十年(14-23)高考物理真题分项汇编专题63 几何光学（二）（含解析）

这是一份十年(14-23)高考物理真题分项汇编专题63 几何光学（二）（含解析），共37页。

（2）两条折射光线之间的距离d。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，根据几何关系可得
SKIPIF 1 < 0
根据折射定律可得
SKIPIF 1 < 0
联立可得
SKIPIF 1 < 0
（2）如图所示
根据几何关系可得
SKIPIF 1 < 0
47．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A位置，海豚的眼睛在B位置，A位置和B位置的水平距离为d，A位置离水面的高度为 SKIPIF 1 < 0 d。训练员将小球向左水平抛出，入水点在B位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为θ。小球在A位置发出的一束光线经水面折射后到达B位置，折射光线与水平方向的夹角也为θ。
已知水的折射率 SKIPIF 1 < 0 ，求:
（1）tanθ的值；
（2）B位置到水面的距离H。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由平抛运动的规律可知
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
（2）因 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，从A点射到水面的光线的入射角为α，折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，则由折射定律可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
48．（2022·广东·高考真题）一个水平放置的圆柱形罐体内装了一半的透明液体，液体上方是空气，其截面如图所示。一激光器从罐体底部P点沿着罐体的内壁向上移动，它所发出的光束始终指向圆心O点。当光束与竖直方向成 SKIPIF 1 < 0 角时，恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束。已知光在空气中的传播速度为c，求液体的折射率n和激光在液体中的传播速度v。
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】当入射角达到45时，恰好到达临界角C，根据
SKIPIF 1 < 0
可得液体的折射率
SKIPIF 1 < 0
由于
SKIPIF 1 < 0
可知激光在液体中的传播速度
SKIPIF 1 < 0
49．（2022·河北·统考高考真题）如图，一个半径为R的玻璃球，O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出，出射光线AB与球直径SC平行，θ = 30°。光在真空中的传播速度为c。求：
（i）玻璃的折射率；
（ii）从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（i）根据题意将光路图补充完整，如下图所示
根据几何关系可知
i1 = θ = 30°，i2 = 60°
根据折射定律有
nsini1 = sini2
解得
SKIPIF 1 < 0
（ii）设全反射的临界角为C，则
SKIPIF 1 < 0
光在玻璃球内的传播速度有
SKIPIF 1 < 0
根据几何关系可知当θ = 45°时，即光路为圆的内接正方形，从S发出的光线经多次全反射回到S点的时间最短，则正方形的边长
SKIPIF 1 < 0
则最短时间为
SKIPIF 1 < 0
50．（2022·湖南·统考高考真题）如图，某种防窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对像素单元可视角度 SKIPIF 1 < 0 的控制（可视角度 SKIPIF 1 < 0 定义为某像素单元发出的光在图示平面内折射到空气后最大折射角的2倍）。透明介质的折射率 SKIPIF 1 < 0 ，屏障间隙 SKIPIF 1 < 0 。发光像素单元紧贴屏下，位于相邻两屏障的正中间．不考虑光的衍射。
（1）若把发光像素单元视为点光源，要求可视角度 SKIPIF 1 < 0 控制为60°，求屏障的高度d；
（2）若屏障高度 SKIPIF 1 < 0 ，且发光像素单元的宽度不能忽略，求像素单元宽度x最小为多少时，其可视角度 SKIPIF 1 < 0 刚好被扩为180°（只要看到像素单元的任意一点，即视为能看到该像素单元）。
【答案】（1）1.55mm；（2）0.35mm
【解析】（1）发光像素单元射到屏障上的光被完全吸收，考虑射到屏障顶端的光射到透明介质和空气界面，折射后从界面射向空气，由题意可知θ=60°，则
SKIPIF 1 < 0
在介质中的入射角为i，则
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由几何关系
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
（2）若视角度 SKIPIF 1 < 0 刚好被扩为180°，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时光线在界面发生全反射，此时光线在界面处的入射角
SKIPIF 1 < 0
解得
C=30°
此时发光像素单元发光点距离屏障的距离为
SKIPIF 1 < 0
像素单元宽度x最小为
SKIPIF 1 < 0
51．（2022·全国·统考高考真题）如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在的平面，一光线自M点射入棱镜，入射角为60°，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜，求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】光线在M点发生折射有
sin60° = nsinθ
由题知，光线经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，则
SKIPIF 1 < 0
C = 90° - θ
联立有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
根据几何关系有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
再由
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
52．（2022·全国·统考高考真题）光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；M为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连， SKIPIF 1 < 0 为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条， SKIPIF 1 < 0 的圆心位于M的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经 SKIPIF 1 < 0 上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于 SKIPIF 1 < 0 的圆心，通过读取反射光射到 SKIPIF 1 < 0 上的位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N。沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧 SKIPIF 1 < 0 的半径为r﹐ SKIPIF 1 < 0 ，d远大于弹簧长度改变量的绝对值。
（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 上反射光点与O点间的弧长s；
（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后， SKIPIF 1 < 0 上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为 SKIPIF 1 < 0 、保持其它条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在О点下方，与O点间的弧长为 SKIPIF 1 < 0 。求待测电流的大小。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题意当线圈中通入微小电流I时，线圈中的安培力为
F = NBIl
根据胡克定律有
F = NBIl = k│x│
SKIPIF 1 < 0
如图所示
设此时细杆转过的弧度为θ，则可知反射光线转过的弧度为2θ，又因为
d >> x，r >> d
则
sinθ ≈ θ，sin2θ ≈ 2θ
所以有
x = dθ
s = r2θ
联立可得
SKIPIF 1 < 0
（2）因为测量前未调零，设没有通电流时偏移的弧长为s′，当初始时反射光点在O点上方，通电流I′后根据前面的结论可知有
SKIPIF 1 < 0
当电流反向后有
SKIPIF 1 < 0
联立可得
SKIPIF 1 < 0
同理可得初始时反射光点在O点下方结果也相同，故待测电流的大小为
SKIPIF 1 < 0
53．（2022·全国·统考高考真题）一细束单色光在三棱镜 SKIPIF 1 < 0 的侧面 SKIPIF 1 < 0 上以大角度由D点入射（入射面在棱镜的横截面内），入射角为i，经折射后射至 SKIPIF 1 < 0 边的E点，如图所示，逐渐减小i，E点向B点移动，当 SKIPIF 1 < 0 时，恰好没有光线从 SKIPIF 1 < 0 边射出棱镜，且 SKIPIF 1 < 0 。求棱镜的折射率。
【答案】1.5
【解析】
因为当 SKIPIF 1 < 0 时，恰好没有光线从AB边射出，可知光线在E点发生全反射，设临界角为C，则
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可知，光线在D点的折射角为
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
联立可得
n=1.5
54．（2016·全国·高考真题）如图所示，玻璃球冠的折射率为 SKIPIF 1 < 0 ，其底面镀银，底面的半径是球半径的 SKIPIF 1 < 0 倍；在过球心O且垂直于底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点，求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。
【答案】150°
【解析】光线的光路图如下图所示，设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点，光线在M点的入射角为i、折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，在N点的入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，反射角为 SKIPIF 1 < 0 ，玻璃折射率为n。
由于底面的半径是球半径的 SKIPIF 1 < 0 倍，因此
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此△OAM为等边三角形，因此
i＝60°
由折射定律有
sin i＝n SKIPIF 1 < 0
代入题给条件n＝ SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ＝30°
作底面在N点的法线NE，由于NE∥AM，有
SKIPIF 1 < 0 ＝30°
根据反射定律，有
SKIPIF 1 < 0 ＝30°
连接ON，由几何关系知△MAN≌△MON，故有
∠MNO＝60°
因此
∠ENO＝30°
因此∠ENO就为反射角，ON就为反射光线，该反射光线经过球心，在球面再次折射后不改变方向。所以，经一次反射后射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角 SKIPIF 1 < 0 为
SKIPIF 1 < 0 ＝180°－∠ENO＝150°
55．（2021·重庆·高考真题）如图所示，一直角棱镜 SKIPIF 1 < 0 。从 SKIPIF 1 < 0 边界面垂直入射的甲、乙两种不同频率的单色光，在棱镜中传播速度分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为真空中的光速），甲光第一次到达 SKIPIF 1 < 0 边恰好发生全反射。求：
（1）该棱镜分别对甲光和乙光的折射率；
（2） SKIPIF 1 < 0 边的长度。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由光速与折射率的关系 SKIPIF 1 < 0 ，可得该棱镜对甲光的折射率
SKIPIF 1 < 0
该棱镜对乙光的折射率
SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 边的长度为L，根据题述甲光第一次到达 SKIPIF 1 < 0 边恰好发生全反射，可画出光路图
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0

56．（2017·全国·高考真题）如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴（过球心O与半球底面垂直的直线）。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）。求：
（1）从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
（2）距光轴 SKIPIF 1 < 0 的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 R；（2）2.74R
【解析】（1）如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
i＝ic
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
SKIPIF 1 < 0
由几何关系有
SKIPIF 1 < 0
联立并利用题给条件，得
SKIPIF 1 < 0
（2）设与光轴相距 SKIPIF 1 < 0 的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有
nsin i1＝sin r1
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
SKIPIF 1 < 0
由几何关系有
∠C＝r1－i1
sin i1＝ SKIPIF 1 < 0
联立及题给条件得
SKIPIF 1 < 0
57．（2021·山东·高考真题）超强超短光脉冲产生方法曾获诺贝尔物理学奖，其中用到的一种脉冲激光展宽器截面如图所示。在空气中对称放置四个相同的直角三棱镜，顶角为 SKIPIF 1 < 0 。一细束脉冲激光垂直第一个棱镜左侧面入射，经过前两个棱镜后分为平行的光束，再经过后两个棱镜重新合成为一束，此时不同频率的光前后分开，完成脉冲展宽。已知相邻两棱镜斜面间的距离 SKIPIF 1 < 0 ，脉冲激光中包含两种频率的光，它们在棱镜中的折射率分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 。取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
（1）为使两种频率的光都能从左侧第一个棱镜斜面射出，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求两种频率的光通过整个展宽器的过程中，在空气中的路程差 SKIPIF 1 < 0 （保留3位有效数字）。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由几何关系可得，光线在第一个三梭镜右侧斜面上的入射角等于 SKIPIF 1 < 0 ，要使得两种频率的光都从左侧第一个棱镜斜面射出，则 SKIPIF 1 < 0 需要比两种频率光线的全反射角都小，设C是全反射的临界角，根据折射定律得
SKIPIF 1 < 0 ①
折射率越大，临界角越小，代入较大的折射率得
SKIPIF 1 < 0 ②
所以顶角 SKIPIF 1 < 0 的范围为
SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）③
（2）脉冲激光从第一个三棱镜右侧斜面射出时发生折射，设折射角分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，由折射定律得
SKIPIF 1 < 0 ④
SKIPIF 1 < 0 ⑤
设两束光在前两个三棱镜斜面之间的路程分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ⑥
SKIPIF 1 < 0 ⑦
SKIPIF 1 < 0 ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据得
SKIPIF 1 < 0 ⑨
58．（2021·广东·高考真题）如图所示，一种光学传感器是通过接收器Q接收到光的强度变化而触发工作的。光从挡风玻璃内侧P点射向外侧M点再折射到空气中，测得入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，折射角为 SKIPIF 1 < 0 ；光从P点射向外侧N点，刚好发生全反射并被Q接收，求光从玻璃射向空气时临界角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值表达式。
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据光的折射定律有
SKIPIF 1 < 0
根据光的全反射规律有
SKIPIF 1 < 0
联立解得
SKIPIF 1 < 0
59．（2021·河北·高考真题）将两块半径均为R、完全相同的透明半圆柱体A、B正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示，用一束单色光沿半径照射半圆柱体A，设圆心处入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，A右侧恰好无光线射出；当 SKIPIF 1 < 0 时，有光线沿B的半径射出，射出位置与A的圆心相比下移h，不考虑多次反射，求：
（1）半圆柱体对该单色光的折射率；
（2）两个半圆柱体之间的距离d。
【答案】（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0
【解析】（i）光从半圆柱体A射入，满足从光密介质到光疏介质，当 SKIPIF 1 < 0 时发生全反射，有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
（ii）当入射角 SKIPIF 1 < 0 ，经两次折射从半圆柱体B的半径出射，设折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，光路如图
由折射定律有
SKIPIF 1 < 0
有几何关系有
SKIPIF 1 < 0
联立解得
SKIPIF 1 < 0
60．（2021·湖南·高考真题）我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高 SKIPIF 1 < 0 的人站在水平地面上，其正前方 SKIPIF 1 < 0 处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为 SKIPIF 1 < 0 、深度为 SKIPIF 1 < 0 ，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。
（i）若该人通过小孔能成完整的像，透明介质的折射率最小为多少？
（ii）若让掠射进入孔洞的光能成功出射，透明介质的折射率最小为多少？
【答案】（i）1.38；（ii）1.7
【解析】（i）根据题意作出如下光路图
当孔在人身高一半时有
tanθ = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ≈ SKIPIF 1 < 0 ，sinθ = 0.8，
tanα = SKIPIF 1 < 0 ，sinα = SKIPIF 1 < 0
由折射定律有
n = SKIPIF 1 < 0
（ii）若让掠射进入孔洞的光能成功出射，则可画出如下光路图
根据几何关系有
SKIPIF 1 < 0
61．（2020·全国·统考高考真题）如图，一折射率为 SKIPIF 1 < 0 的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形ABC，∠A=90°，∠B=30°。一束平行光平行于BC边从AB边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求AC边与BC边上有光出射区域的长度的比值。
【答案】2
【解析】设从 SKIPIF 1 < 0 点入射的光线经折射后恰好射向 SKIPIF 1 < 0 点，光在 SKIPIF 1 < 0 边上的入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
由折射定律有
SKIPIF 1 < 0
设从 SKIPIF 1 < 0 范围入射的光折射后在 SKIPIF 1 < 0 边上的入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，由几何关系有
SKIPIF 1 < 0
代入题中数据解得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以从 SKIPIF 1 < 0 范围入射的光折射后在 SKIPIF 1 < 0 边上发生全反射，反射光线垂直射到 SKIPIF 1 < 0 边， SKIPIF 1 < 0 边上全部有光射出。设从 SKIPIF 1 < 0 范围入射的光折射后在 SKIPIF 1 < 0 边上的入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0
根据已知条件可知
SKIPIF 1 < 0
即从 SKIPIF 1 < 0 范围入射的光折射后在 SKIPIF 1 < 0 边上发生全反射，反射光线垂直射到 SKIPIF 1 < 0 边上。设 SKIPIF 1 < 0 边上有光线射出的部分为 SKIPIF 1 < 0 ，由几何关系得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 边与 SKIPIF 1 < 0 边有光射出区域的长度比值为
SKIPIF 1 < 0
62．（2020·全国·统考高考真题）直角棱镜的折射率n=1.5，其横截面如图所示，图中∠C=90°，∠A=30°。截面内一细束与BC边平行的光线，从棱镜AB边上的D点射入，经折射后射到BC边上。
（1）光线在BC边上是否会发生全反射?说明理由；
（2）不考虑多次反射，求从AC边射出的光线与最初的入射光线夹角的正弦值。
【答案】（1）光线在E点发生全反射；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）如图，设光线在D点的入射角为i，折射角为r。折射光线射到BC边上的E点。设光线在E点的入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，由几何关系，有
SKIPIF 1 < 0 =90°–（30°–r）> 60°①
根据题给数据得
sin SKIPIF 1 < 0 > sin60°> SKIPIF 1 < 0 ②
即θ大于全反射临界角，因此光线在E点发生全反射。
（2）设光线在AC边上的F点射出棱镜，光线的入射角为i'，折射角为r'，由几何关系、反射定律及折射定律，有
i= 30°③
i' =90°–θ ④
sin i = nsinr ⑤
nsini' = sinr' ⑥
联立①③④⑤⑥式并代入题给数据，得
SKIPIF 1 < 0 ⑦
由几何关系，r'即AC边射出的光线与最初的入射光线的夹角。
63．（2019·海南·高考真题）一透明材料制成的圆柱体的上底面中央有一球形凹陷，凹面与圆柱体下底面可透光，表面其余部分均涂有遮光材料，过圆柱体对称轴线的截面如图所示。O点是球形凹陷的球心，半径OA与OG夹角 SKIPIF 1 < 0 。平行光沿轴线方向向下入射时，从凹面边缘A点入射的光线经折射后，恰好由下底面上C点射出。已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
(1)求此透明材料的折射率；
(2)撤去平行光，将一点光源置于球心O点处，求下底面上有光出射的圆形区域的半径（不考虑侧面的反射光及多次反射的影响）。
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)从A点入射的光线光路如图；由几何关系可知，入射角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，折射角 SKIPIF 1 < 0 ，则折射率
SKIPIF 1 < 0

(2)将一点光源置于球心O点处，设射到底边P点的光线恰好发生全反射，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由几何关系可知下底面上有光出射的圆形区域的半径
SKIPIF 1 < 0
64．（2019·江苏·高考真题）如图所示，某L形透明材料的折射率n=2．现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为θ．为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求θ的最大值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】要使光线不会射入空气，即发生全反射，设临界角为C，即有：
SKIPIF 1 < 0
由几何关系得：
SKIPIF 1 < 0
联立解得： SKIPIF 1 < 0 ．
65．（2019·全国·高考真题）如图，直角三角形ABC为一棱镜的横截面，∠A=90°，∠B=30°．一束光线平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜，然后垂直于AC边射出．
（1）求棱镜的折射率；
（2）保持AB边上的入射点不变，逐渐减小入射角，直到BC边上恰好有光线射出．求此时AB边上入射角的正弦．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）sin SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）光路图及相关量如图所示．光束在AB边上折射，由折射定律得
SKIPIF 1 < 0 …………①
式中n是棱镜的折射率．由几何关系可知
α+β=60°…………②
由几何关系和反射定律得
SKIPIF 1 < 0 …………③
联立①②③式，并代入i=60°得
SKIPIF 1 < 0 …………④
（2）设改变后的入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，由折射定律得
SKIPIF 1 < 0 …………⑤
依题意，光束在BC边上的入射角为全反射的临界角 SKIPIF 1 < 0 ，且
SKIPIF 1 < 0 …………⑥
由几何关系得
SKIPIF 1 < 0 …………⑦
由④⑤⑥⑦式得入射角的正弦为
sin SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 …………⑧
66．（2019·全国·高考真题）如图，一般帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m．距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°（取sin53°=0.8）．已知水的折射率为 SKIPIF 1 < 0
（1）求桅杆到P点的水平距离；
（2）船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍然照射在桅杆顶端，求船行驶的距离．
【答案】（1）7m （2）5.5m
【解析】①设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为 SKIPIF 1 < 0 ，到P点的水平距离为 SKIPIF 1 < 0 ，桅杆高度为 SKIPIF 1 < 0 ，P点处水深为 SKIPIF 1 < 0 ；激光束在水中与竖直方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，由几何关系有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由折射定律有： SKIPIF 1 < 0
设桅杆到P点的水平距离为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
联立方程并代入数据得： SKIPIF 1 < 0
②设激光束在水中与竖直方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为 SKIPIF 1 < 0
由折射定律有： SKIPIF 1 < 0
设船向左行驶的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为 SKIPIF 1 < 0 ，到P点的水平距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
联立方程并代入数据得： SKIPIF 1 < 0
67．（2018·全国·高考真题）如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上．D位于AB边上，过D点做AC边的垂线交AC于F．该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察．恰好可以看到小标记的像；过O点做AB边的垂线交直线DF于E；DE=2 cm，EF=1 cm．求三棱镜的折射率．(不考虑光线在三棱镜中的反射)
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】过D点作AB边的发现 SKIPIF 1 < 0 ，连接OD，则 SKIPIF 1 < 0 为O点发出的光纤在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示．根据折射定律有
SKIPIF 1 < 0 ①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0 ②
SKIPIF 1 < 0 ③
在 SKIPIF 1 < 0 中有
SKIPIF 1 < 0 ④
由③④式和题给条件得
SKIPIF 1 < 0 ⑤
根据题给条件可知， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，有
SKIPIF 1 < 0 ⑥
由①②⑥式得
SKIPIF 1 < 0 ⑦
68．（2017·全国·高考真题）如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜．有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0．6R．已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)，求该玻璃的折射率．
【答案】1.43
【解析】光路图如图所示：
根据光路的对称性和光路可逆性，与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行．这样，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射．
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r．由折射定律有
SKIPIF 1 < 0 ①
由正弦定理有
SKIPIF 1 < 0 ②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i．由题设条件和几何关系有
SKIPIF 1 < 0 ③
式中L是入射光线与OC的距离．由②③式和题给数据得
SKIPIF 1 < 0 ④
由①③④式和题给数据得
SKIPIF 1 < 0 ⑤
69．（2017·全国·高考真题）一直桶状容器的高为21，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示．容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料．在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率．
【答案】1.55
【解析】设从光源发出直射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1，在剖面内做光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接CD，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点；光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示；
设液体的折射率为n，由折射定律： SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
依题意： SKIPIF 1 < 0 ③
联立①②③解得： SKIPIF 1 < 0 ④
由几何关系： SKIPIF 1 < 0 ⑤
SKIPIF 1 < 0 ⑥
联立④⑤⑥解得：n=1.55
70．（2015·山东·高考真题）半径为 SKIPIF 1 < 0 、介质折射率为 SKIPIF 1 < 0 的透明圆柱体，过其轴线 SKIPIF 1 < 0 的截面如图所示。位于截面所在平面内的一细束光线，以角 SKIPIF 1 < 0 由O点入射，折射光线由上边界的A点射出。当光线在O点的入射角减小至某一值时，折射光线在上边界的B点恰好发生全反射。求A、B两点间的距离。
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当光线在O点的入射角为 SKIPIF 1 < 0 时，设折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
由折射定律得
SKIPIF 1 < 0
设AD间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由几何关系得
SKIPIF 1 < 0
若光线在B点恰好发生全反射，则在B点的入射角恰好等于临界角 SKIPIF 1 < 0 ，设BD间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0
由几何关系得
SKIPIF 1 < 0
则A、B两点间的距离为
SKIPIF 1 < 0
联立解得
SKIPIF 1 < 0
71．（2014·江苏·高考真题）Mrph蝴蝶的翅膀在阳光的照射下呈现出闪亮耀眼的蓝色光芒，这是因为光照射到翅膀的鳞片上发生了干涉．电子显微镜下鳞片结构的示意图见题1 图．一束光以入射角i从a点入射，经过折射和反射后从b点出射．设鳞片的折射率为n，厚度为d，两片之间空气层厚度为h．取光在空气中的速度为c，求光从a到b所需的时间t．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】试题分析：设光在鳞片中的折射角为γ，根据折射定律有：
根据折射率定义式可知，光在鳞片中传播的速度为v＝ SKIPIF 1 < 0
由图中几何关系可知，光从a到b的过程中，在鳞片中通过的路程为：s1＝ SKIPIF 1 < 0
在空气中通过的路程为：s2＝ SKIPIF 1 < 0
所以光从a到b所需的时间为：t＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0
联立以上各式解得：t＝ SKIPIF 1 < 0
考点：光的折射、全反射．
72．（2014·全国·高考真题）一厚度为h的大平板玻璃水平放置，其下表面贴有一半径为r的圆形发光面．在玻璃板上表面放置一半径为R的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上．已知圆纸片恰好能完全挡住从圆形发光面发出的光线（不考虑反射），求平板玻璃的折射率．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，考虑从圆形发光面边缘的A点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃上表面的A′ 点折射，根据折射定律有：nsinθ＝sinα
式中，n是玻璃的折射率，θ是入射角，α是折射角．
现假设A′恰好在纸片边缘．由题意，在A′点刚好发生全反射，故： SKIPIF 1 < 0
设AA′线段在玻璃上表面的投影长为L，由几何关系有： SKIPIF 1 < 0
由题意，纸片的半径应为：R＝L＋r
联立以上各式得： SKIPIF 1 < 0
73．（2014·海南·高考真题）如图，矩形ABCD为一水平放置的玻璃砖的截面，在截面所在平面内有一细束激光照射玻璃砖，入射点距底面的高度为h，反射光线和折射光线的底面所在平面的交点到AB的距离分别为l1和l2．在截面所在平面内，改变激光束在AB面上入射点的高度和入射角的大小，当折射光线与底面的交点到AB的距离为l3时，光线恰好不能从底面射出．求此时入射点距底面的高度H．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设玻璃砖的折射率为n，入射角和反射角为θ1，折射角为θ2，由光的折射定律
SKIPIF 1 < 0
根据几何关系有
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因此求得
SKIPIF 1 < 0
根据题意，折射光线在某一点刚好无法从底面射出，此时发生全反射，设在底面发生全反射时的入射角为 SKIPIF 1 < 0 ，有
SKIPIF 1 < 0
由几何关系得
SKIPIF 1 < 0
解得此时入射点距离底面的高度
SKIPIF 1 < 0
74．（2014·山东·高考真题）如图所示，三角形ABC为某透明介质的横截面，O为BC边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自O以角度i入射，第一次到达AB边恰好发生全反射．已知 SKIPIF 1 < 0 ，BC边长为2L，该介质的折射率为 SKIPIF 1 < 0 ．求：
（i）入射角i
（ii）从入射到发生第一次全反射所用的时间（设光在真空中的速度为c，可能用到： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0
【解析】（i）根据全反射规律可知，光线在AB面上P点的入射角等于临界角C，由折射定律得
SKIPIF 1 < 0 ①
代入数据得
SKIPIF 1 < 0 ②
设光线在BC面上的折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，由几何关系得
SKIPIF 1 < 0 ③
根据光的折射定律
SKIPIF 1 < 0 ④
联立③④式代入数据得
SKIPIF 1 < 0 ⑤
（ii）在 SKIPIF 1 < 0 中，根据正弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ⑥
设所用时间为t，光线在介质中的速度为v，得
SKIPIF 1 < 0 ⑦
SKIPIF 1 < 0 ⑧
联立⑥⑦⑧式，代入数据得
SKIPIF 1 < 0 ⑨
75．（2017·江苏·高考真题）人的眼球可简化为如图所示的模型，折射率相同、半径不同的两个球体共轴，平行光束宽度为D，对称地沿轴线方向射入半径为R的小球，会聚在轴线上的P点．取球体的折射率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求光线的会聚角 SKIPIF 1 < 0 ．(示意图未按比例画出)
【答案】300
【解析】由几何关系可得：
SKIPIF 1 < 0
解得：
SKIPIF 1 < 0
则由折射定律 SKIPIF 1 < 0 ，解得折射角：
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可得：
SKIPIF 1 < 0
解得会聚角：
SKIPIF 1 < 0
76．（2016·全国·高考真题）如图，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m．从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为4/3．
（i）求池内的水深；
（ii）一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到地面的高度为2.0 m．当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°．求救生员的眼睛到池边的水平距离（结果保留1位有效数字）．
【答案】（i） SKIPIF 1 < 0 （ii）0.7 m
【解析】（i）如图，设达到池边的光线的入射角为i．依题意，水的折射率n= SKIPIF 1 < 0 ，光线的折射角θ=90°．
由折射定律有
nsin i=sinθ①
由几何关系有
sin i= SKIPIF 1 < 0 ②
式中，l=3 m，h是池内水的深度．联立①②式并代入题给数据得
h= SKIPIF 1 < 0 m≈2．6 m③
（ii）设此时救生员的眼睛到池边的距离为x．依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ'=45°．由折射定律有
nsin i'=sin θ' ④
式中，i'是光线在水面的入射角．设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a．由几何关系有
sin i'= SKIPIF 1 < 0 ⑤
x+l=a+h' ⑥
式中h'=2 m．联立③④⑤⑥式得
x=(3 SKIPIF 1 < 0 –1)m≈0．7 m⑦
考点：光的折射定律
77．（2016·海南·高考真题）如图，半径为R的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面与桌面相切于A点。一细束单色光经球心O从空气中摄入玻璃体内（入射面即纸面），入射角为45°，出射光线射在桌面上B点处。测得AB之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 。现将入射光束在纸面内向左平移，求射入玻璃体的光线在球面上恰好发生全反射时，光束在上表面的入射点到O点的距离。不考虑光线在玻璃体内的多次反射。
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当光线经球心O入射时，光路图如图（a）所示。设玻璃的折射率为n，由折射定律有
SKIPIF 1 < 0 ①
式中，入射角i=45°，γ为折射角。
△OAB为直角三角形，因此
SKIPIF 1 < 0 ②
发生全反射时，临界角C满足
sinC= SKIPIF 1 < 0 ③
在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如图（b）所示。设此时光线入射点为E，折射光线射到玻璃体球面的D点。由题意有
∠EDO=C④
在△EDO内，根据正弦定理有
SKIPIF 1 < 0 ⑤
联立以上各式并利用题给条件得
SKIPIF 1 < 0 ⑥
【点睛】本题是简单的几何光学问题，其基础是作出光路图，根据几何知识确定入射角与折射角，根据折射定律求解。
78．（2015·江苏·高考真题）人造树脂是常用的眼镜片材料，如图所示，光线射在一人造树脂立方体上，经折射后，射在桌面上的P点，已知光线的入射角为30°，OA＝5 cm，AB＝20 cm，BP＝12 cm，求该人造树脂材料的折射率n。
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设折射角为 SKIPIF 1 < 0 ，由折射定律
SKIPIF 1 < 0
由几何关系知
SKIPIF 1 < 0
且
SKIPIF 1 < 0
代入数据解得
SKIPIF 1 < 0
79．（2014·全国·高考真题）一个半圆柱形透明玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图所示，玻璃的折射率为n= SKIPIF 1 < 0
(1)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少?
(2)一细束光线在O点左侧与O相距 SKIPIF 1 < 0 处垂直于AB从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)此光线从玻璃砖射出点的位置在O点左侧或者右侧 SKIPIF 1 < 0 处
【解析】(1)根据全反射定律 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0
即临界角为 SKIPIF 1 < 0 ，如图
由几何知识得
SKIPIF 1 < 0
则入射光束在AB上的最大宽度为
SKIPIF 1 < 0
(2)设光线在距离O点 SKIPIF 1 < 0 的C点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系和已知条件得
SKIPIF 1 < 0
光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图
由反射定律和几何关系得
SKIPIF 1 < 0
射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出。
四、填空题
80．（2021·全国·高考真题）如图，单色光从折射率n=1.5、厚度d=10.0cm的玻璃板上表面射入。已知真空中的光速为 SKIPIF 1 < 0 m/s，则该单色光在玻璃板内传播的速度为___________m/s；对于所有可能的入射角，该单色光通过玻璃板所用时间t的取值范围是___________s≤t<___________s（不考虑反射）。
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】[1] 该单色光在玻璃板内传播的速度为
SKIPIF 1 < 0
[2]当光垂直玻璃板射入时，光不发生偏折，该单色光通过玻璃板所用时间最短，最短时间
SKIPIF 1 < 0
[3]当光的入射角是90°时，该单色光通过玻璃板所用时间最长。由折射定律可知
SKIPIF 1 < 0
最长时间
SKIPIF 1 < 0
81．（2020·江苏·统考高考真题）我国的光纤通信技术处于世界领先水平。光纤内芯（内层玻璃）的折射率比外套（外层玻璃）的_____（选填“大”或“小”）。某种光纤的内芯在空气中全反射的临界角为 SKIPIF 1 < 0 ，则该内芯的折射率为_____。（取 SKIPIF 1 < 0 ，结果保留2位有效数字）
【答案】 大 SKIPIF 1 < 0
【解析】[1]根据全反射定律 SKIPIF 1 < 0 可知光钎内芯的折射率比外套的折射率大，这样光在内芯和外壳的界面上才能发生全反射，保证信息的传输。
[2]折射率为
SKIPIF 1 < 0
82．（2018·全国·高考真题）如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A=30°，一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为_____。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射射角______（“小于”“等于”或“大于”）60°。
【答案】 SKIPIF 1 < 0 大于
【解析】[1][2]由几何知识可知，红光在D点发生折射时，折射角为i=60°，入射角为r=30°，由折射定律可得
SKIPIF 1 < 0
解得玻璃对红光的折射率为
SKIPIF 1 < 0
若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°。
83．（2018·海南·高考真题）（1）警车向路上的车辆发射频率已知的超声波，同时探测反射波的频率．下列说法正确的是_______．（填入正确答案标号）
A．车辆匀速驶向停在路边的警车，警车探测到的反射波频率增高
B．车辆匀速驶离停在路边的警车，警车探测到的反射波频率降低
C． 警车匀速驶向停在路边的汽车，探测到的反射波频率降低
D．警车匀速驶离停在路边的汽车，探测到的反射波频率不变
（2）如图，由透明介质构成的半球壳的内外表面半径分别为R和 SKIPIF 1 < 0 R．一横截面半径为R的平行光束入射到半球壳内表面，入射方向与半球壳的对称轴平行，所有的入射光线都能从半球壳的外表面射出．已知透明介质的折射率为n= SKIPIF 1 < 0 ．求半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径________．不考虑多次反射．
【答案】 AB SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）本题考查的是多普勒效应，凡是波源靠近观察者，观察者接收到的频率就会变大，远离观察者，接收到的频率就会变小，故AB正确
（2）分析边缘光线a，如图：
由几何关系得， SKIPIF 1 < 0 ，可得∠CAB=45°，
在△OAB中，AC=AB，设为r，在△OBC中，
由勾股定理有： SKIPIF 1 < 0
进而求出 SKIPIF 1 < 0
故半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径为 SKIPIF 1 < 0