中考数学几何专项练习：相似模型--一线三等角及“K”模型

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一、单选题
1．如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．矩形中，，，点P是上的动点，当时，的长是（ ）．

A．1B．3C．1或3D．1或4
【答案】D
【分析】结合矩形的性质，证明，即可得，进而可得，问题随之得解．
【详解】∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
整理：，
解得：，或者，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，证明是解答本题的关键．
3．如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．当时，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】证明，得出，即，求出，得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
4．如图，在矩形中，，将点折叠到边上点处，折痕为，连接，，若点是中点，则长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到，，的长；再根据，利用对应边成比例即可得的长．
【详解】解：矩形中，，

，
又是的中点，
，
中，，
由题可得，，
，
，
，
，即，
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（ ）

A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】解：为等边三角形，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
二、填空题
6．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿翻折，使点A的对应点G落在对角线上．若，则的长为 cm，的长为 cm．

【答案】 2 /
【分析】根据菱形的性质，折叠的性质，以及，可以得到为等边三角形，根据三角形内角和和平角的意义，得出，对应边成比例，设，，，由比例式列出方程，再根据，解出，即可解答．
【详解】由折叠的性质可知，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，，
∴，
即，
又，
即，
解得，
∵，
即，
∴，
∴．
故答案为：2；．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和，平角的意义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据比例式列方程．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ．
【答案】1或2
【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设BP=x，则PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴，
解得：x1=1，x2=2，
∴BP的长为1或2，
故答案为：1或2
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．
8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ．
【答案】2.4
【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即，
∵等边△ABC的边长为6 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：2.4
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点A与点D重合，折痕为（点E在边上）．（1）当时， ；（2）当时， ．
【答案】
【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，再由推出，可得，由此即可得到答案；
（2），用表示和，然后证明，利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到结果．
【详解】解：（1）∵三角形是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
（2）
设，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形与折叠问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题关键．
10．如图，已知是等边三角形，，点D，E，F分别在上，，同时平分和，则 ，BD的长是 ．

【答案】
【分析】根据同时平分和得到，，再由，证明，由三角形全等性质，，再根据已知条件即可得到结论，根据和是等边三角形，证明，设，利用三角形相似比构建方程求解即可．
【详解】同时平分和得到，
，
，
，
，，
又，
故答案为：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质及等边三角形的性质，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等与三角形对应边的比是解题的关键．
11．如图，将菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】过C作交于F，根据菱形和旋转的性质求得，，可得和的长，再由求得和的比即可解答；
【详解】解：如图，过C作交于F，

是菱形，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，则，
∴，
由旋转性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
12．在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．

【答案】
【分析】根据等边三角形的性质得，，得，从而得出与相似，再根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
；
，
，，
，
，
的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．综合利用题目中条件证明出两个三角形相似是解题的关键．
13．如图，等边中，、分别在边，上，，，沿直线折叠，使点落在边上的处，则 ．

【答案】
【分析】证明，由相似三角形的性质得出，设，则，，，得出，解得，可得出关于的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
沿直线折叠，使点落在边上的处，
，，，
，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
．
，
解得或（不合题意，舍去）．
．
【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键．
14．如图，在中，，点E是边上一点，连接，过点E作，交于点F，且，则 度，的长为 ．

【答案】
【分析】延长至使，连接，证明即可求出的长．
【详解】∵，
∴，
∴
延长至使，连接，

∵在中，，
∴，
∴是等边三角形
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解题的关键是根据一线三等角模型构造辅助线．
15．如图，在等边中，将沿翻折，点恰好落在边的点处，且，则 ．

【答案】
【分析】如图，作，，垂足为，，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质以及等边三角形的性质得到相应的线段，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接交于点O，作，，垂足为，，如图，
设，，
∵等边，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
同理可得，
∴，即，
解得，
则．
故答案为：．

【点睛】此题主要考查了翻折变换、等边三角形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，通过三角形相似求出相关线段是关键．
16．如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，，且．对角线与交于点G，则的长为 ．

【答案】
【分析】过点G作于点H，先证明，得出，根据，得出，，再证明，得出，证明，得出，联立求出得出，，最后在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：过点G作于点H，
设，则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，解得：，
∴，解得：，
在中，根据勾股定理可得：．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cs∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②④
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
【详解】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，故①正确；
②作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，csα＝，
∴BG＝ABcsB，
∴BC＝2BG＝2ABcsB＝2×10×＝16，
∵BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD与△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确；
③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且csα＝，AB＝10，BD＝8，
当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且csα＝，AB＝10，
∴csB＝＝，
∴BD＝，故③错误；
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，
设BD＝y，CE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2−16y＋64＝64−10x，
即（y−8）2＝64−10x，
∴0＜x≤6.4，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为 ．
【答案】或．
【分析】分情况讨论：方法一：当点落在如图1所示的位置时，证明△BMD∽△CDN，得到，根据设求出AN；方法二：当在的延长线上时，如图2，同样方法求出AN.
【详解】方法一：当点落在如图1所示的位置时，
是等边三角形，
，
，
得，
得，
，
设
则，
，
，
，
解得
；
方法二：当在的延长线上时，如图2，
与同理可得.
得.
，
，
设
则
，
，
，
解得：，
，
故答案为：或.
【点睛】此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件“点落在直线上的点处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解.
19．如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点作轴于点，根据翻折的性质得到，进而证明，再根据相似的性质得到，通过矩形EAOM的性质得到EM的长度，进而得到DB的长度，最后在中应用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点作轴于点，
∵四边形AOBC为矩形，OA=3，OB=4，
∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．
∴，，，．
∵点F在边BC上，点E在边AC上，
∴，．
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴，．
∴，．
∴，．
∴，．
∵沿EF对折后得到，
∴，，．
∴．
∵轴，
∴
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵四边形AOBC是矩形，
∴．
又∵轴，
∴．
∴四边形EAOM是矩形，
∴．
在中，满足，
即，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，坐标与长度之间的关系以及勾股定理，作出合适的辅助线，熟练应用以上知识点是解题关键．
20．将边长为15的等边三角形纸片进行折叠，使点A落在对边上的点D处，折痕交于点E，交于点F，且满足，则的长为 ．

【答案】
【分析】设，由等边三角形的性质得出，，求出，，由折叠的性质得：，，，由三角形的外角性质得出，证明，得出，，由得出方程，解方程即可．
【详解】解：当点在线段上时，设，
是等边三角形，
，，
，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
，
解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题
21．课题学习：
【证明体验】
（1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）5；
【分析】（1）如图1，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可．
【详解】解：（1）如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵， 等腰，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，（负根舍去）
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，能够通过角将问题转化为一线三等角是解题的关键．
22．如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
(3)当点是线段的中点时，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明，再利用相似三角形的判定得结论；
（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可．
（3）由，可得，结合为的中点，可得，结合，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∵沿翻折得到，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）∵四边形是矩形， ，，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，．
在中， ．
设CE的长为x，则．
∵，
∴．
∴，
即．
∴，
即．
（3）∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．
23．如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使；
(1)求证：；
(2)设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当为等腰三角形时，求的长．(直接写出答案，不写解题过程)．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)3或
【分析】（1）因为，，得到，，得到，即可得出；
（2）由（1）得到比例式，代入变形得到；
（3）为等腰三角形有三种情况，、、分别利用相似三角形性质计算即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，当时
∵，
∴，
∴．
如图，当时，
∵，
∴即点与点重合．
∵不与点、重合，舍去．
如图，当时，
∴，
∴，
∴．
∴，即，
∴．
综上所述，的长为3或．
【点睛】本题考查相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，重点要运用对应边成比例进行计算，第三问关键在于能够对等腰三角形进行分类．
24．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、，且．
(1)证明：；
(2)若，，当点D在上运动时（点D不与B、C重合），且是等腰三角形，求此时的长．
【答案】(1)详见解析
(2)当是等腰三角形时，的长为3或
【分析】(1)证明即可．
(2)利用分类思想，分三种情况计算求解即可．
【详解】（1）
∵
∴
∵
∴
∴．
（2）
当时
∴
∵
∴
∴
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当时，如图1，
∴
∵
∴
∴AD平分
∴AD垂直平分BC
∴；
当时，如图2
∵，
∴∽
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
综上所述，当是等腰三角形时，BD的长为3或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．

(1)求证：；
(2)当为直角三角形时，求线段长度．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）由题意易得，则有，证明，进而问题可证；
（2）当为直角三角形时，则可分当时和当时进行分类讨论求解．
【详解】（1）证明：如图1，

，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由题意知，
①当时，如图2，

由（1）知，
，
点为中点，
，
，
②当时，如图3，

由（1）知，，
作于点，
则，，
，
，
，
，
．
的长是或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持

(1)当是等腰三角形时，求的长；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)或2或1
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，得到啊，，是等腰三角形分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案；
（2）取的中点，连接，根据等腰直角三角形的性质，得到，，进而得到，，再利用勾股定理，求出，然后证明，利用对应边成比例，即可求出．
【详解】（1）解：在中，，，
，
由勾股定理得：，
①如图1，当时，是等腰三角形，此时，点、分别与点、重合，
；
②如图2，当时，是等腰三角形，此时，，
，，
，即是等腰三角形，
，
点是的中点，
；
③如图3，当时，是等腰三角形，
，且，
，
在和中，
，
，
，，
，
综上可知，当是等腰三角形时，的长为或2或1；

（2）解：取的中点，连接，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
在中，，
由（1）③可知，，
又，
，
．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题关键．
27．已知等边三角形的边长为4．
(1)如图，在边上有一个动点，在边上有一个动点，满足，求证：；

(2)如图，若点在射线上运动，点在直线上，满足，当时，求的长；

(3)在（2）的条件下，将点绕点逆时针旋转到点，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)7
(3)
【分析】（1）先利用三角形的内角和得出，再用平角得出，进而得出，即可得出结论；
（2）过点作于，构造出含角的直角三角形，求出的长度，再用勾股定理求出，进而求出的值，再判断出，得出比例式即可得出结论；
（3）先求出的值，进而得出的值，再构造出直角三角形求出的长度，进而得出的值，再求出的长度，最后用面积差即可得出结论．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如下图，过点作于，

∴，
∵是等边三角形，边长为4，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，根据勾股定理得，，
在中，，
根据勾股定理得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如下图，

由（2）知，，
∵，
∴，
由旋转知，，，
∵，
∴，，
过点作于，
在中，，
根据勾股定理得，，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
过点作于，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
28．已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交射线于点与、不重合），是边上一点，且．设、两点的距离为，的面积为．

(1)若时，求的值．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
(3)当与相似时，求的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据勾股定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理得到，过作于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设，得到，当点在线段上时，当点在的延长线上时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，

，
，，
，
，
，
；
（2），，
，
，
过作于，则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
即；
（3）设，
由（1）知，，
，如图1，

，
，
，
，
，
，
当点在线段上时，
，
，
当与相似时，
有或，
，
与相似，
或，
或，
解得：或（不合题意舍去），
当点在的延长线上时，如图2，，

当与相似时，
有，
，
，
，
，
解得：，
或．
【点睛】本题考查了相似形三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
29．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由见解析；（2）8；（3）BD＝，BD的最大值为4．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；
（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；
（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．
【详解】解：（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE为正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，
∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴，即
整理得，BD＝，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
∴BD的最大值为4．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质以及二次函数的性质，灵活运用知识点进行逻辑证明是解题关键．
30．如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点A与点D重合，折㢃为（点E在边上）．

(1)当点D为的中点时，的值为______．
(2)当点D为的三等分点时，的值为______．
【答案】(1)1
(2)或
【分析】（1）连接，根据三线合一和折叠得到，，进而得到，再证明是等边三角形即可得到即可求出结果；
（2）分两种情况，和，用k表示和，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到结果．
【详解】（1）解：连接，如下图所示，
∵点D为的中点，为等边三角形，
∴，，，
∵将等边折叠，使点A与点D重合，折痕为，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴ ,
即；
（2）解：当点D为的三等分点时，共有两种情况：
情况一：当时，设，
∴，
∵为等边三角形，由折叠可知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，设，
同上一种情况得： ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或.
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，翻折变换，利用折叠得出等边三角形是解第一问的关键，利用相似三角形的周长比等于相似比，再适当的用k表示边是解第二问的关键.
31．如图所示，直线与轴相交于点，与y轴相交于点B，将沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．

(1)求点C的坐标；
(2)设点P为线段上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接，以点P为端点作射线交于点M，使，
①求证：；
②是否存在点P使为直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②存在，点有两个，
【分析】（1）根据A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；
（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到，则，再根据三角形的外角的性质即可证得，从而证得两个三角形相似；
②首先求得B的坐标，当时，则有，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得的长，求得P的坐标；
当时，则时，，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．
【详解】（1）解：，且点C与点A关于y轴对称，
；
（2）①证明：，且，，
，
又∵点C与点A关于y轴对称，且，
，
；
②解：存在．
由题意：，，，
当时，则有，
∴，即，
，即：；
当时，则，
，
，
，
，
过点B只有一条直线与垂直，
∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点的坐标为：．
∴使△PBM为直角三角形的点P有两个，．
【点睛】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题是解题关键．
32．在矩形中，点在上，，，．
(1)如图1，连接，过点作，交于点，连接，证明：是等腰三角形；
(2)如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：；
(3)如图3，若交于点，，其他条件不变，且的面积是6，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先利用矩形性质得，再利用同角的余角相等得，根据已知边的长度计算出，则由证得，据此即可求解；
（2）利用两角对应相等证明；
（3）作辅助线，构建如图②一样的相似三角形，利用探究得，则，所以， 再利用的面积是6，列式可得，两式结合可求得的长，利用勾股定理求，从而得出的长．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过F作于G，则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定和性质，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
33．阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且，
则：，
又，
故．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．

请根据以上阅读解决下列问题：
(1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离．
(3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)15
【分析】（1）由可证，由可证，进一步可证；
（2）过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证∴，于是，得解点C到的距离为；
（3）以点D为端点，作线段，交延长线于点M，则，可证，于是，得，从而求得．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，，
∴，．
∴．
在与中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，

∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
即点C到的距离为；
（3）解：以点D为端点，作线段，交延长线于点M，
则．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键．
34．如图，在中，，，点是的中点，将含有的三角板的锐角顶点与点重合，并绕着点旋转，交边于、两点，交的延长线于点．

(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)15
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）如图，连接，过作于，设，则，，证明，，可得，可得，，同理：由直角三角形斜边上的中线的性质可得：，，证明，可得，则，可得，，结合，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵，，将含有的三角板的锐角顶点与点重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接，过作于，

∵，，为中点，
∴，，，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
同理：由直角三角形斜边上的中线的性质可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
35．如图1，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，在的同侧分别以A，P，B为顶点作，其中∠1与∠3的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线．

(1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图3，在中，，延长至点B，使，作的等联角和．将沿折叠，使点A落在点M处，得到，再延长交的延长线于E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，求等联线和线段的长（用含k的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②等联线，线段
【分析】（1）根据新定义，画出等联角即可；
（2）①是等腰直角三角形，过点C作交的延长线于N，由折叠得，证明四边形为正方形，进而证明，得出，即可求解；
②过点F作于Q，交的延长线于R，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可．
【详解】（1）解：作图如下：（方法不唯一）

（2）①是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点C作交的延长线于N．

由折叠得，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过点F作于Q，交的延长线于R，
则，

∵，
∴，
由是等腰直角三角形知：，
∴，
∴，
而，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
解得：，
由①知：，
∴，
答：等联线，线段．
【点睛】点评本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．
36．如图，已知等腰，，，点P是边上的动点（点P不与点B、C重合），作．射线交边于点M．
(1)求证：；
(2)若为等腰三角形，求的长；
(3)如图，延长到点N，使得，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）先根据等边对等角证明，则，再根据三角形外角的性质证明，即可证明；
（2）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况讨论求解即可；
（3）如图所示，过点A作于E，过点P作于G，过点N作于H，设， 利用三线合一定理和勾股定理求出，，证明，推出，，证明，得到，则可设，根据三线合一定理得到，证明，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当时，则，
∵，
∴；
当时，则，
∴，
∴，，
设，则，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得（不合题意值舍去），
∴；
当时，则，
∴；
综上所述，当为等腰三角形，的长为或
（3）解：如图所示，过点A作于E，过点P作于G，过点N作于H，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴可设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
37．【感知】
如图①，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），．
易证：（不要求证明）．
【探究】
如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．
(1)求证：．
(2)若，则的长为_____________．
【应用】
如图③，在中，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作与边交于点E．
(3)当时，求的长．
(4)当是等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）利用三角形外角的性质，得到，即可求解；
（2）设，利用相似三角形的性质，求解即可；
（3）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；
（4）分两种情况，、，分别求解即可．
【详解】（1）证明：由三角形外角的性质可得：；
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：设，
由（1）得，则，即
解得，
（3）解：设，则
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
化简可得：，
解得或
即或
（4）解：由（3）可得，
∴，
则为等腰三角形，有两种情况，或
当时
由（3）可得，，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
则，
∴，
∴，
设，则，，
，
由可得，，即，
解得，
，
综上，或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
38．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点．
(1)求证：∽．
(2)当，，求的长．
(3)在（2）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
(3)
【分析】由和是两个等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得；
由相似三角形的性质可求，可求，，即可求的长；
首先解，求出的长，再证明，进而解决问题．
【详解】（1）证明：和是两个等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
（2）解：，
，且，，
，
，
，
，，
；
（3）解：过点作于，

，，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．