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中考数学二轮培优复习几何专项练习：胡不归（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份中考数学二轮培优复习几何专项练习：胡不归（2份打包，原卷版+含解析），文件包含中考数学二轮培优复习几何专项练习胡不归原卷版doc、中考数学二轮培优复习几何专项练习胡不归含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG= SKIPIF 1 < 0 PC；当A、P、G在同一直线时，AP+ SKIPIF 1 < 0 PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG= SKIPIF 1 < 0 PC，由勾股定理得PG= SKIPIF 1 < 0 PC，
∴AP+ SKIPIF 1 < 0 PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，
∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF= SKIPIF 1 < 0 CF，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CF=OF-OC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴GF= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AG=AF-FG= SKIPIF 1 < 0 ，
即AP+ SKIPIF 1 < 0 PC的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+ SKIPIF 1 < 0 PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝ SKIPIF 1 < 0 AC，则 SKIPIF 1 < 0 ，即当点 SKIPIF 1 < 0 ，点C，点H三点共线时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AO＝3， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
作点B关于OA的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵CH⊥AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当点 SKIPIF 1 < 0 ，点C，点H三点共线时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴2BC＋AC的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
3．如图，▱ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= SKIPIF 1 < 0 DP，因此 SKIPIF 1 < 0 PD+2PB=2( SKIPIF 1 < 0 DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 SKIPIF 1 < 0 PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵PH丄AD
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，HP+PB有最小值，即 SKIPIF 1 < 0 有最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
【答案】4 SKIPIF 1 < 0
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PA+2PB＝2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则 SKIPIF 1 < 0 PC＋PB的最小值为 ．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD SKIPIF 1 < 0 PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PD SKIPIF 1 < 0 PB，
∴ SKIPIF 1 < 0 PC+PB SKIPIF 1 < 0 （PC SKIPIF 1 < 0 PB） SKIPIF 1 < 0 （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD SKIPIF 1 < 0 AC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
即PC+PD的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 PC+PB的最小值为 SKIPIF 1 < 0 4，
故答案为：4．
6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC SKIPIF 1 < 0 ，E为线段AB上一动点，连接CE，则 SKIPIF 1 < 0 AE＋CE的最小值为 ．
【答案】3
【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ET SKIPIF 1 < 0 AE，推出 SKIPIF 1 < 0 AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ET SKIPIF 1 < 0 AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴CH＝AC•sin6°＝2 SKIPIF 1 < 0 3，
∵ SKIPIF 1 < 0 AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴ SKIPIF 1 < 0 AE+EC≥3，
∴ SKIPIF 1 < 0 AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+ SKIPIF 1 < 0 BM的最小值为 ．
【答案】4 SKIPIF 1 < 0
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝ SKIPIF 1 < 0 BM，于是可得AM+ SKIPIF 1 < 0 BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，
∴MH＝ SKIPIF 1 < 0 BM，
∴AM+ SKIPIF 1 < 0 BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AM+ SKIPIF 1 < 0 BM≥4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AM+ SKIPIF 1 < 0 BM的最小值为4 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：4 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
8．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE= SKIPIF 1 < 0 PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值= SKIPIF 1 < 0 AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE= SKIPIF 1 < 0 PD，
∵2PB+ PD=2（PB+ SKIPIF 1 < 0 PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值= SKIPIF 1 < 0 AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
9．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点D作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，首先通过勾股定理及 SKIPIF 1 < 0 求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后通过锐角三角函数得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用 SKIPIF 1 < 0 即可求值．
【详解】解：如图，过点D作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍弃），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （等腰三角形两腰上的高相等）
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
二、解答题
10．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴从左至右依次交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点（不含端点），连接 SKIPIF 1 < 0 ，一动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿线段 SKIPIF 1 < 0 以每秒1个单位的速度运动到 SKIPIF 1 < 0 ，再沿线段 SKIPIF 1 < 0 以每秒2个单位的速度运动到 SKIPIF 1 < 0 后停止．当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是多少时，点 SKIPIF 1 < 0 在整个运动过程中用时最少?
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由点 SKIPIF 1 < 0 的坐标求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再由点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标代入直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线解析式求 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到抛物线的函数表达式；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线和 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，由点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的坐标求线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长度，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合速度可知时间为 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用“ SKIPIF 1 < 0 角所对的直角边是斜边的一半”得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得此时点 SKIPIF 1 < 0 坐标．
【详解】（1）解：对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意得：点 SKIPIF 1 < 0 的运动时间为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线和 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点即为所求点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在整个运动过程中用时最少．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“ SKIPIF 1 < 0 角所对的直角边是斜边的一半”将 SKIPIF 1 < 0 进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点 SKIPIF 1 < 0 坐标．
11．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求抛物线的解析式及顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上位于直线 SKIPIF 1 < 0 下方的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，问： SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
(2)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
(3)存在，最小值为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，求解即可；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，通过设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用“割补法”表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从而利用二次函数的性质求解最值即可；
（3）将直线 SKIPIF 1 < 0 绕着 SKIPIF 1 < 0 点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，并过点 SKIPIF 1 < 0 作其垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，构造出含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形，然后转换为求 SKIPIF 1 < 0 得最小值，继而确定当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，满足 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，此时利用含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，且位于直线 SKIPIF 1 < 0 下方，
∴设 SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：存在最小值，理由如下：
如下图所示，将直线 SKIPIF 1 < 0 绕着 SKIPIF 1 < 0 点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，并过点 SKIPIF 1 < 0 作其垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴随着 SKIPIF 1 < 0 点的运动，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
要使得 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即要使得 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
如下图，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，满足 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 存在最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．
12．抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ SKIPIF 1 < 0 MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，见解析
(3)有，最小值为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，问题得解；
（3）先求出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．
【详解】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 中得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
理由是：如图1，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）在M，N移动的过程中， SKIPIF 1 < 0 有最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
由（2）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，
抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
∴对称轴是： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在M，N移动的过程中， SKIPIF 1 < 0 有最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与x，y轴交于点A，B，抛物线 SKIPIF 1 < 0 恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点C逆时针旋转90°得到 SKIPIF 1 < 0 ，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①点E在抛物线上；②P（0，− SKIPIF 1 < 0 ）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OP＝ SKIPIF 1 < 0 −3＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P（0，− SKIPIF 1 < 0 ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将 SKIPIF 1 < 0 转化为HP的长是解题的关键．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3 SKIPIF 1 < 0 个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（﹣3，0），C SKIPIF 1 < 0
(2)最大值， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)存在，此时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，见解析
【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出点C的坐标；令y=0，可求出x的值，由此可求出点A的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PD+DE的值，再利用二次函数的性质求出最值；
（3）分三种情况：当四边形ACNM是平行四边形时，当ACMN时平行四边形时，当ANCM时平行四边形时，分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可．
（1）
在 SKIPIF 1 < 0 中，
令x＝0， SKIPIF 1 < 0 ．
∴C SKIPIF 1 < 0 ），
令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，
∵xA＜xB，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）
∵PE⊥x轴，y⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PED＝∠ACO，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴△PED∽△ACO，
∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，
在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当PE最大时，PD+DE最大，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，﹣3＜m＜0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，﹣3＜m＜0，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）
存在，此时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
在射线CB上取一点Q，使CQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，过点Q作QG⊥y轴于点G，则∠QGC＝90°，如图，
∵B（1，0），C（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∴OB＝1，OC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠BOC＝90°，
∴BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠QGC＝∠BOC＝90°，∠QCG＝∠BCO，
∴△QGC∽△BOC，
∴QG：BO＝CG：CO＝CQ：CB，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴QG＝3，CG＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴沿射线CB方向平移 SKIPIF 1 < 0 个单位相当于向右平移3个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移3个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到新抛物线y′，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点M为新抛物线y′对称轴上一点，
∴点M的横坐标为2，
当四边形ACMN为平行四边形时，如图，
根据平行四边形的性质可知：AC∥NM，AC＝NM，
由图可知，将点C先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：﹣3+2＝﹣1，
当x＝﹣1时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点N（﹣1，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
∴将点C（0， SKIPIF 1 < 0 ）先向右平移2个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点M（2，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
当四边形ACNM为平行四边形时，如图，
根据平行四边形的性质可知：AC∥MN，AC＝NM，
由图可知，将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点C（0， SKIPIF 1 < 0 ）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：0+5＝5，
当x＝5时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时点N的坐标为（5，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
∴点C（0， SKIPIF 1 < 0 ）先向右平移5个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点N（5，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点M（2，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
当ANCM为对角线时，A（﹣3，0），C（0， SKIPIF 1 < 0 ）的中点为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵点M在对称轴x＝2上，
∴点M的横坐标为x＝2，
∴点N的横坐标为x＝﹣5，
当x＝﹣5时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴N（﹣5， SKIPIF 1 < 0 ），
∴点M的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，符合题意的点M的坐标为： SKIPIF 1 < 0 . 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，轴对称最值问题，平行四边形存在性等知识，包括分类讨论思想等，（3）关键是进行正确的分类讨论．
15．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝ SKIPIF 1 < 0 ，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）
(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足 SKIPIF 1 < 0 MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析
(2)2或6
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；
（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，
在△ABE和△CBF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠EAB＝∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴10＝EH2+（4﹣EH）2，
∴EH＝1或3，
当EH＝1时
∴S△ABE＝S△BCF＝ SKIPIF 1 < 0 AB×EH＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×1＝2，
当EH＝3时
∴S△ABE＝S△BCF＝ SKIPIF 1 < 0 AB×EH＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×3＝6，
∴S△BCF的值是2或6；
（3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，
∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，
∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝ SKIPIF 1 < 0 PG，
∴MP+ SKIPIF 1 < 0 PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+ SKIPIF 1 < 0 PG值最小，即 SKIPIF 1 < 0 MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝ SKIPIF 1 < 0 ，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2 SKIPIF 1 < 0 ，BQ＝EQ＝FQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵CQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE＝CQ﹣EQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，
∴MK∥CE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵M是CD的中点，
∴DC＝2DM，
∴MP＝ SKIPIF 1 < 0 CE＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求 SKIPIF 1 < 0 PB＋PD的最小值．
【答案】（1）y= SKIPIF 1 < 0 （x SKIPIF 1 < 0 ）2 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；（2）（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；（3） SKIPIF 1 < 0
【详解】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；
（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；
（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 SKIPIF 1 < 0 PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
答案详解：（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为y SKIPIF 1 < 0 x2 SKIPIF 1 < 0 x SKIPIF 1 < 0 ，
∵y SKIPIF 1 < 0 x2 SKIPIF 1 < 0 x SKIPIF 1 < 0 （x SKIPIF 1 < 0 ）2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点坐标（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
（2）设点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ，y）．
∵A（﹣1，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∴AB2＝1+3＝4．
①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，
则（ SKIPIF 1 < 0 1）2+y2＝4，解得y＝± SKIPIF 1 < 0 ，
即此时点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，
则（ SKIPIF 1 < 0 ）2+（y SKIPIF 1 < 0 ）2＝4，解得y SKIPIF 1 < 0 或y SKIPIF 1 < 0 ，
即此时点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，
则（ SKIPIF 1 < 0 1）2+y2＝（ SKIPIF 1 < 0 ）2+（y SKIPIF 1 < 0 ）2，解得y SKIPIF 1 < 0 ，
即此时点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 SKIPIF 1 < 0 PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB SKIPIF 1 < 0 ，
∴tan∠ABO SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABO＝30°，
∴PH SKIPIF 1 < 0 PB，
∴ SKIPIF 1 < 0 PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD SKIPIF 1 < 0 ，∠HAD＝60°，
∴sin60° SKIPIF 1 < 0 ，
∴DH SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 PB+PD的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
17．在平面直角坐标系中，将二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 (点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧)， SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数的图象下方，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上任意一点，在(2)的结论下，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 的面积最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 的最小值是3.
【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点 SKIPIF 1 < 0 代入可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由 SKIPIF 1 < 0 的面积为5可求出点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，利用三角形面积公式，由 SKIPIF 1 < 0 构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用锐角三角函数的定义可得出 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，求出最小值即可．
【详解】解：(1)将二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线的解析式得， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为5，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线解析式得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是3．
【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求 SKIPIF 1 < 0 的最小值转化为求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
18．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点C， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问： SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析；(3)点 SKIPIF 1 < 0 ；(4)存在， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】(1)设交点式 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法进行求解即可；
(2)先证明四边形ADBM为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；
(3)先求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点N SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可得关于x的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；
(4)存在，如图，过点C作与y轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 的直线CF交x轴于点F，过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，交y轴于点Q，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最小值 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线HC、AH的解析式即可求得H点坐标，进行求得AH的长即可得答案.
【详解】解：(1)函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则顶点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，
∴AB=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵D(2，-1)，
∴AD=BD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AM=MB=AD=BD，
∴四边形ADBM为菱形，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 菱形ADBM为正方形；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B、C的坐标代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线BC的表达式为：y=-x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点N SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 有最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 ；
(4)存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 的直线CF交x轴于点F，过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，交y轴于点Q，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO= SKIPIF 1 < 0 ，
∴OF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴F(- SKIPIF 1 < 0 ，0)，
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为： SKIPIF 1 < 0 …①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，
∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，
∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO•tan∠FAQ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴Q(0, SKIPIF 1 < 0 )，
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为： SKIPIF 1 < 0 …②，
联立①②并解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 ，而点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键.
19．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴从左至右依次交于A，B两点，与ｙ轴交于点C，经过点B的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）F SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出 SKIPIF 1 < 0 的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、 SKIPIF 1 < 0 的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道 SKIPIF 1 < 0 ，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴从左至右依次交于A，B两点，
∵BM=9，AB=6，∴BF= SKIPIF 1 < 0 ，BD= SKIPIF 1 < 0 ，AF= SKIPIF 1 < 0
∴A（-2，0），B（4，0）
∵点B在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵点D在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且横坐标为-5，∴纵坐标为 SKIPIF 1 < 0
∵点D在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0
（2）易得，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
分两种情况：
①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC， SKIPIF 1 < 0
∴由∠PAB=∠ABC 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
此时点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC， SKIPIF 1 < 0
∴由∠PAB=∠BAC 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
此时点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求
∵直线BD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，∴∠FBA=∠FGD=30°
∵AB=6，∴AF= SKIPIF 1 < 0
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．
三、一次函数综合
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 和直线l2：y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值．
【答案】（1）S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ；（2）点F坐标为（1， SKIPIF 1 < 0 ）；PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；
（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得△ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG= SKIPIF 1 < 0 ，可得FG为PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，可得△FGQ为等腰直角三角形，可得FG= SKIPIF 1 < 0 FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．
【详解】（1）∵l1：y＝ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当x=0时，y= SKIPIF 1 < 0 ，当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∵点B直线l2：y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋b上，
∴b= SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴AC=4，OB= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△ABC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，
∵A（-3，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），C（1，0），
∴AB2=（-3）2+（ SKIPIF 1 < 0 ）2=12，BC2=12+（ SKIPIF 1 < 0 ）2=4，AC2=42=16，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C′在直线l2上，
∵点C与点C′关于直线l1的对称，
∴CC′=2BC=4，
设点C′（m，﹣ SKIPIF 1 < 0 m＋ SKIPIF 1 < 0 ，）
∴（m-1）2+（﹣ SKIPIF 1 < 0 m＋ SKIPIF 1 < 0 ）2=42，
解得：m1=-1，m2=3，
∵点C′在第二象限，
∴m=-1，
∴﹣ SKIPIF 1 < 0 m＋ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵FC=FC′，
∴EF＋CF=EF+FC′，
∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，
设直线C′E的解析式为y=kx+b，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线C′E的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线C′E与l1解析式得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴F（1， SKIPIF 1 < 0 ）．
如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，
∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，
∴△GOP是等腰直角三角形，
∴PG= SKIPIF 1 < 0 OP，
∴G、P、F三点共线时，PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的值最小，最小值为FG的长，
∵∠GOP=45°，∠POE=90°，
∴∠EOQ=45°，
∴∠FQO=45°，
∴△FGQ是等腰直角三角形，
∴FG= SKIPIF 1 < 0 FQ，
∵F（1， SKIPIF 1 < 0 ），直线l3的解析式为y=-x，
∴Q（1，-1），
∴FQ= SKIPIF 1 < 0 -（-1）= SKIPIF 1 < 0 +1，
∴FG= SKIPIF 1 < 0 FQ= SKIPIF 1 < 0 ×（ SKIPIF 1 < 0 +1）= SKIPIF 1 < 0 ，
∴PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1 SKIPIF 1 < 0 和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）F（1， SKIPIF 1 < 0 ），PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】（1）求出B（0， SKIPIF 1 < 0 ），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可；
（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K⊥y轴交K点，易证△C'KB≌△COB（AAS），则C'的纵坐标为2 SKIPIF 1 < 0 ，即可求C'（ SKIPIF 1 < 0 1，2 SKIPIF 1 < 0 ），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的值最小，过F作FG⊥x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．
【详解】解：（1）令x=0，则y= SKIPIF 1 < 0 ，
∴B（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∴OB= SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠OBC=30°，
∴OC=BO•tan30°= SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ，
∴C（1，0），
设直线l2的解析式为y=kx+b，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l2的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令y=0，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴x= SKIPIF 1 < 0 3，
∴A（ SKIPIF 1 < 0 3，0），
∴OA=3，
∴tan∠ABO= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=90°，
∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上，
如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点，
∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，
∴△C'KB≌△COB（AAS），
∴BK=BO= SKIPIF 1 < 0 ，
∴C'的纵坐标为2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴x= SKIPIF 1 < 0 1，
∴C'（ SKIPIF 1 < 0 1，2 SKIPIF 1 < 0 ），
连接C'E交l1于F，
∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，
∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E，
设直线C'E的解析式为y=kx+b，
∵E（5，0），C'（-1，2 SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得x=1，
∴F（1， SKIPIF 1 < 0 ），
作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q，
在Rt△PQO中，∠POQ=45°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PF+ SKIPIF 1 < 0 OP=PF+PQ≥FQ，
当P、F、Q三点共线时，PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的值最小，
过F作FG⊥x轴交l3，于点G，
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FQ= SKIPIF 1 < 0 FG，
∵l3，的解析式为y= SKIPIF 1 < 0 x，
∴G（1， SKIPIF 1 < 0 1），
∴FG=1+ SKIPIF 1 < 0 ，
∴FQ= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，
∴PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将 SKIPIF 1 < 0 转化为求FQ的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．
22．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并且满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积与四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用矩形的性质，用 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）首先求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，再根据条件求出 SKIPIF 1 < 0 的面积，即可解决问题；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，作点 SKIPIF 1 < 0 关于一次函数的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交一次函数于点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，算出长度即可．
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得一次函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积与四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积与四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）
如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
作点 SKIPIF 1 < 0 关于一次函数的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，且OO’与直线DF交于Q点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一直线时 SKIPIF 1 < 0 最小，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG= SKIPIF 1 < 0 PC；当A、P、G在同一直线时，AP+ SKIPIF 1 < 0 PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG= SKIPIF 1 < 0 PC，由勾股定理得PG= SKIPIF 1 < 0 PC，
∴AP+ SKIPIF 1 < 0 PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，
∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF= SKIPIF 1 < 0 CF，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CF=OF-OC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴GF= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AG=AF-FG= SKIPIF 1 < 0 ，
即AP+ SKIPIF 1 < 0 PC的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+ SKIPIF 1 < 0 PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝ SKIPIF 1 < 0 AC，则 SKIPIF 1 < 0 ，即当点 SKIPIF 1 < 0 ，点C，点H三点共线时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AO＝3， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
作点B关于OA的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵CH⊥AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当点 SKIPIF 1 < 0 ，点C，点H三点共线时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴2BC＋AC的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
3．如图，▱ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= SKIPIF 1 < 0 DP，因此 SKIPIF 1 < 0 PD+2PB=2( SKIPIF 1 < 0 DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 SKIPIF 1 < 0 PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵PH丄AD
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，HP+PB有最小值，即 SKIPIF 1 < 0 有最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
【答案】4 SKIPIF 1 < 0
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PA+2PB＝2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则 SKIPIF 1 < 0 PC＋PB的最小值为 ．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD SKIPIF 1 < 0 PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PD SKIPIF 1 < 0 PB，
∴ SKIPIF 1 < 0 PC+PB SKIPIF 1 < 0 （PC SKIPIF 1 < 0 PB） SKIPIF 1 < 0 （PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD SKIPIF 1 < 0 AC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
即PC+PD的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 PC+PB的最小值为 SKIPIF 1 < 0 4，
故答案为：4．
6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC SKIPIF 1 < 0 ，E为线段AB上一动点，连接CE，则 SKIPIF 1 < 0 AE＋CE的最小值为 ．
【答案】3
【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ET SKIPIF 1 < 0 AE，推出 SKIPIF 1 < 0 AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ET SKIPIF 1 < 0 AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴CH＝AC•sin6°＝2 SKIPIF 1 < 0 3，
∵ SKIPIF 1 < 0 AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴ SKIPIF 1 < 0 AE+EC≥3，
∴ SKIPIF 1 < 0 AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+ SKIPIF 1 < 0 BM的最小值为 ．
【答案】4 SKIPIF 1 < 0
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝ SKIPIF 1 < 0 BM，于是可得AM+ SKIPIF 1 < 0 BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，
∴MH＝ SKIPIF 1 < 0 BM，
∴AM+ SKIPIF 1 < 0 BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AM+ SKIPIF 1 < 0 BM≥4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AM+ SKIPIF 1 < 0 BM的最小值为4 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：4 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
8．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE= SKIPIF 1 < 0 PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值= SKIPIF 1 < 0 AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE= SKIPIF 1 < 0 PD，
∵2PB+ PD=2（PB+ SKIPIF 1 < 0 PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值= SKIPIF 1 < 0 AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
9．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过点D作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，首先通过勾股定理及 SKIPIF 1 < 0 求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后通过锐角三角函数得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用 SKIPIF 1 < 0 即可求值．
【详解】解：如图，过点D作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍弃），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （等腰三角形两腰上的高相等）
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
二、解答题
10．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴从左至右依次交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点（不含端点），连接 SKIPIF 1 < 0 ，一动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿线段 SKIPIF 1 < 0 以每秒1个单位的速度运动到 SKIPIF 1 < 0 ，再沿线段 SKIPIF 1 < 0 以每秒2个单位的速度运动到 SKIPIF 1 < 0 后停止．当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是多少时，点 SKIPIF 1 < 0 在整个运动过程中用时最少?
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由点 SKIPIF 1 < 0 的坐标求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再由点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标代入直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线解析式求 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到抛物线的函数表达式；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线和 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，由点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的坐标求线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长度，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合速度可知时间为 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用“ SKIPIF 1 < 0 角所对的直角边是斜边的一半”得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得此时点 SKIPIF 1 < 0 坐标．
【详解】（1）解：对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意得：点 SKIPIF 1 < 0 的运动时间为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线和 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点即为所求点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在整个运动过程中用时最少．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“ SKIPIF 1 < 0 角所对的直角边是斜边的一半”将 SKIPIF 1 < 0 进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点 SKIPIF 1 < 0 坐标．
11．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求抛物线的解析式及顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上位于直线 SKIPIF 1 < 0 下方的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，问： SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
(2)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
(3)存在，最小值为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，求解即可；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，通过设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用“割补法”表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从而利用二次函数的性质求解最值即可；
（3）将直线 SKIPIF 1 < 0 绕着 SKIPIF 1 < 0 点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，并过点 SKIPIF 1 < 0 作其垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，构造出含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形，然后转换为求 SKIPIF 1 < 0 得最小值，继而确定当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，满足 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，此时利用含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，且位于直线 SKIPIF 1 < 0 下方，
∴设 SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：存在最小值，理由如下：
如下图所示，将直线 SKIPIF 1 < 0 绕着 SKIPIF 1 < 0 点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，并过点 SKIPIF 1 < 0 作其垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴随着 SKIPIF 1 < 0 点的运动，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
要使得 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即要使得 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
如下图，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，满足 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 存在最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．
12．抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ SKIPIF 1 < 0 MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，见解析
(3)有，最小值为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，问题得解；
（3）先求出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．
【详解】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 中得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
理由是：如图1，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）在M，N移动的过程中， SKIPIF 1 < 0 有最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
由（2）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，
抛物线解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
∴对称轴是： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在M，N移动的过程中， SKIPIF 1 < 0 有最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与x，y轴交于点A，B，抛物线 SKIPIF 1 < 0 恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点C逆时针旋转90°得到 SKIPIF 1 < 0 ，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①点E在抛物线上；②P（0，− SKIPIF 1 < 0 ）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OP＝ SKIPIF 1 < 0 −3＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P（0，− SKIPIF 1 < 0 ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将 SKIPIF 1 < 0 转化为HP的长是解题的关键．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3 SKIPIF 1 < 0 个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（﹣3，0），C SKIPIF 1 < 0
(2)最大值， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)存在，此时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，见解析
【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出点C的坐标；令y=0，可求出x的值，由此可求出点A的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PD+DE的值，再利用二次函数的性质求出最值；
（3）分三种情况：当四边形ACNM是平行四边形时，当ACMN时平行四边形时，当ANCM时平行四边形时，分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可．
（1）
在 SKIPIF 1 < 0 中，
令x＝0， SKIPIF 1 < 0 ．
∴C SKIPIF 1 < 0 ），
令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，
∵xA＜xB，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）
∵PE⊥x轴，y⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PED＝∠ACO，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴△PED∽△ACO，
∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，
在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当PE最大时，PD+DE最大，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，﹣3＜m＜0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，﹣3＜m＜0，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）
存在，此时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
在射线CB上取一点Q，使CQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，过点Q作QG⊥y轴于点G，则∠QGC＝90°，如图，
∵B（1，0），C（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∴OB＝1，OC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠BOC＝90°，
∴BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠QGC＝∠BOC＝90°，∠QCG＝∠BCO，
∴△QGC∽△BOC，
∴QG：BO＝CG：CO＝CQ：CB，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴QG＝3，CG＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴沿射线CB方向平移 SKIPIF 1 < 0 个单位相当于向右平移3个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移3个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到新抛物线y′，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点M为新抛物线y′对称轴上一点，
∴点M的横坐标为2，
当四边形ACMN为平行四边形时，如图，
根据平行四边形的性质可知：AC∥NM，AC＝NM，
由图可知，将点C先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：﹣3+2＝﹣1，
当x＝﹣1时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点N（﹣1，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
∴将点C（0， SKIPIF 1 < 0 ）先向右平移2个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点M（2，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
当四边形ACNM为平行四边形时，如图，
根据平行四边形的性质可知：AC∥MN，AC＝NM，
由图可知，将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点C（0， SKIPIF 1 < 0 ）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：0+5＝5，
当x＝5时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时点N的坐标为（5，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
∴点C（0， SKIPIF 1 < 0 ）先向右平移5个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点N（5，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到点M（2，﹣ SKIPIF 1 < 0 ）；
当ANCM为对角线时，A（﹣3，0），C（0， SKIPIF 1 < 0 ）的中点为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵点M在对称轴x＝2上，
∴点M的横坐标为x＝2，
∴点N的横坐标为x＝﹣5，
当x＝﹣5时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴N（﹣5， SKIPIF 1 < 0 ），
∴点M的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，符合题意的点M的坐标为： SKIPIF 1 < 0 . 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，轴对称最值问题，平行四边形存在性等知识，包括分类讨论思想等，（3）关键是进行正确的分类讨论．
15．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝ SKIPIF 1 < 0 ，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）
(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足 SKIPIF 1 < 0 MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析
(2)2或6
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；
（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，
在△ABE和△CBF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠EAB＝∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴10＝EH2+（4﹣EH）2，
∴EH＝1或3，
当EH＝1时
∴S△ABE＝S△BCF＝ SKIPIF 1 < 0 AB×EH＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×1＝2，
当EH＝3时
∴S△ABE＝S△BCF＝ SKIPIF 1 < 0 AB×EH＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×3＝6，
∴S△BCF的值是2或6；
（3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，
∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，
∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝ SKIPIF 1 < 0 PG，
∴MP+ SKIPIF 1 < 0 PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+ SKIPIF 1 < 0 PG值最小，即 SKIPIF 1 < 0 MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝ SKIPIF 1 < 0 ，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2 SKIPIF 1 < 0 ，BQ＝EQ＝FQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵CQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE＝CQ﹣EQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，
∴MK∥CE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵M是CD的中点，
∴DC＝2DM，
∴MP＝ SKIPIF 1 < 0 CE＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求 SKIPIF 1 < 0 PB＋PD的最小值．
【答案】（1）y= SKIPIF 1 < 0 （x SKIPIF 1 < 0 ）2 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；（2）（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；（3） SKIPIF 1 < 0
【详解】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；
（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；
（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 SKIPIF 1 < 0 PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
答案详解：（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为y SKIPIF 1 < 0 x2 SKIPIF 1 < 0 x SKIPIF 1 < 0 ，
∵y SKIPIF 1 < 0 x2 SKIPIF 1 < 0 x SKIPIF 1 < 0 （x SKIPIF 1 < 0 ）2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点坐标（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
（2）设点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ，y）．
∵A（﹣1，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∴AB2＝1+3＝4．
①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，
则（ SKIPIF 1 < 0 1）2+y2＝4，解得y＝± SKIPIF 1 < 0 ，
即此时点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，
则（ SKIPIF 1 < 0 ）2+（y SKIPIF 1 < 0 ）2＝4，解得y SKIPIF 1 < 0 或y SKIPIF 1 < 0 ，
即此时点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，
则（ SKIPIF 1 < 0 1）2+y2＝（ SKIPIF 1 < 0 ）2+（y SKIPIF 1 < 0 ）2，解得y SKIPIF 1 < 0 ，
即此时点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 SKIPIF 1 < 0 PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB SKIPIF 1 < 0 ，
∴tan∠ABO SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABO＝30°，
∴PH SKIPIF 1 < 0 PB，
∴ SKIPIF 1 < 0 PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD SKIPIF 1 < 0 ，∠HAD＝60°，
∴sin60° SKIPIF 1 < 0 ，
∴DH SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 PB+PD的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
17．在平面直角坐标系中，将二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 (点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧)， SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数的图象下方，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上任意一点，在(2)的结论下，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 的面积最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 的最小值是3.
【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点 SKIPIF 1 < 0 代入可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由 SKIPIF 1 < 0 的面积为5可求出点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，利用三角形面积公式，由 SKIPIF 1 < 0 构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用锐角三角函数的定义可得出 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，求出最小值即可．
【详解】解：(1)将二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线的解析式得， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为5，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线解析式得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是3．
【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求 SKIPIF 1 < 0 的最小值转化为求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
18．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点C， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问： SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析；(3)点 SKIPIF 1 < 0 ；(4)存在， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】(1)设交点式 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法进行求解即可；
(2)先证明四边形ADBM为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；
(3)先求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点N SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可得关于x的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；
(4)存在，如图，过点C作与y轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 的直线CF交x轴于点F，过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，交y轴于点Q，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最小值 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线HC、AH的解析式即可求得H点坐标，进行求得AH的长即可得答案.
【详解】解：(1)函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则顶点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，
∴AB=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵D(2，-1)，
∴AD=BD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AM=MB=AD=BD，
∴四边形ADBM为菱形，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 菱形ADBM为正方形；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B、C的坐标代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线BC的表达式为：y=-x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点N SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 有最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 ；
(4)存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为 SKIPIF 1 < 0 的直线CF交x轴于点F，过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，交y轴于点Q，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO= SKIPIF 1 < 0 ，
∴OF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴F(- SKIPIF 1 < 0 ，0)，
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为： SKIPIF 1 < 0 …①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，
∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，
∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO•tan∠FAQ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴Q(0, SKIPIF 1 < 0 )，
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为： SKIPIF 1 < 0 …②，
联立①②并解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 ，而点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键.
19．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴从左至右依次交于A，B两点，与ｙ轴交于点C，经过点B的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）F SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出 SKIPIF 1 < 0 的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、 SKIPIF 1 < 0 的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道 SKIPIF 1 < 0 ，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 轴从左至右依次交于A，B两点，
∵BM=9，AB=6，∴BF= SKIPIF 1 < 0 ，BD= SKIPIF 1 < 0 ，AF= SKIPIF 1 < 0
∴A（-2，0），B（4，0）
∵点B在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵点D在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且横坐标为-5，∴纵坐标为 SKIPIF 1 < 0
∵点D在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0
（2）易得，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
分两种情况：
①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC， SKIPIF 1 < 0
∴由∠PAB=∠ABC 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
此时点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC， SKIPIF 1 < 0
∴由∠PAB=∠BAC 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
此时点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求
∵直线BD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，∴∠FBA=∠FGD=30°
∵AB=6，∴AF= SKIPIF 1 < 0
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．
三、一次函数综合
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 和直线l2：y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值．
【答案】（1）S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ；（2）点F坐标为（1， SKIPIF 1 < 0 ）；PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；
（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得△ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG= SKIPIF 1 < 0 ，可得FG为PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，可得△FGQ为等腰直角三角形，可得FG= SKIPIF 1 < 0 FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．
【详解】（1）∵l1：y＝ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当x=0时，y= SKIPIF 1 < 0 ，当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∵点B直线l2：y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋b上，
∴b= SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴AC=4，OB= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△ABC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，
∵A（-3，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），C（1，0），
∴AB2=（-3）2+（ SKIPIF 1 < 0 ）2=12，BC2=12+（ SKIPIF 1 < 0 ）2=4，AC2=42=16，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C′在直线l2上，
∵点C与点C′关于直线l1的对称，
∴CC′=2BC=4，
设点C′（m，﹣ SKIPIF 1 < 0 m＋ SKIPIF 1 < 0 ，）
∴（m-1）2+（﹣ SKIPIF 1 < 0 m＋ SKIPIF 1 < 0 ）2=42，
解得：m1=-1，m2=3，
∵点C′在第二象限，
∴m=-1，
∴﹣ SKIPIF 1 < 0 m＋ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵FC=FC′，
∴EF＋CF=EF+FC′，
∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，
设直线C′E的解析式为y=kx+b，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线C′E的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线C′E与l1解析式得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴F（1， SKIPIF 1 < 0 ）．
如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，
∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，
∴△GOP是等腰直角三角形，
∴PG= SKIPIF 1 < 0 OP，
∴G、P、F三点共线时，PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的值最小，最小值为FG的长，
∵∠GOP=45°，∠POE=90°，
∴∠EOQ=45°，
∴∠FQO=45°，
∴△FGQ是等腰直角三角形，
∴FG= SKIPIF 1 < 0 FQ，
∵F（1， SKIPIF 1 < 0 ），直线l3的解析式为y=-x，
∴Q（1，-1），
∴FQ= SKIPIF 1 < 0 -（-1）= SKIPIF 1 < 0 +1，
∴FG= SKIPIF 1 < 0 FQ= SKIPIF 1 < 0 ×（ SKIPIF 1 < 0 +1）= SKIPIF 1 < 0 ，
∴PF＋ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1 SKIPIF 1 < 0 和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）F（1， SKIPIF 1 < 0 ），PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】（1）求出B（0， SKIPIF 1 < 0 ），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可；
（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K⊥y轴交K点，易证△C'KB≌△COB（AAS），则C'的纵坐标为2 SKIPIF 1 < 0 ，即可求C'（ SKIPIF 1 < 0 1，2 SKIPIF 1 < 0 ），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的值最小，过F作FG⊥x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．
【详解】解：（1）令x=0，则y= SKIPIF 1 < 0 ，
∴B（0， SKIPIF 1 < 0 ），
∴OB= SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠OBC=30°，
∴OC=BO•tan30°= SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ，
∴C（1，0），
设直线l2的解析式为y=kx+b，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l2的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令y=0，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴x= SKIPIF 1 < 0 3，
∴A（ SKIPIF 1 < 0 3，0），
∴OA=3，
∴tan∠ABO= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=90°，
∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上，
如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点，
∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，
∴△C'KB≌△COB（AAS），
∴BK=BO= SKIPIF 1 < 0 ，
∴C'的纵坐标为2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴x= SKIPIF 1 < 0 1，
∴C'（ SKIPIF 1 < 0 1，2 SKIPIF 1 < 0 ），
连接C'E交l1于F，
∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，
∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E，
设直线C'E的解析式为y=kx+b，
∵E（5，0），C'（-1，2 SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得x=1，
∴F（1， SKIPIF 1 < 0 ），
作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q，
在Rt△PQO中，∠POQ=45°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴PF+ SKIPIF 1 < 0 OP=PF+PQ≥FQ，
当P、F、Q三点共线时，PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的值最小，
过F作FG⊥x轴交l3，于点G，
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FQ= SKIPIF 1 < 0 FG，
∵l3，的解析式为y= SKIPIF 1 < 0 x，
∴G（1， SKIPIF 1 < 0 1），
∴FG=1+ SKIPIF 1 < 0 ，
∴FQ= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，
∴PF+ SKIPIF 1 < 0 OP的最小值为 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将 SKIPIF 1 < 0 转化为求FQ的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．
22．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并且满足 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积与四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用矩形的性质，用 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）首先求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，再根据条件求出 SKIPIF 1 < 0 的面积，即可解决问题；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，作点 SKIPIF 1 < 0 关于一次函数的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交一次函数于点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，算出长度即可．
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得一次函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积与四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积与四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）
如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
作点 SKIPIF 1 < 0 关于一次函数的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，且OO’与直线DF交于Q点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一直线时 SKIPIF 1 < 0 最小，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
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