：(1)因为线段AA'与线段BC交于点D(异于B，C)，所以B，C∈0,π2，
又因为∠BAC=π3，所以C=2π3-B∈π6,π2， ……………1分
即tanC∈ 33,+∞， ……………2分
由正弦定理，ACAB=sinBsinC=sin2π3-CsinC=12+ 32tanC， ……………4分
12+ 32tanC∈12,2即ACAB的取值范围为12,2． ……………6分
(2)易知AA'=2AD，
又由三角形ABC的面积S=12BC⋅AD=12AB⋅AC⋅sin∠BAC，
可得AD= 34AB⋅AC， ……………7分
由余弦定理，得BC2=4=AB2+AC2-2AB·AC·cs∠BAC≥2AB·AC-AB·AC=AB·AC，…………9分
解得AB·AC≤4，当且仅当AB=AC=2时，等号成立， ……………10分
所以AD= 34AB⋅AC≤ 3， ……………11分
即AA'的最大值为2 3． ……………12分
答：(1)ACAB的取值范围为12,2；(2)AA'的最大值为2 3．
22.(1)当时，函数，； ………………1分
时，；
当时，，； ………………2分
时，令,则增， ………………3分
存在，又，
时，，减，有，时，，增，亦有，
所以时，恒有，即；
即当时，， ………………5分
又，，即当时，， ……6分
因，当时，， ………………7分
令，，，，
，. ………………8分
又，，即当时，. ………………9分
由（2）知，当时，有当且仅当时等号成立，
， ……………………10分
则， ……………………11分
故. ………………12分
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