2023-2024学年江西省铜鼓中学高一上学期阶段性测试（一）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省铜鼓中学高一上学期阶段性测试（一）数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，且的真子集的个数是（ ）
A．32B．31C．16D．15
【答案】D
【分析】化简集合，再由真子集个数公式可得.
【详解】由得且，又，
则，
其子集个数共有，除去集合本身，
则其真子集个数为，
故选：D.
2．设，集合，，若，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【分析】按照集合相等的定义，计算可求解.
【详解】，，.
故选：C
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】若，则未必成立，如时，．
若，则，则一定成立．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
4．已知集合，，，则集合M，S，P的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过整理集合中的表达式，由此确定正确答案.
【详解】∵，
，
，
因为，所以，
∴.
故选：B.
5．下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的基本性质结合作差比较大小逐一判断即可.
【详解】对于A选项：令，但，故A选项错误，
对于B选项：令，不妨取，但此时不成立，故B选项错误，
对于C选项：若，则，所以，故C选项正确，
对于D选项：令，但，故D选项错误.
故选：C.
6．命题，都有，则（ ）
A．是假命题，B．是真命题，
C．是假命题，D．是真命题，
【答案】B
【分析】根据函数的单调性可判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是特称量词命题可写出命题的否定.
【详解】当时，函数单调递减，故是真命题．
根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得：
，使得．
故选：．
7．已知集合且，则下列判断不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知集合表示奇数集，集合表示偶数集，是奇数，是偶数，然后依次对，，，进行判断即可得出结果.
【详解】根据集合可知，
集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数；
对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确；
对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确；
对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确；
对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误；
故选：D
8．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，
所以
当且仅当，即时，等号成立．
故选：D．
二、多选题
9．设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】先求出，再得到，分与，求出相应实数的值.
【详解】，
因为，所以，
当时，，满足要求，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上：实数的值可以为或.
故选：ABC
10．下列不等式正确的有（ ）
A．若，则函数的最小值为2
B．最小值等于4
C．当
D．函数最小值为
【答案】CD
【分析】利用基本不等式的性质和对勾函数单调性依次判断选项即可.
【详解】对选项A，，令，则，，，
根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，，故A错误；
对选项B，当时，根据对勾函数的单调性知：为减函数，所以，故B错误；
对选项C，因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对选项D，，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：CD.
11．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
【答案】ABD
【分析】根据充分条件与必要条件，逐一检验，可得答案.
【详解】对于A，由不等式，则或，所以，但，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，由，则且；
当，时，则，显然，，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，“，有”的否定是“，使”，故C错误；
对于D，根据方程实数根的定义，故D正确.
故选：ABD.
12．下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是
B．当时，的最小值是
C．当时，的最大值是
D．若正数满足，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式，并结合其取等条件依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，
，即无解，取等条件不成立，A错误；
对于B，当时，，（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，B正确；
对于C，当时，（当且仅当，即时取等号），
的最大值为，C正确；
对于D，，，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．若，为假命题，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得，为真命题，结合判别式即可求得答案.
【详解】因为，为假命题，
故，为真命题，
故，解得，
即的取值范围为
故答案为：
14．已知，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故当时，的最大值为.
故答案为：.
15．设集合，集合，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先得到，从而由交集为空集得到的取值范围.
【详解】由题意得，故，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：
16．若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式化为，讨论的取值范围，确定不等式的解集，根据题意确定解集中仅有的四个整数，由此列出关于的相应的不等式，求得的取值范围.
【详解】由，可得，
当，即时，不等式的解集为，
若满足解集中仅有四个整数，为，则，
此时，又，所以，
②当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，为，则，
此时，与矛盾，不符合题意；
③当时，即，不等式的解集为，不符合题意；
④当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，可能为，或，
当整数解为时，，且，无解，
当整数解为时， 且，解得，
当整数解为时，且，无解；
综上，实数的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
17．已知全集，集合．
(1)求,；
(2)已知集合，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可得到本题答案；
（2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案.
【详解】（1）全集，集合；
∴；
，
∴；
（2）∵，
又集合，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
18．已知命题，；命题，.
(1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或或
【分析】（1）根据判别式即可求解,
（2）分别求解为真命题时的范围，即可分两种情况求解.
【详解】（1）由题意可知，得或
（2）命题p为真命题时，
若时，显然满足，
当时，则，解得，
综上可得p为真命题时，；
当命题p真q假时，，解得；
当命题p假q真时，得或
所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或.
19．设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知解关于的不等式
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，转化为对一切实数恒成立，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，求得的两个根为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，，不满足题意；
当时，则满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：由不等式，即，
方程的两个根为，
①当时，不等式的解集为
②当时，不等式的解集为
③当时，不等式的解集为.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，解集为.
20．已知不等式的解集是．
(1)求常数的值；
(2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集为，可得，从而可求出m的取值范围.
【详解】（1）因为不等式的解集是．
所以,且和3是方程的解，
把代入方程解得．
经验证满足题意.
（2）若关于的不等式的解集为，
即的解集为，
所以，解得，
所以m的取值范围是.
21．若二次函数满足.
(1)求的解析式;
(2)若函数在区间[1，4]上不单调，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出函数的解析式，利用已知条件，列出方程组求解，得到函数的解析式；
（2）通过与的范围，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】（1）设，则，
所以，
所以化简可得：，
则有：，解可得：，
所以.
（2）函数，
当时，函数，
此时函数的对称轴为，
当时，函数，此时函数的对称轴为，
因为在区间[1，4]上不单调，只需.
故实数t的取值范围为：.
22．设某水库的最大蓄水量为，原有水量为，泄水闸每天泄水量为，在洪水暴发时，预测注入水库的水量（单位：）与天数n（，）的函数关系是．若山洪暴发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由．（水库蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险）
【答案】第9天会有危险
【分析】根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第天会有危险.
【详解】设第n天发生危险，由题意得，
整理得，解得或（舍去），
且，，可得的最小值为9，
所以汛期的第9天会有危险.