2023-2024学年重庆市第十一中学校高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市第十一中学校高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：C
2．全称量词命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“”否定是“”.
故选：A
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据解析式的特征，直接列式即可得解.
【详解】因为，
所以，解得且.
所以函数的定义域是.
故选：D.
4．若函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域.
【详解】令，则，，
因为，
所以，
则，
故选：D.
5．设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使的的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的图象特征补全的图象，从而结合图象即可得解.
【详解】因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称，
由在上的图象，知它在上的图象，如图所示，
所以使的的取值集合为.
故选：B.
6．若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据特殊值以及基本不等式求得正确答案.
【详解】当时，，，，
所以，，，ABC选项错误.
，
当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：D
7．设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求出命题为真命题时，进而判断出答案.
【详解】由题意得对恒成立，
其中，
故在处取得最大值，最大值为4，故，
即命题为真命题时，
由于，但，
故则“”是“命题为真命题”的充分不必要条件.
故选：A
8．已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
所以，，
所以，可化为，
因为在R上是减函数，所以，
所以问题转化为，使成立，即，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，取得最大值，
所以，即.
故选：B.
二、多选题
9．下列各项中，与表示的函数相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.
【详解】对于A，，定义域为R，，定义域为R，
但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误；
对于B，由得，故的定义域为，
由得，故的定义域为，
又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确；
对于C, 定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误；
对于D，，，两函数相等，故D正确.
故选：BD.
10．若集合，若，则实数可能是（ ）
A．B．1C．2D．5
【答案】ABC
【分析】解不等式求得集合，根据求得的取值范围，进而求得正确答案.
【详解】由解得，所以，
由于，所以，
所以ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是B．函数的最小值是2
C．函数的最小值是6D．若，则的最小值是8
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，对于函数，
，
当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项，对于函数，，
，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，由基本不等式得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：ACD
12．德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．图象关于直线对称D．图象关于点对称
【答案】BC
【分析】AB选项可根据题意直接得到，C可分为有理数和无理数两种情况推导；D选项，可举出反例.
【详解】A选项，因为0为有理数，故，A错误；
B选项，由题意得的值域为，B正确；
C选项，当为有理数时，，此时图象关于直线对称，
当为无理数时，，此时图象关于直线对称，
综上，图象关于直线对称，C正确.
D选项，由于，且不关于对称，D错误.
故选：BC
三、填空题
13．设函数，则 ．
【答案】6
【分析】代入分段函数解析式求解即可.
【详解】由题意，.
故答案为：6
14．重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ．
【答案】
【分析】根据集合的知识求得正确答案.
【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，
则，解得.
故答案为：
15．已知实数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以 ，故
所以的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的取值范围 .
【答案】
【解析】先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.
【详解】若，当时，恒成立；
当时，由得；即仅有一个根；
所以由可得，则；即方程仅有一个实根；
故不满足有8个不同的实根；
若时, 画出的大致图象如下，
由可得，，，
又有8个不同的实根，
由图象可得，显然有三个根，显然有两个根，
所以必有三个根，而，，
为使有三个根，只需，解得；
综上可知，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、问答题
17．设，集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到和或，利用交集概念求出答案；
（2）根据交集为空集得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1），
时，，故或，
故或；
（2）显然，
因为，所以或，解得或，
故实数的取值范围为.
18．已知函数（为实数），，且_________．
请在下列三个条件中任选一个，补充在题中的横线上，并解答.
①；②的值域为；③的解集为；
(1)求的解析式；
(2)当时，是单调函数，求实数的取值范围；注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选①②③ ，答案均为
(2)
【分析】（1）选①，得到方程组求出，，求出解析式；选②，根据函数值域及得到方程组，求出解析式；选③，由二次函数图象分析得到，结合得到，，求出答案；
（2）转化为在上单调，结合函数对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】（1）选①，，
因为，所以，解得，
故；
选②，的值域为，即
由于，所以，
解得，故；
选③，的解集为，故，
由于，所以，即，
故，
解得，故，解析式.
（2）在上单调，
其中的对称轴为，
故需满足或，
解得或，
故实数的取值范围是.
五、证明题
19．已知函数．若为R上的奇函数且.
(1)求；
(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】(1)，；
(2)单调递增，证明见解析.
【分析】（1）根据给定的函数式，利用奇函数的定义求出b，由求出a即得.
（2）由（1）求出并判断单调性，再利用定义证明即得.
【详解】（1）由为R上的奇函数，得，即，则，解得，
又，则，解得，
所以，.
（2）由（1）知，则，
函数在上的单调递增，
，，
因为，则，，有，即，
所以函数在上的单调递增.
六、应用题
20．我校在一个月内分批购入每张价值为200元的书桌共360张，若每批都购入台（是正整数），且每批均需付运费400元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比.若每批购入40张书桌，则该月需用的运费和保管费共5200元．
(1)求该月购入书桌时需用的运费和保管费的总费用；
(2)为使得该月购入书桌所需的运费和保管费最少，应如何安排每批进货的数量？
【答案】(1)，
(2)每批进货的数量为
【分析】（1）假设题中比例为，由题意列出关于的表达式，再代入已知条件求得，从而得解.
（2）结合（1）中解析，利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）设题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批书桌价值元，
则，，
因为当时，，所以，解得，
所以，.
（2）由（1）可得：（元）
当且仅当，即时，等号成立，
所以每批进货的数量为.
七、解答题
21．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【答案】(1)a＝﹣1，b＝2
(2)见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】（1）由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，
所以，解得a＝﹣1，b＝2；
（2）当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，
即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，
当即时，解集为；
当即时，解集为或；
当即时，解集为或.
八、问答题
22．对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“最美区间”.
(1)求函数的“最美区间”；
(2)若存在最美区间函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出，，结合在上单调递增，得到，，求出，，得到答案；
（2）根据在上单调递增，得到，转化为为方程在上两个不等的实根，且，换元后结合二次函数的图象，求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，在上的值域为，故，
因为，所以，
故在上单调递增，
所以，即，解得或0（舍去），所以，
同理，解得或1（舍去），
综上，的“最美区间”是；
（2）令，解得，
故的定义域为，
且在上单调递增，
故，，
即为方程在上两个不等的实根，且，
所以，令，
所以在上有两个不等实跟，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
故实数的取值范围是．