江西省景德镇市十校联考2022—-2023学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份江西省景德镇市十校联考2022—-2023学年上学期九年级期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了÷2等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）关于x的一元二次方程有一个根是﹣1，若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
4．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2可由y＝x2如何平移得到（ ）
A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
5．（3分）如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD＝3，将含30°角的直角三角板（∠F＝30°）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q，连接PQ．当EF∥PQ时，DQ长为（ ）
A．6B．C．10D．6
6．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣4＜m＜6B．﹣＜m＜﹣4C．6＜m＜D．﹣＜m＜6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5的顶点坐标是 ．
8．（3分）已知点P（a﹣1，2）与点Q（﹣3，b+1）关于原点对称，则a+b＝ ．
9．（3分）设m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则m2+n+mn＝ ．
10．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，其中《方田》一章中记载了弧田面积术，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一，即弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2．如图，“弧田”由圆弧和其所对的弦围成，“弦”是圆弧所对的弦长，“矢”是半径长与圆心到弦的距离之差．若弦AB的长为16米，半径OA＝10米，则弧田面积为 平方米．
11．（3分）用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃，则能围成苗圃的最大面积是 ．
12．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为 ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）如图，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆上E点处．
（1）求证：AD过圆心；
（2）若已知：∠C＝38°，求∠BAE的度数．
14．（6分）当m为什么数时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣mx+2＝m﹣x2是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
15．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
16．（6分）写出抛物线y＝x2﹣4x﹣3的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．（6分）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）实践与操作：以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，若∠A＝60°，试猜想AE与AB之间的数量关系，并说明理由．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F为上一点，＝，连结CF分别交AB，AD于点G，H．
（1）求证：FH＝GH．
（2）若AH：CH＝3：4，且AF＝15，求GB的长．
19．（8分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 ．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：
（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是 ．
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
20．（8分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP＝3，求PP′的长．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．
（1）若y1＝y2，求y3的值；
（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上．
（1）如图1，∠AMP、∠DNP、∠MPN的数量关系为： ；
（2）如图2，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，连接MN，∠EMN的平分线MH交CD于点H．
①当MH∥EF，PN∥EF时，请判断∠EFD与∠PNM的数量关系，并说明理由；
②如图3，当PN保持PN∥EF并向左平移，在平移的过程中猜想∠EFD、∠PNM与∠MHN的数量关系，请直接写出结论．
2022-2023学年江西省景德镇市十校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
2．（3分）关于x的一元二次方程有一个根是﹣1，若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b＝3a+，由一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，可得a＜0，b＞0，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+＝3a+，
∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a+＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
∴﹣1＜3a+＜，
∴﹣1＜t＜，
故选：D．
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【分析】根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DBC，计算即可．
【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠AEB﹣∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝80°，
故选：D．
4．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2可由y＝x2如何平移得到（ ）
A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【分析】先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），因为点（0，0）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点（1，2），所以把抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
5．（3分）如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD＝3，将含30°角的直角三角板（∠F＝30°）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q，连接PQ．当EF∥PQ时，DQ长为（ ）
A．6B．C．10D．6
【分析】证明△ADP∽△BPQ，由相似三角形的性质得出，求出BP＝6，CQ＝2，过点Q作QM⊥AC于点M，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：∵∠F＝30°，
∴∠E＝60°，
∵EF∥PQ，
∴∠DPQ＝∠E＝60°，∠DQP＝∠F＝30°，
∴∠APD+∠BPQ＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AC＝BC＝AB＝10，
∴∠APD+∠ADP＝120°，
∴∠BPQ＝∠ADP，
∴△ADP∽△BPQ，
∴，
∵∠PDQ＝90°，∠DQP＝30°，
∴PD＝PQ，
∴，
∴BP＝6，
∴AP＝4，BQ＝8，
∴CQ＝2，
过点Q作QM⊥AC于点M，
∴CM＝CQ＝1，QM＝，
∵CD＝AC﹣AD＝10﹣3＝7，
∴DQ＝＝＝．
故选：B．
6．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣4＜m＜6B．﹣＜m＜﹣4C．6＜m＜D．﹣＜m＜6
【分析】当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，直线y＝2x﹣m处于a、b之间时，有4个交点，即可求解．
【解答】解：令y＝﹣x2+x+6＝0，则x＝﹣2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2，0）、（3，0），
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x轴对称，
则新图象的表达式为：﹣y′＝﹣x2+x+6，即y′＝x2﹣x﹣6，
如图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，
当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y＝2x﹣m并解得：m＝6；
当直线处于直线b的位置，即直线与y′＝x2﹣x﹣6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x2﹣3x+m﹣6＝0，
则Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣6）＝0，解得：m＝，
观察图象可知，满足条件的m的值：6＜m＜，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5的顶点坐标是 （2，5） ．
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，5），
故答案为：（2，5）．
8．（3分）已知点P（a﹣1，2）与点Q（﹣3，b+1）关于原点对称，则a+b＝ 1 ．
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而求出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣1，2）与点Q（﹣3，b+1），
∴a﹣1＝3，b+1＝﹣2，
∴a＝4，b＝﹣3，
则a+b＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
9．（3分）设m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则m2+n+mn＝ 1 ．
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到m2＝m+2，则m2+n+mn变形为m+n+mn+2，再利用根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2＝m+2，
∴m2+n+mn＝m+2+n+mn＝m+n+mn+2，
∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2，
∴m2+n+mn＝1﹣2+2
＝1．
故答案为：1．
10．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，其中《方田》一章中记载了弧田面积术，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一，即弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2．如图，“弧田”由圆弧和其所对的弦围成，“弦”是圆弧所对的弦长，“矢”是半径长与圆心到弦的距离之差．若弦AB的长为16米，半径OA＝10米，则弧田面积为 40 平方米．
【分析】由垂径定理得AD＝BD＝AB＝8（米），再由勾股定理得OD＝6（米），则CD＝OC﹣OD＝4（米），然后由弧田面积进行计算即可．
【解答】解：如图，设OC与AB交于点D，
由题意得：OC⊥AB，AB＝16米，
∴AD＝BD＝AB＝8（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），
∴弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2＝（16×4+4×4）÷2＝40（平方米），
故答案为：40．
11．（3分）用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃，则能围成苗圃的最大面积是 900平方米 ．
【分析】设矩形苗圃的长为x米，则宽为（60﹣x）米，矩形的面积为S平方米，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：设矩形苗圃的长为x米，则宽为（60﹣x）米，矩形的面积为S平方米，
由题意，得S＝x（60﹣x）＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣30）2+900，
∵﹣1＜0，
∴当x＝30时，S最大，最大值为900，
故答案为：900平方米．
12．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为 6 ．
【分析】以AC为边作等边△ACF，连接DF，可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则DF⊥CB时，DF的长最小，即DE的长最小，即可求解．
【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，
∴AC＝4，
∵△ACF是等边三角形，
∴CF＝AC＝AF＝4，∠BCF＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠FAC＝∠DAE＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
在△ACE和△AFD中，
，
∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，
∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小，
∵∠FCD'＝90°﹣60°＝30°，D'F⊥CB，
∴CD'＝CF＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）如图，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆上E点处．
（1）求证：AD过圆心；
（2）若已知：∠C＝38°，求∠BAE的度数．
【分析】（1）连接BE，运用垂径定理的推论与翻折问题解决；
（2）根据等腰三角形的性质，等边对等角，以及圆周角定理，求出即可．
【解答】（1）证明：连接BE，BE交AD于点F，
∵△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆上E点处．
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，BF＝EF，
∴AD垂直平分BE，
∴AD过圆心；
（2）解：∵△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆上E点处．
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠C＝38°，
∴∠BAE＝180°﹣38°﹣38°＝104°．
14．（6分）当m为什么数时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣mx+2＝m﹣x2是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当m﹣1≠0时，方程是一元二次方程，再求出答案即可．
【解答】解：（m﹣2）x2﹣mx+2＝m﹣x2，
（m﹣1）x2﹣mx+2﹣m＝0，
∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣mx+2＝m﹣x2是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
即当m≠1时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣mx+2＝m﹣x2是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是m﹣1，﹣m，2﹣m．
15．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF＝＝＝4．
16．（6分）写出抛物线y＝x2﹣4x﹣3的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，
所以抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣7）．
17．（6分）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）实践与操作：以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，若∠A＝60°，试猜想AE与AB之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆，⊙O分别交AB，AC于点D，E；
（2）连接BE，如图，先根据圆周角定理得到∠BEC＝90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AE＝AB．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）AE＝AB．
理由如下：连接BE，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F为上一点，＝，连结CF分别交AB，AD于点G，H．
（1）求证：FH＝GH．
（2）若AH：CH＝3：4，且AF＝15，求GB的长．
【分析】（1）连结AC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，根据垂径定理得＝，＝，所以∠D＝∠ACD，因为＝，所以＝，则∠DCF＝∠BAC，∠D＝∠ACD，即可推导出∠F＝∠AGF，得AF＝AG，而∠FAD＝∠BAD，根据等腰三角形的“三线合一”性质得FH＝GH；
（2）连结BC，设BE＝m，先证明△AHF∽△CHD，则＝＝，求得CD＝×15＝20，所以CE＝DE＝CD＝10，再证明△BCE≌△GCE，得GE＝BE＝m，再证明△CEB∽△AEC，得＝，列出关于m的方程，求出m的值，即可求得GB的长．
【解答】（1）证明：如图，连结AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，＝，
∴∠D＝∠ACD，
∵＝，
∴＝，
∴∠DCF＝∠BAC，
∴∠AGF＝∠ACF+∠BAC＝∠ACF+∠DCF＝∠ACD，
∵∠F＝∠D，
∴∠F＝∠AGF，
∴AF＝AG，
∵∠FAD＝∠BAD，
∴FH＝GH．
（2）解：如图，连结BC，设BE＝m，
根据题意得AF＝15，＝，
∴AG＝AF＝15，
∵∠F＝∠D，∠AHF＝∠CHD，
∴△AHF∽△CHD，
∴＝＝，
∵CD＝×15＝20，
∴CE＝DE＝CD＝10，
∵∠BCE＝∠GCE，CE＝CE，∠CEB＝∠CEG＝90°，
∴△BCE≌△GCE，
∴GE＝BE＝m，
∵∠BCE＝∠CAE，∠CEB＝∠AEC，
∴△CEB∽△AEC，
∴＝，
∴BE•CE＝CE2，
∴m（15+m）＝102，
解得m1＝5，m2＝﹣20（不符合题意，舍去），
∴GE＝BE＝5，
∴GB＝GE+BE＝10，
∴GB的长为10．
19．（8分）有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 任意实数 ．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整：
（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是 ①③ ．
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是 ﹣1＜k＜3 ．
【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；
（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2﹣4|x|+3，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，故③正确；
函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
（4）由图象可得，
关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3，
故答案为：﹣1＜k＜3．
20．（8分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
又∵x为整数，
∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，
∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP＝3，求PP′的长．
【分析】根据旋转的性质得出△ABP≌△ACP′，推出AP＝AP′＝3，∠BAP＝∠CAP′，求出∠PAP′＝90°，得出△PAP′是等腰直角三角形，根据勾股定理求出PP′即可．
【解答】解：∵将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′＝3，∠BAP＝∠CAP′，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∴∠CAP′+∠CAP＝90°，
即∠PAP′＝90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：PP′＝＝3，
即PP′的长是3．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．
（1）若y1＝y2，求y3的值；
（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．
【分析】（1）由y1＝y2可得抛物线对称轴为y轴，由抛物线经过（﹣2，0），（2，y3）可得y3的值．
（2）由抛物线经过（﹣2，0）可得4﹣2b+c＝0，分别将（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）代入解析式，根据y2＜y1＜y3及b的取值范围求解．
【解答】解：（1）当y1＝y2时，（﹣1，y1），（1，y2）关于对称轴对称，
则抛物线对称轴为y轴，
∴（﹣2，0），（2，y3）关于y轴对称，
∴y3＝0．
（2）将（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c得4﹣2b+c＝0，
将（1，y2）代入y＝x2+bx+c得y2＝1+b+c，
将（﹣1，y1）代入y＝x2+bx+c得y1＝1﹣b+c，
∵y2＜y1，
∴1+b+c＜1﹣b+c，
∴b＜0，
将（2，y3）代入y＝x2+bx+c得y3＝4+2b+c，
∵y1＜y3，
∴1﹣b+c＜4+2b+c，
∴b＞﹣1，
∵4﹣2b+c＝0，
∴y3＝4+2b+c＝4b，
∴﹣4＜4b＜0，即﹣4＜y3＜0．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上．
（1）如图1，∠AMP、∠DNP、∠MPN的数量关系为： ∠AMP+∠MPN﹣∠PND＝180° ；
（2）如图2，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，连接MN，∠EMN的平分线MH交CD于点H．
①当MH∥EF，PN∥EF时，请判断∠EFD与∠PNM的数量关系，并说明理由；
②如图3，当PN保持PN∥EF并向左平移，在平移的过程中猜想∠EFD、∠PNM与∠MHN的数量关系，请直接写出结论．
【分析】（1）结论：∠AMP+∠MPN﹣∠PND＝180°．如图1中，过点P作PT∥AB．利用平行线的性质证明即可；
（2）①结论：∠EFD＝∠PNM．利用平行线的性质角平分线的定义证明即可；
②分两种情形：如图3﹣1中，当点P在MN的右侧时，2∠MHN﹣∠PND＝∠PNM．如图3﹣2中，当点P值MN的左侧时，2∠MHN+∠PNM＝∠EFD．
【解答】解：（1）如图1中，过点P作PT∥AB．
∵AB∥CD，PT∥AB，
∴AB∥PT∥CD，
∴∠AMP+∠MPT＝180°，∠PND＝∥TPN，
∴∠AMP+∠MPN﹣∠PND＝180°．
故答案为：∠AMP+∠MPN﹣∠PND＝180°；
（2）①结论：∠EFD＝∠PNM．
理由：如图2中，
∵MH∥EF，
∴∠EFD＝∠MHN，
∵AB∥CD，
∴∠MHD＝∠AMH，
∵MH平分∠AMN，
∴∠AMH＝∠HMN，
∴∠EFD＝∠HMN，
∵MH∥PN，
∴∠HMN＝∠PNM，
∴∠EFD＝∠PNM．
故答案为：∠EFD＝∠PNM；
②如图3﹣1中，当点P在MN的右侧时，2∠MHN﹣∠EFD＝∠PNM．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AMH＝∠MHN，∠AMN＝∠MND，
∵MH平分∠AMN，
∴∠AMN＝2∠MHN，
∵PN∥EF，
∴∠PND＝∠EFD，
∵∠AMN＝∠PND+∠PNM，
∴2∠MHN﹣∠PND＝∠PNM．
如图3﹣2中，当点P值MN的左侧时，2∠MHN＝∠EFD﹣∠PNM．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AMH＝∠MHN，∠AMN＝∠MND，
∵MH平分∠AMN，
∴∠AMN＝2∠MHN，
∵PN∥EF，
∴∠PND＝∠EFD，
∵∠AMN＝∠PND﹣∠PNM，
∴2∠MHN＝∠PND﹣∠PNM．
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000