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2024届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期10月联合考试数学试题含答案
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这是一份2024届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期10月联合考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解出集合A，找到A的补集，再求出和B的交集.
【详解】因为，所以，又，所以．
故选：B．
2．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】，
,
，
又，则，即
所以，
因为，所以，.
由平方可得，即，符合题意.
综上，.
故选：B.
3．若，为锐角，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得，从而求得的最小值.
【详解】因为，
所以
，
所以，
即，得，
由于，为锐角，所以，所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选：A
4．设集合为平面直角坐标系内第四象限内的点的横坐标构成的集合，则下列条件中，使得的为（ ）
A．B．为的值域
C．为复数的模长构成的集合D．．
【答案】B
【分析】根据题意得，根据四个选项中的，求出和，根据它们是否相等可判断出答案.
【详解】依题意可得，
对于A，若，则，，故A不正确；
对于B，若为的值域，则，满足，故B正确；
对于C，因为为复数的模长构成的集合，所以，，，故C不正确；
对于D，因为，所以，，故D不正确.
故选：B
5．已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围．
【详解】由题意时，是减函数，且，
时，是减函数，且，
由且得，，，，
，所以，
，
设，，
时，，是增函数，所以，即，
所以．
故选：C．
6．若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题.
【详解】因为，所以函数定义域为，
，
由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为，
则，解得，即的取值范围为，
故选：A.
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把原不等式化为①，或②，分别求出①的解集和②的解集，再取并集即得所求．
【详解】解：函数f(x)=，则由不等式 f（1-x2）＞f（2x）可得
①，或②．
解①得 x＞，解②得 ≥x＞-1+ 或x＜-1-．
故原不等式的解集为{x|x＜-1-，或x＞-1}，
故选:D．
8．切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差对任意的，函数的最大值为E，即，把使E取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数，在这个前提下，b的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】令，则，可得，而的最大值必然在端点处取得，比较与的大小可得答案.
【详解】当时，令，则，
所以，而的最大值必然在端点处取得，
故，
当得时，的最大值为，此时使E取得最小值时，当得时，的最大值为，而，
综上，.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的性质，解题的关键点是对新概念的理解，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及分类讨论的思想.
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象的一条对称轴方程为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABC
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后根据判断A选项；利用整体代入得方法得到的对称轴，即可判断B选项；根据图象的平移变换判断C选项；根据复合函数的单调性判断D选项.
【详解】，函数的最小正周期为，故A正确；
由，得，当时，，故B正确；
由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．
因为，函数在上不单调，故D错误．
故选：ABC．
10．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．若，则
C．函数在上有3个极值点
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据图象知时函数单调递增，A错误，画出图像知B正确，根据函数的单调区间得到极值点有2个，C错误，根据单调性结合图像知D正确，得到答案.
【详解】对选项A：当时，，函数单调递增，错误；
对选项B：画出函数图象，如图所示，根据图象知，正确；
对选项C：在和上，此时函数在和上单调递增；
在上，此时函数在单调递减，
故是极大值点，是极小值点，共2个，错误；
对选项D：时，单调递增，故，
根据图象知，故，正确；
故选：BD.
11．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点， 则点的轨迹叫做箕舌线. 记箕舌线函数为，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．若在第一象限，且， 点的横坐标为.
C．若在第二象限，且，点的纵坐标为.
D．的值域是
【答案】ABC
【分析】连接，则，联立直线和圆的方程，求出点纵坐标即可得出解析式，根基函数的奇偶性可判断A选项，求出值域，可判断D选项，求点的横纵坐标即可判断B、C选项.
【详解】圆的标准方程为，所以该圆的直径为，圆心在轴上，连接，则，
设，当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，解得，所以点纵坐标为,
此时点满足，
当点与点重合时，点的坐标也满足，所以，
对任意的，，所以的定义域为，
，所以是偶函数，A正确；
当在第一象限时， ,由，可得，
所以，所以B正确；
当在第二象限时，，由，，所以，
所以，所以C正确；
因为，所以，所以的值域是，所以D错误.
故选：ABC
12．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，，是正数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内秉增长率，是环境容纳量.可以近似刻画时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断正确的有（ ）
A．如果，那么存在，；
B．如果，那么对任意，；
C．如果，那么存在，在点处的导数；
D．如果，那么的导函数在上存在最大值.
【答案】ABD
【分析】解方程得到A正确，计算得到B正确，求导得到恒成立，C错误，构造，求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】对选项A：，解得，，正确；
对选项B：，，故，
，故，即，正确；
对选项C：，，故任意的，在处的导数，错误；
对选项D：令，
则，，
令得，解得，
令得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
那么的导函数在上存在极大值，也是最大值，正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的单调区间进而求最值是解题的关键.
三、填空题
13．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先分离讨论化简不等式，再根据命题为真转为最值问题求解即可.
【详解】由，得.当时，.
当时，，则.
因为“，”是真命题，所以.
因为,当单调递减，时取最小值7，
所以.
故答案为：.
14．中，，在上，，，则 ．
【答案】
【分析】由结合三角形面积公式化简可得出的值.
【详解】如下图所示：
在中，，在上，，，则，
由，即，
即，等式两边同时除以可得，
所以，.
故答案为：.
15．已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】为正实数，满足，
，
，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
16．已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范图是 .
【答案】
【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据恒成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.
【详解】，
即为，
整理得到，
即，使得恒成立，
（当且仅当，即时取等号），
，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决恒成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过基本不等式求解函数最值得到结果.
四、解答题
17．在中，
(1)求；
(2)从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：边上的高为
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接利用二倍角公式计算得到，得到答案.
（2）考虑选择①和②，①和③，②和③三种情况，根据正弦定理得到，利用和差公式计算，再根据面积公式计算得到答案.
【详解】（1），即，故，
又，故；
（2）若选择①和②：，，，故，
，故三角形唯一，
，
则，即，解得，
；
若选择①和③：，，，故，
边上的高为，故三角形唯一，
则，故，，故，
，
；
若选择②和③：，故，，或，不唯一.
18．已知函数，
(1)求函数的定义域;
(2)是否存在，使得函数是奇函数?若存在求出的值；若不存在请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，使得函数是奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案.
（2）根据函数的定义即可得到答案.
【详解】（1）因为，
则，即，解得，，即，.
所以.
（2）不存在，使得函数是奇函数，证明如下：
当时，，定义域为
，
此时是偶函数.
当时，，定义域为，
.
因为当时，，，，
，，即.
所以不是奇函数.
19．定义：若任意 (m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集；
(1)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；
(2)若集合，的生成集为，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据子集个数确定集合的元素有2个，考虑，，，或，时的值，两两相等计算得到答案.
（2），计算，，得到证明.
【详解】（1）的子集个数为4个，故集合的元素有2个.
当时，；
当时，；
当，或，时，；
①，解得（舍）或；
②，解得（舍）；
③，解得（舍）或，或，
综上所述：，，或，即.
（2），则，故；
，故；
故，即.
20．已知函数，
(1)，，求实数，的值；
(2)利用，证明：当时，
(3)证明：若，其中，，则 .
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导得到导函数，代入数据得到方程组，解得答案.
（2）直接代入数据计算得到证明.
（3）根据（2）的结论得到，累加得到证明.
【详解】（1），，
，即；，即，解得，.
（2），
，当且仅当时等号成立，得证.
（3），当且仅当时等号成立，
，故，，，，
故，
，
，
累加得到：
，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用题目的结论结合累加法是解题关键，根据是分析解决的关键.
21．已知函数. 其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程;
(2)设函数 且 恒成立.
①求m的取值范围；
②的极小值点为₀， 求证:
【答案】(1)
(2)①,②证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解．
（2）①先对函数求导，进而得，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；
②先设，求导得．构造，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点即可求证.
【详解】（1）时，，
所以函数在处的切线方程，即．
（2）①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数．
故在处取得最小值，且．
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
②设，则．
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由①知，，
所以，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增．
所以以是函数的极小值点．因此，即．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足 ，则称函数为“自均值函数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.
【详解】（1），，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
（2）存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
在值域包含，
当时，，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解出集合A，找到A的补集，再求出和B的交集.
【详解】因为，所以，又，所以．
故选：B．
2．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】，
,
，
又，则，即
所以，
因为，所以，.
由平方可得，即，符合题意.
综上，.
故选：B.
3．若，为锐角，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得，从而求得的最小值.
【详解】因为，
所以
，
所以，
即，得，
由于，为锐角，所以，所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选：A
4．设集合为平面直角坐标系内第四象限内的点的横坐标构成的集合，则下列条件中，使得的为（ ）
A．B．为的值域
C．为复数的模长构成的集合D．．
【答案】B
【分析】根据题意得，根据四个选项中的，求出和，根据它们是否相等可判断出答案.
【详解】依题意可得，
对于A，若，则，，故A不正确；
对于B，若为的值域，则，满足，故B正确；
对于C，因为为复数的模长构成的集合，所以，，，故C不正确；
对于D，因为，所以，，故D不正确.
故选：B
5．已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围．
【详解】由题意时，是减函数，且，
时，是减函数，且，
由且得，，，，
，所以，
，
设，，
时，，是增函数，所以，即，
所以．
故选：C．
6．若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题.
【详解】因为，所以函数定义域为，
，
由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为，
则，解得，即的取值范围为，
故选：A.
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把原不等式化为①，或②，分别求出①的解集和②的解集，再取并集即得所求．
【详解】解：函数f(x)=，则由不等式 f（1-x2）＞f（2x）可得
①，或②．
解①得 x＞，解②得 ≥x＞-1+ 或x＜-1-．
故原不等式的解集为{x|x＜-1-，或x＞-1}，
故选:D．
8．切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差对任意的，函数的最大值为E，即，把使E取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数，在这个前提下，b的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】令，则，可得，而的最大值必然在端点处取得，比较与的大小可得答案.
【详解】当时，令，则，
所以，而的最大值必然在端点处取得，
故，
当得时，的最大值为，此时使E取得最小值时，当得时，的最大值为，而，
综上，.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的性质，解题的关键点是对新概念的理解，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及分类讨论的思想.
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象的一条对称轴方程为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABC
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后根据判断A选项；利用整体代入得方法得到的对称轴，即可判断B选项；根据图象的平移变换判断C选项；根据复合函数的单调性判断D选项.
【详解】，函数的最小正周期为，故A正确；
由，得，当时，，故B正确；
由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．
因为，函数在上不单调，故D错误．
故选：ABC．
10．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．若，则
C．函数在上有3个极值点
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据图象知时函数单调递增，A错误，画出图像知B正确，根据函数的单调区间得到极值点有2个，C错误，根据单调性结合图像知D正确，得到答案.
【详解】对选项A：当时，，函数单调递增，错误；
对选项B：画出函数图象，如图所示，根据图象知，正确；
对选项C：在和上，此时函数在和上单调递增；
在上，此时函数在单调递减，
故是极大值点，是极小值点，共2个，错误；
对选项D：时，单调递增，故，
根据图象知，故，正确；
故选：BD.
11．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点， 则点的轨迹叫做箕舌线. 记箕舌线函数为，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．若在第一象限，且， 点的横坐标为.
C．若在第二象限，且，点的纵坐标为.
D．的值域是
【答案】ABC
【分析】连接，则，联立直线和圆的方程，求出点纵坐标即可得出解析式，根基函数的奇偶性可判断A选项，求出值域，可判断D选项，求点的横纵坐标即可判断B、C选项.
【详解】圆的标准方程为，所以该圆的直径为，圆心在轴上，连接，则，
设，当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，解得，所以点纵坐标为,
此时点满足，
当点与点重合时，点的坐标也满足，所以，
对任意的，，所以的定义域为，
，所以是偶函数，A正确；
当在第一象限时， ,由，可得，
所以，所以B正确；
当在第二象限时，，由，，所以，
所以，所以C正确；
因为，所以，所以的值域是，所以D错误.
故选：ABC
12．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，，是正数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内秉增长率，是环境容纳量.可以近似刻画时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断正确的有（ ）
A．如果，那么存在，；
B．如果，那么对任意，；
C．如果，那么存在，在点处的导数；
D．如果，那么的导函数在上存在最大值.
【答案】ABD
【分析】解方程得到A正确，计算得到B正确，求导得到恒成立，C错误，构造，求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】对选项A：，解得，，正确；
对选项B：，，故，
，故，即，正确；
对选项C：，，故任意的，在处的导数，错误；
对选项D：令，
则，，
令得，解得，
令得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
那么的导函数在上存在极大值，也是最大值，正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的单调区间进而求最值是解题的关键.
三、填空题
13．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先分离讨论化简不等式，再根据命题为真转为最值问题求解即可.
【详解】由，得.当时，.
当时，，则.
因为“，”是真命题，所以.
因为,当单调递减，时取最小值7，
所以.
故答案为：.
14．中，，在上，，，则 ．
【答案】
【分析】由结合三角形面积公式化简可得出的值.
【详解】如下图所示：
在中，，在上，，，则，
由，即，
即，等式两边同时除以可得，
所以，.
故答案为：.
15．已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】为正实数，满足，
，
，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
16．已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范图是 .
【答案】
【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据恒成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.
【详解】，
即为，
整理得到，
即，使得恒成立，
（当且仅当，即时取等号），
，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决恒成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过基本不等式求解函数最值得到结果.
四、解答题
17．在中，
(1)求；
(2)从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：边上的高为
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接利用二倍角公式计算得到，得到答案.
（2）考虑选择①和②，①和③，②和③三种情况，根据正弦定理得到，利用和差公式计算，再根据面积公式计算得到答案.
【详解】（1），即，故，
又，故；
（2）若选择①和②：，，，故，
，故三角形唯一，
，
则，即，解得，
；
若选择①和③：，，，故，
边上的高为，故三角形唯一，
则，故，，故，
，
；
若选择②和③：，故，，或，不唯一.
18．已知函数，
(1)求函数的定义域;
(2)是否存在，使得函数是奇函数?若存在求出的值；若不存在请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，使得函数是奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案.
（2）根据函数的定义即可得到答案.
【详解】（1）因为，
则，即，解得，，即，.
所以.
（2）不存在，使得函数是奇函数，证明如下：
当时，，定义域为
，
此时是偶函数.
当时，，定义域为，
.
因为当时，，，，
，，即.
所以不是奇函数.
19．定义：若任意 (m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集；
(1)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；
(2)若集合，的生成集为，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据子集个数确定集合的元素有2个，考虑，，，或，时的值，两两相等计算得到答案.
（2），计算，，得到证明.
【详解】（1）的子集个数为4个，故集合的元素有2个.
当时，；
当时，；
当，或，时，；
①，解得（舍）或；
②，解得（舍）；
③，解得（舍）或，或，
综上所述：，，或，即.
（2），则，故；
，故；
故，即.
20．已知函数，
(1)，，求实数，的值；
(2)利用，证明：当时，
(3)证明：若，其中，，则 .
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导得到导函数，代入数据得到方程组，解得答案.
（2）直接代入数据计算得到证明.
（3）根据（2）的结论得到，累加得到证明.
【详解】（1），，
，即；，即，解得，.
（2），
，当且仅当时等号成立，得证.
（3），当且仅当时等号成立，
，故，，，，
故，
，
，
累加得到：
，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用题目的结论结合累加法是解题关键，根据是分析解决的关键.
21．已知函数. 其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程;
(2)设函数 且 恒成立.
①求m的取值范围；
②的极小值点为₀， 求证:
【答案】(1)
(2)①,②证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解．
（2）①先对函数求导，进而得，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；
②先设，求导得．构造，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点即可求证.
【详解】（1）时，，
所以函数在处的切线方程，即．
（2）①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数．
故在处取得最小值，且．
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
②设，则．
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由①知，，
所以，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增．
所以以是函数的极小值点．因此，即．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足 ，则称函数为“自均值函数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.
【详解】（1），，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
（2）存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
在值域包含，
当时，，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.
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