黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了下列计算正确的是，在中，为边上的高，若，则，实数满足等内容，欢迎下载使用。

试题说明：
1.本试题满分150分，答题时间120分钟.
2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则的值是（ ）
A.-2022 B.0 C.1 D.2022
3.已知平面，直线，下列命题中假命题是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.在中，为边上的高，若，则（ ）
A.1 B. C. D.
6.已知的三边分别是，设向量，且，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的奇函数，且当时.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.实数满足：，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知点，下列判断正确的是（ ）
A. B.是直角三角形
C.与的夹角的大小为 D.点为的重心
11.下列说法正确的是（ ）
A.向量能作为平面内所有向量的一组基底
B.已知中，点为边的中点，则必有
C.若，则是的垂心
D.若是的重心，则点满足条件
12.已知函数的定义域为，当时，恒成立，则（ ）
A.在上单调递减
B.在上单调递减
C.
D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则在上的投影向量的坐标为__________.
14.边长为12的正三角形中，为的中点，在线段上且，则__________.
15.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是__________.
16.已知向量，则向量的模的最大值是__________.
四､解答题（本大题共6题，17题10分，其余各题均12分，共70分）
17.余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知分别为内角的对边：
（1）请用向量方法证明余弦定理；
（2）若，其中为边上的中线，求的长度.
18.在中，角的对边分别为.已知.
（1）证明：.
（2）若为的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.如图，在中，与的交点为，过作动直线分别交线段于两点.
（1）用表示；
（2）设.
①求证：；
②求的最小值.
20.如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛位于小岛北偏东距离60海里处，小岛北偏东距离海里处有一个小岛.
（1）求小岛到小岛的距离；
（2）如果有游客想直接从小岛出发到小岛，求游船航行的方向.
21.已知点为线段上的点，点为所在平面内任意一点，，，设.
（1）求证：，并求出的值；
（2）若，求的面积.
22.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若D是AC边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
数学参考答案
1.C
【分析】利用并集的定义直接求解即可.
【详解】集合，所以.
故选：C
2.B
【分析】根据函数为奇函数可求的值.
【详解】的定义域为，定义域关于原点对称.
，故为奇函数，
则.
故选：B.
3.D
【分析】根据线面垂直和面面垂直的性质与判定定理､线面平行的判定定理和性质依次判断选项即可.
【详解】A：，故A正确，
B：，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，
则另一条也垂直于这个平面可知，故B正确；
C：，由面面垂直判定定理可知，故C正确；
D：与互为异面直线或相交，故D错误.
故选：D
4.C
【分析】根据根式､指数运算求得正确答案.
【详解】，选项错误.
选项错误.
选项正确.
选项错误.
故选：C
5.D
【分析】根据题设条件先求出，再利用向量的线性运算得到，由平面向量基本定理可求的值，从而可得正确的选项.
【详解】如图，因为，而为高，故，
又，故，
而不共线，故，所以，
故选：D.
6.B
【分析】利用正弦定理，把已知条件转化为，利用余弦定理及可求出.
【详解】因为，
所以.
由正弦定理得，，
整理得：，
由余弦定理得.
又，所以.
故选：B
7.A
【分析】利用勾股定理可构造方程求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.
【详解】设球的半径为，则，解得：，
球的体积.
故选：A.
8.C
【解析】根据奇偶性和解析式分析函数在定义域内是单调递增，转化为，得恒成立，求参数范围.
【详解】当时，，所以在上单调递增且，
又是定义在上的奇函数，，综上在上单调递增，
由，可得，
则，所以，即对任意的恒成立，所以，
得，
解得.
故选：C
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和单调性解决不等式恒成立求参数范围问题，其中涉及转化与化归思想.
9.ACD
【分析】利用不等式的性质判断A､C，利用特殊值判断B，再利用作差法判断D；
【详解】解：因为，所以，故A正确；
令，满足，此时，故B错误；
因为，所以，所以，故C正确；
因为，则，因为，
所以，即，故D正确；
故选：ACD
10.ABC
【分析】根据题意，结合向量坐标运算依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：因为点
所以，故，A选项正确；
因为，
所以，即是直角三角形，选项正确；
因为，
所以，与的夹角的大小为选项正确；
因为是直角三角形，三角形的重心为三边中线的交点，
所以，点不可能为的重心，故错误；
故选：
11.BC
【分析】对A，根据基底向量不共线判断即可；对，根据基底向量的运用判断即可；对，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对，由重心可得，即可判断
【详解】对，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故错误；
对，根据平面向量基本定理可得中，点为边的中点，则必有，故B正确；
对，由可得，即，故，同理，，故是的垂心，故正确；
对D，若是的重心，则点满足条件，则，故错误；
故选：BC
12.ABC
【分析】利用定义法判断函数单调性，进而可判断CD选项.
【详解】A选项：由，得，所以在上单调递减，A选项正确；
B选项：
，所以在上单调递减，
选项与选项：由选项得，令，则，所以选项正确，选项错误；
故选：ABC.
13.
【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量坐标即可.
【详解】由在上的投影向量为.
故答案为：
14.-72
【分析】以为基底可表示出，由向量数量积定义和运算律可求得结果.
【详解】
，
.
故答案为：-72.
15.
【详解】每个等边三角形面积为，故表面积为，故答案为.
16.
【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求出模的表达式，并化简，根据三角函数的性质求得最大值.
【详解】，
则
当时，有最大值，且为，
故答案为：
17.（1）证明见解析
（2）.
【分析】（1）如图，设，由三角形法则有，利用数量积的性质展开可得，即可得出结论.
（2）如图，由（1）求出的值，两次在不同三角形中利用即可求得结果.
【详解】（1）如图，设，
则有，可得，
，
.
（2）由（1）知，
，
如图，则，
，
在中，
，
解得.
18.（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；
（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.
【详解】（1）已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，
角为中内角，所以.
（2）中，为的中点，如图所示，
（1）①②③
已知，求证.
证明：中，，
解得.
（2）①③②
已知，求证.
证明：，所以中，.
（3）②③①
已知，求证：.
证明：，在中，由余弦定理，
，所以
19.（1）
（2）①证明过程见详解；②.
【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可；
（2）①利用向量的线性运算即可证明；②利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由三点共线可得存在实数，使得
，
同理由三点共线可得存在实数，使得，
所以，解得，
所以.
（2）①设，其中.
所以，则，所以；
②所以，当且仅当时取等号，即时，取得最小值为.
20.（1）海里
（2）游船应该沿北偏东的方向航行.
【分析】（1）三边一角，由余弦定理可以求小岛到小岛的距离；
（2）两边两角，由正弦定理可以求角.
【详解】（1）解：（1）在中，
，根据余弦定理得：
.
所以小岛到小岛的最短距离是海里.
（2）解：（2）根据正弦定理得：
解得
在中，，
为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答：小岛到小岛的最短距离是海里；游船应该沿北偏东的方向航行.
21.（1）证明见解析，
（2）
【分析】（1）在和中用正弦定理可得，在中用正弦定理可得，由得到，从而可得；
（2）由得，代入，求出，得，再根据可求出结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，得，
在中，由正弦定理得，得，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，得，
在中，由正弦定理得，得，
因为，所以行，
所以，
所以，所以，
因为和都是三角形的内角，所以，
所以，所以，
所以.
（2）若，则，
所以，得，
所以，得，
因为，所以，则，
在直角三角形中，，
所以的面积为.
22.（1）；
（2）；
（3）
【分析】（1）先由向量的数量积及余弦定理求得，再由正弦定理化简得，即可求出，进而求出；
（2）直接由两角差的正弦､倍角公式及辅助角公式化简得，再由的范围及正弦函数的单调性求解即可；
（3）先由结合余弦定理得，令，借助辅助角公式得，求出取最大值时的值，即可计算面积.
【详解】（1）由，，
则，由正弦定理得，化简得，
故，又，故；
（2）由（1）知，，故
，
又，则，，故；
（3）
易得，由，可得，
整理得，又，整理可得，令，
则，其中，当，即时，取最大值，
此时，解得，
的面积为.