北师大版九年级数学下册 专题3.22 弧长和扇形面积（知识讲解1）（附答案）

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1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
特别说明：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
特别说明：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【典型例题】
类型一、求弧长
1 如图，已知等边的边长为6，以为直径的与边，分别交于D，E两点，连结，．
（1）求的度数．
（2）求劣弧的长．
【答案】（1）；（2）劣弧的长为
【分析】
（1）由题意易得，，然后问题可求解；
（2）根据弧长计算公式可直接进行求解．
解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△AOD、△OBE都为等边三角形，
∴，
∴；
（2）由（1）及弧长计算公式可得：
．
【点拨】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
【变式1】如图，内接于⊙O，．
（1）求⊙O的半径；
（2）求劣弧的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出⊙O的半径；
（2）根据弧长公式计算，得到答案．
解：（1）连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=90°，
∴OB=BC=，即⊙O的半径为，
（2）劣弧BC的长==．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
【变式2】已知：如图，在⊙O中，弦与相交于点，，给出下列信息：
①；②是⊙O的直径；③．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的情况下，若，求的长度．
【答案】（1）选择①②作条件，结论是③，命题正确，证明见详解；（2）．
【分析】
（1）选择①②作条件，结论是③，命题正确，根据圆周角定理、角的和与差及三角形外角性质即可得证；
（2）连接OD，根据勾股定理即可求出，从而求出圆的半径，再根据同圆的半径相等及等边对等角和三角形内角和即可求得，最后根据弧长公式即可得出答案．
解：（1）选择①②作条件，结论是③，命题正确，证明如下：
连接BD
是⊙O的直径
所对
（2）连接OD，
在中，
解得：（负值已舍去）
．
【点拨】本题考查了圆周角定理、同圆的半径相等、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．
类型二、求半径
2 小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥，制作过程中，他将半圆剪成面积比为1：2的两个扇形．
(1)请你在图中画出他的裁剪痕迹．(要求尺规作图，保留作图痕迹)
(2)若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多大的圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗(不考虑损耗及接缝)？
【答案】(1)见解析；(2)正好够剪.
【分析】
（1）先作出直径AB的垂直平分线，找到圆心O，进而以点B为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于一点C，作直线OC即为裁剪的直线；
（2）算出大扇形的弧长，除以2π即为小圆的半径，比较即可．
(1)如图：

(2)∵OA=3，
∴l弧AC=π×3=2π，
∴小圆半径r=1，正好够剪．
【点拨】考查圆锥的作图及相关计算；用到的知识点为：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．
【变式1】如图，已知．
（1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）12
【分析】
（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可
（2）根据弧长公式计算即可；
（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求；
（2）如图，连接AO，BO，
∵弧AB的度数为，
∴，
又∵弧AB的长是，
∴，
解得：，
∴所在圆的半径的长是12．
【点拨】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键．
【变式2】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，4)、B(-4，4)、C(-6，2)，请在网格图中进行如下操作：
（1）利用网格图确定该圆弧所在圆的圆心D的位置（保留画图痕迹）；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为_ __(结果保留根号)，∠ADC的度数为_ __；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．(结果保留根号)．
【答案】(1)详见解析；(2)，90°；(3) .
【解析】
【分析】
(1)利用垂径定理得出点位置即可；(2)利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，再利用全等三角形的判定与性质得出的度数；(3)利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出结论.
解：(1)如图所示：作的中垂线，交点即为所求，坐标为：；
故答案为：(-2，0)；
(2)∵，，
∴，，
∴，
即的半径长为，
∵C(-6，2)，
∴EC=2，DE=4，
∴，
∴在和中，
，
∴≌)，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，90°；
(3)设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得出：
，
解得：，
故答案为：.
【点拨】本题考查了垂径定理、弧长公式和全等三角形的判定与性质.(1)关键是由垂径定理得：弦的垂直平分线经过圆心，进而由交点确定圆心；(2)关键是利用全等三角形的判定和性质得到圆心角的度数；(3)圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长是解题关键.
类型三、求圆心角
3 已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数．
【答案】
【分析】
根据弧长的计算公式计算即可．
解：圆心角的度数．
【点拨】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
【变式1】 如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,⊙O的半径长为rcm,弧AB的长度为cm,弧CD的长度为cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当=时,求证:AB=CD
【答案】见解析
【分析】
利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.
解：令∠AOB=α，∠COD=β.
∵=
∴
∵AB和CD在同圆中，r1=r2
∴α=β
∴AB=CD
【点拨】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.
【变式2】如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=4.以AB为直径画⊙O，交边AC于点D．AD的长为，求证：BC是⊙O的切线.
【答案】证明见解析.
【分析】
连接OD，根据弧长公式求出AOD的度数，再证明AB⊥BC即可；
证明：如图，连接,
是直径且 ，
.

设，
的长为，
解得.
即
在☉O中，
.
．
，
，
即
又为直径，
是☉O的切线.
【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
类型四、求点的运动路径长
4 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请画出关于原点O成中心对称的；
（2）请画出将绕点A顺时针旋转90°后得到的；
（3）求（2）中点C所经过的路径长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
解：（1）如解图所示， 即为所求；
（2）如解图所示， 即为所求；
（3）∵，，
∴点C所经过的路径长．
【变式1】 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，是由顺时针旋转得到的．
（1）求阴影部分的面积；
（2）求旋转过程中，点A经过的路径长．
【答案】（1）；（2）．
解：（1）如解图，连接，
∵
，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为；
（2），
∴点A经过的路径长为．
【变式2】如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以点O为原点建立平面直角坐标系．
（1）在图中画出向上平移6个单位后的;
（2）在图中画出绕点O逆时针旋转后的，并求出点C旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）答案见解析；（2）作图见解析，路径长为．
【分析】
（1）分别作出三个顶点向上平移6个单位所得到的对应点，再收尾依次连接即可；
（2）将三个顶点分别绕点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可，继而根据弧长公式求解即可．
解：（1）根据平移的性质将三个顶点分别向上平移6个单位所得到的对应点，再收尾依次连接，答案如图所示：
（2）将三个顶点分别绕点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可，答案如图所示：
∵，
∴
【点拨】本题主要考查了旋转和平移作图，勾股定理以及弧长公式，解题的关键在于能够准确找出对应点的位置．
类型五、求扇形面积
5 如图，△ABC的边AC与分别交于C、D两点，且CD是的直径，AB是的切线，切点为B，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【分析】
连接OB，证明，，在中，由，求解，从而可得答案．
解：连接OB，
∵AB是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴.
【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，切线的性质，扇形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
【变式1】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
（1）作出关于原点对称的；
（2）将绕点逆时针旋转，根据三角形扫过的痕迹，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）所作图形如图所示，见解析；（2）图中阴影部分的面积为．
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1，然后描点即可；
（2）由题意，阴影部分的面积等于线段绕点逆时针旋转90°所得到的扇形面积，即可求出答案．
解：（1）所作图形如图所示：
（2）由题意可知，
∵
所求阴影部分的面积等于线段绕点逆时针旋转90°所得到的扇形面积：
．
【点拨】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．也考查了三角形的面积和扇形面积公式．
【变式2】 如图，以正三角形的边为直径画☉，分别交，于点，，cm，求弧的长及阴影部分的面积．
【答案】
【分析】
连接OD，OE，AE，根据等边三角形的性质先求的圆的半径和弧ED对应的圆心角∠DOE=60°，再分别求出弧DE的长，根据S阴影=S△OBE+S△AOD+S扇形ODE求出阴影部分的面积．
连接OD，OE，AE，
∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴AE⊥BC，BE=OB，∠B=60°，
∴OE平行且相等AD，OA=OE，
∴四边形OAED是菱形，
∴∠DOE=∠AOD=∠OBE=60°，
∵AB=6cm，
∴OD=OE=BE=3cm，
∴AE==（cm），
∴△OBE中底边BE上的高以及△AOD中底边OD上的高都为：cm，
∴S阴影=S△OBE+S△AOD+S扇形ODE=＝．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质及扇形的面积计算，运用各部分面积之间的和差关系求解阴影部分面积，求出小等边三角形和扇形的面积是解题关键．
类型六、求旋转扫过的面积
6 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位． Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后得到△AB1C1；
（1）作出△AB1C1；(不写画法）
（2）求点C转过的路径长；
（3）求边AB扫过的面积．
【答案】（1）见解析；（2）π；（3）π
【分析】
（1）根据旋转的性质可直接进行作图；
（2）由（1）图及旋转的性质可得点C的运动路径为圆弧，其所在的圆心为A，半径为3，然后根据弧长计算公式可求解；
（3）由题意可得边AB扫过的面积为扇形的面积，其扇形的圆心角为90°，半径为5，然后可求解．
解：（1）如图所示：
（2）∵由已知得，CA=3，
∴点C旋转到点C1所经过的路线长为：＝π×3=π ；
（3）由图可得：AB===5，
∴S=π×52 =π．
【点拨】本题主要考查旋转的性质、弧长计算及扇形的面积，熟练掌握旋转的性质、弧长计算及扇形的面积公式是解题的关键．
【变式1】 如图，一根长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域．
【答案】见解析.
【分析】
以B为圆心，BE为半径，作圆弧交BA和BC边延长线于F，G两点，再以C为圆心，BE-BC为半径，交BC延长线于点G，交CD于点H，扇形FBG和扇形GCH即为所求.
以B为圆心，BE为半径，作圆弧交BA和BC边与F，G两点，再以C为圆心，BE-BC为半径，交BC延长线于点G，交CD于点H，如图所示：
扇形FBG和扇形GCH即为羊的活动区域.
【点拨】本题是对扇形知识的考查，找到扇形GCH是解决本题的关键.
【变式2】 如图，已知点的坐标分别为，
（1）将向上平移2个单位长度得到，画出；
（2）将绕点按逆时针方向旋转得到，画出；
（3）在（2）的条件下，边扫过的面积是__________．（保留）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、O、B向上平移2个单位的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、O、B绕点O按逆时针方向旋转90°的对应点A2、O、B2的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用勾股定理列式求出OB，再根据AB边扫过的面积等于AB扫过的面积减去OB扫过的面积列式计算即可得解．
解：（1）△A1O1B1如图所示；
（2）△A2OB2如图所示；
（3）由题意得：OA=4，
由勾股定理得，，
AB边扫过的面积=
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了利用平移变换作图，利用旋转变换作图，扇形的面积熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于观察出（3）AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差．
类型七、求弓形的面积
7 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田．
（1）计算弧田的实际面积．
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7）
【答案】（1）；（2）
解：（1）在中，．
设半径，则．
在中，，
由，解得（负值舍去），
∴半径．（3分）
∴，
．
∴弧田面积．
（2）圆心到弦的距离等于1，所以矢长为1．
按照上述弧田的面积公式计算，得弧田面积．
∴两者之差为．
【变式1】 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，直接写出图中阴影部分的面积 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）﹣4．
【分析】
（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，得到∠ABC＝90°，根据CD＝CB，OB＝OD，推出∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，由此证得结论；
（2）根据垂径定理和勾股定理求得BF＝BD＝2，OB＝4，由此得到∠BOD＝2∠BOF＝120°，再利用S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD计算即可得到答案．
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；
（2）﹣4．
（解：∵OF⊥BD，
∴BF＝BD＝2，OB＝＝4，
∴OF＝OB，
∴∠OBF＝30°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，
∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝﹣×4×2＝﹣4．
【点拨】此题考查圆的切线的判定定理，垂径定理和勾股定理，利用圆的扇形面积计算公式求不规则图形的面积，熟练掌握各定理知识是解题的关键．
【变式2】 如图，点在直径为2的上，，求图中阴影部分的面积．（结果中保留）
【答案】
【分析】
连接OB、OC，得出∠BOC的度数，再求出扇形BOC和△BOC的面积，即可得出答案．
解：连接，
.，
，
的直径为2，
，
，
，
.
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，能求出扇形BOC和△BOC的面积是解此题的关键．
类型八、求不规则图形面积
8 如图，是的弦，，点P是上一点，且，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【分析】
证明△OAB是等边三角形，再根据S阴=S扇形OAB-S△OAB计算即可．
解：∵∠AOB=2∠APB，∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴S阴=S扇形OAB-S△OAB==．
【点拨】本题考查扇形的面积，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1】 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若∠AEC＝30°，⊙O的半径为10，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）−25．
【分析】
（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠OCA＝∠OAC，根据角平分线得出∠OCA＝∠OAC＝∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）根据圆周角定理证明△AOC是等边三角形，利用扇形面积和等边三角形的面积即可求出结果．
（1）证明：如图，连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
即 CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为10，
∴等边三角形△AOC面积为：×10×5＝25，
扇形AOC的面积为：．
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积−等边三角形△AOC面积＝−25．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，圆周角定理，扇形面积的计算，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．
【变式2】如图，在⊙O中，直径AB＝24，点C、D在⊙O上，AB与CD交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为点H，DF交BA延长线于点F，∠CDF＝2∠B．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，易证∠CDF＝∠FOD，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，即可得∠CDO+∠FOD=90°，所以∠CDF+∠COD=90°，由此即可证得DF是⊙O的切线；
（2）已知FD＝BD，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠F，再由∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，即可求得∠B=∠F=30°，∠FOD=60°；在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，可得OH=6，DH=，根据即可求得图中阴影部分的面积．
（1）连接OD，
∵∠FOD＝2∠B，∠CDF＝2∠B，
∴∠CDF＝∠FOD，，
∵CE＝ED，AB为直径，
∴AB⊥CD，
∴∠CDO+∠FOD=90°，
∴∠CDF+∠CDO=90°，
即∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵FD＝BD，
∴∠B＝∠F，
∵AB为直径，AB=24，
∴OD=12，
∵∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，
∴∠B=∠F=30°，∠FOD=60°，
∵DO=BO，
∴∠B＝∠ODH=30°，
在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，
∴OH=6，DH=，
∴．
【点拨】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理，熟练运用相关定理进行证明是解决问题的关键．