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江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题（含解析）
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这是一份江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 记正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项的性质可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由等比数列的性质， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由直线方程确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得.
【详解】解：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，可知倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3. 设数列 SKIPIF 1 < 0 各项非零，且平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”是“平面 SKIPIF 1 < 0 平行于直线 SKIPIF 1 < 0 ”的( )
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别从充分性和必要性进行说明即可判断.
【详解】若已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以可知 SKIPIF 1 < 0 ，但无法得知 SKIPIF 1 < 0 是否在平面 SKIPIF 1 < 0 内，因此充分性不成立；
若已知平面 SKIPIF 1 < 0 平行于直线 SKIPIF 1 < 0 ，则可知 SKIPIF 1 < 0 ，根据定义，及 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，但不能认为 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，即必要性不一定成立.
所以“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”是“平面 SKIPIF 1 < 0 平行于直线 SKIPIF 1 < 0 ”的既不充分也不必要条件，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4. 记椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点和右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的投影为 SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的方向向量，分析出 SKIPIF 1 < 0 的值，证明出 SKIPIF 1 < 0 ，最后借助 SKIPIF 1 < 0 的两种表达方式列方程求解.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，根据直线方向向量性质可得，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由此得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
5. 如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为14cm， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分为 SKIPIF 1 < 0 的两部分，得到正方形 SKIPIF 1 < 0 ，依照相同的规律，得到正方形 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、…、 SKIPIF 1 < 0 .一只蚂蚁从 SKIPIF 1 < 0 出发，沿着路径 SKIPIF 1 < 0 爬行，设其爬行的长度为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正整数，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 恒满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是( )
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列 SKIPIF 1 < 0 以6为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，求和分析即可.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此由数学归纳的思想可知， SKIPIF 1 < 0 .
设数列 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列以6为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
6. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 200B. 20200C. 10500D. 10100
【答案】D
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，求出其通项公式，进而可求 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系即可求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再用等差数列求和公式即可求解.
【详解】容易得到 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 替换为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
7. 如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱 SKIPIF 1 < 0 的轴线在 SKIPIF 1 < 0 平面内且平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，圆锥与圆柱的高相同. SKIPIF 1 < 0 为圆锥底面圆的直径， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 到圆 SKIPIF 1 < 0 所在平面距离为2.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据所建空间直角坐标系，由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度，利用余弦定理求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【详解】如图2所示的空间直角坐标系中，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性这里取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
8. 在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面 SKIPIF 1 < 0 上水平放置着一个半径为0.5m的正圆 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心 SKIPIF 1 < 0 与絮语同学所站位置 SKIPIF 1 < 0 距离2m.若絮语同学的视平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则絮语同学视平面上的图形的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，结合题中数据和三角形相似即可求解.
【详解】画出题中所述图：
可知圆在视平面上得到的是椭圆，且长轴长为圆的直径，即 SKIPIF 1 < 0
通过相似关系，由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，代入数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设两直线分别过定点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为5D. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒满足 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】直线恒过定点参数 SKIPIF 1 < 0 前面的系数为 SKIPIF 1 < 0 判断选项A，由两直线垂直判断交点在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，判断选项B，由面积最大值求选项C，点 SKIPIF 1 < 0 满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，再由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，判断选项D.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 可化作 SKIPIF 1 < 0 ，可发现过定点 SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因此 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上的点，根据定义， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故C错误；
对于D，由题可知 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的方程不符合，故D错误.
故选：AB.
10. 设平面直角坐标系中，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有公共的焦点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不存在交点
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切
C. 若 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】利用双曲线和抛物线的性质，对选项逐个验证.
【详解】对于A，联立： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， 由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线与抛物线有交点，A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，判别式 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 不在抛物线上，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD
11. SKIPIF 1 < 0 数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用. SKIPIF 1 < 0 数列是把 SKIPIF 1 < 0 中的分母不大于 SKIPIF 1 < 0 的分子与分母互质的分数从小到大排成一列,并且在第一个分数之前加上 SKIPIF 1 < 0 ，在最后一个分数之后加上 SKIPIF 1 < 0 ，该数列称为 SKIPIF 1 < 0 阶 SKIPIF 1 < 0 数列，记为 SKIPIF 1 < 0 ，并记其所有项之和为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 数列还有一个神奇的性质.若设 SKIPIF 1 < 0 的相邻两项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .下列关于 SKIPIF 1 < 0 数列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 数列 SKIPIF 1 < 0 中共有18项
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最中间一项一定是 SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 中的相邻三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】举特例即可说明A项错误；根据定义，列举即可判断B项；根据 SKIPIF 1 < 0 数列的定义，可得数列中元素的特征，进而即可判断C项；由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理即可判断D项.
【详解】对于A，列举数列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B，列举可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共19项，B错误；
对于C，由于 SKIPIF 1 < 0 数列按照大小排列，且若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 一定也在 SKIPIF 1 < 0 中，又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，所以 SKIPIF 1 < 0 个数一定为奇数个.因此根据 SKIPIF 1 < 0 的定义可得，中间一项一定为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：CD.
12. 《瀑布》(图1)是埃舍尔为人所知作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”(图2).在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中建立如图3所示的空间直角坐标系(原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面)，将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到的三个正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3(图4，5，6)结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”(图7).在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是( )
A. 设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0
B. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
D. 若G为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最小为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】正方体的顶点到中心 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，判断A，写出各点坐标，利用空间向量法求解判断BCD．
【详解】正方体棱长为2，面对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
旋转后 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
旋转过程中，正方体的顶点到中心 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，始终为 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项A中， SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，B错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 夹角的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，从而直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最小为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：本题正方体绕坐标轴旋转，因此我们可以借助平面直角坐标系得出空间点的坐标，例如绕 SKIPIF 1 < 0 轴旋转时时，各点的横坐标( SKIPIF 1 < 0 )不变，只要考虑各点在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影绕原点旋转后的坐标即可得各点空间坐标．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列出等式解出即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 若数列 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 同时满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相加，相减分别可得 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令前式 SKIPIF 1 < 0 后式，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令前式+后式，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ②
由①，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列.
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由②，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为: SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
15. 若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】结合点与圆的位置关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 等于点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的一半，利用平面几何结论求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】如图， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与圆的交点时等号成立；
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 等于点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的一半，
过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足记为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足记为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点时等号成立，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1，
故答案为：1.
16. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 的直径 SKIPIF 1 < 0 上有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的一条弦，则 SKIPIF 1 < 0 的范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】分析可知 SKIPIF 1 < 0 的中点为圆心 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量数量积的运算性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，可得出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】因为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径 SKIPIF 1 < 0 上有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的中点为圆心 SKIPIF 1 < 0 ，故圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 方向相同且 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径时，两个等号同时成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，关于基础的音乐理论的著作浩如烟海，是学习音乐的必修课程.我们平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，解决有关声音的性质、律制、记谱法、音乐的基本要素、音与音之间结合的基本规律等等，而记谱(和读谱)的方法是其中很重要的一个部分。音乐是人类共同的语言.音乐中，我们常用音阶描述音符音调高低的关系，即1(d)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sl)，6(la)，7(ti)，i(d).如图，在钢琴上，一个八度内白键、黑键共有13个(不计入图中最右侧的半个黑键)，相邻琴键对应的音符频率比相等且1的频率与 SKIPIF 1 < 0 的频率比为2.
(1)若两音 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的音程关系为一度，求两音的频率比；
(2)利用“五度相生”可以构造出被称为“宫商角徵羽”的五声音阶.设1的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，在1的基础上不断升高五度，生成新的音符，并为方便辨认新的音符，将生成的频率大于 SKIPIF 1 < 0 的音降一个八度，请你利用五度相生的理论推断出“宫商角徵羽”可能对应的音符(无需一一对应).
参考数据：
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)对应音符为1，2，3，5，6
【解析】
【分析】(1)根据题意即可求解；
(2)结合题意，先求出一组“五声调式”： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将生成的频率大于 SKIPIF 1 < 0 的音降一个八度，然后根据参考数据即可求解.
【小问1详解】
由题可知，若两个音距离一个八度，则频率比为2，
所以若两个音的音程为一度，半个音(即相邻琴键)之间的频率比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两个成一度之间的音符频率比为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
通过五声调式，可以先构成一组“五声调式”： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将其中大于 SKIPIF 1 < 0 的降一个八度，即除以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据参考数据可以估计得到，五个音分别为1，5，2，6，3.
因此“宫商角徵羽”对应的音符为1，2，3，5，6.
18. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，记其焦点为 SKIPIF 1 < 0 .设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)如图，过焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条相互垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的斜率恒大于0.若 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用抛物线的定义以及准线方程即可求解；
(2)利用全等三角形的性质以及三角形内角和即可求解.
【小问1详解】
抛物线的准线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .
由抛物线定义， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，定值.
19. 如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的重心.
(1)棱 SKIPIF 1 < 0 可能垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 吗？若可能，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值，若不可能，说明理由；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值的最大值.
【答案】(1)不可能，理由见解析
(2)1
【解析】
【分析】(1)先作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，假设 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，得到方程组 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以假设不成立， SKIPIF 1 < 0 不可能垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由重心性质表达出 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，表达出 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两种情况，求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值，得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值最大值.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，交线为AB， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，
所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点作空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，有对称性可知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 情况相同，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
假设 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以假设不成立，
SKIPIF 1 < 0 不可能垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由重心的性质， SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
要想求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值最大值，只需求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值，
设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值的最大值为1，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值，
设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，此时不存在最值，
综上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值的最大值为1.
20. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，存在两定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与一动点A.已知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为3.
(1)求A的轨迹 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，表示出直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，由题可得A的轨迹 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与 SKIPIF 1 < 0 联立，后由 SKIPIF 1 < 0 及韦达定理可得答案.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0
所以A的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题设过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与 SKIPIF 1 < 0
联立有： SKIPIF 1 < 0 ，消去y得： SKIPIF 1 < 0
因 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则
SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则由韦达定理有： SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
21. 完成下面两题
(1)如图，一个半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆在一条直线上无滑动地滚动，与 SKIPIF 1 < 0 轴的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，设圆上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 所转过的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
①设平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
②在①的条件下，用题中所给字母表示 SKIPIF 1 < 0 ，并以 SKIPIF 1 < 0 的形式写出 SKIPIF 1 < 0 运动轨迹的方程；
(2)如图，设点 SKIPIF 1 < 0 在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内从 SKIPIF 1 < 0 开始，以 SKIPIF 1 < 0 的角速度绕着 SKIPIF 1 < 0 轴做圆周运动，同时沿着平行于 SKIPIF 1 < 0 轴向上做线速度为 SKIPIF 1 < 0 的匀速直线运动,运动的时间为t，用题中所给字母表示 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹的方程.
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)①由弧长公式结合向量加法公式，表示向量 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，再用基地表示向量 SKIPIF 1 < 0 ，并结合①用基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得参数方程；
(2)根据物理知识，用基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得参数方程，并消参后求得普通方程.
【小问1详解】
① SKIPIF 1 < 0 .
②由题， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 可以分解为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹可以表示为 SKIPIF 1 < 0 .
小问2详解】
设该坐标系的基底为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，
向量 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到向量 SKIPIF 1 < 0 所转过的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由题设，可以将 SKIPIF 1 < 0 记作 SKIPIF 1 < 0
因此类似(1)②中可以表示 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知平面直角坐标系内一椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，记两焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 上有三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、S，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
②证明：当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时， SKIPIF 1 < 0 必定经过 SKIPIF 1 < 0 的某个顶点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；②证明见解析
【解析】
【分析】(1)由定义求得参数即可得方程；
(2)①求出直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，分别联立椭圆方程求得 SKIPIF 1 < 0 、S坐标，即可求得面积；
②设直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别联立椭圆方程结合韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，即可化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，最后证明 SKIPIF 1 < 0 即可.
【小问1详解】
可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
①可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
分别联立椭圆方程可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
②证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 和椭圆得： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下面证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ：
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即证明 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的判别式小于等于0，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，原命题得证.
故当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时， SKIPIF 1 < 0 必定经过 SKIPIF 1 < 0 的上或下顶点.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般可通过联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理表示出三角形的面积函数，即可进一步讨论.
本题通过讨论面积最大及其成立条件，即可得其过顶点. SKIPIF 1 < 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
SKIPIF 1 < 0
1.05
1.12
1.18
1.25
1.33
1.41
1.49
1.58
1.68
1.78
1.89
2
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 记正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项的性质可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由等比数列的性质， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由直线方程确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得.
【详解】解：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，可知倾斜角 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3. 设数列 SKIPIF 1 < 0 各项非零，且平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”是“平面 SKIPIF 1 < 0 平行于直线 SKIPIF 1 < 0 ”的( )
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别从充分性和必要性进行说明即可判断.
【详解】若已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以可知 SKIPIF 1 < 0 ，但无法得知 SKIPIF 1 < 0 是否在平面 SKIPIF 1 < 0 内，因此充分性不成立；
若已知平面 SKIPIF 1 < 0 平行于直线 SKIPIF 1 < 0 ，则可知 SKIPIF 1 < 0 ，根据定义，及 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，但不能认为 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，即必要性不一定成立.
所以“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”是“平面 SKIPIF 1 < 0 平行于直线 SKIPIF 1 < 0 ”的既不充分也不必要条件，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4. 记椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点和右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的投影为 SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的方向向量，分析出 SKIPIF 1 < 0 的值，证明出 SKIPIF 1 < 0 ，最后借助 SKIPIF 1 < 0 的两种表达方式列方程求解.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，根据直线方向向量性质可得，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由此得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
5. 如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为14cm， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分为 SKIPIF 1 < 0 的两部分，得到正方形 SKIPIF 1 < 0 ，依照相同的规律，得到正方形 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、…、 SKIPIF 1 < 0 .一只蚂蚁从 SKIPIF 1 < 0 出发，沿着路径 SKIPIF 1 < 0 爬行，设其爬行的长度为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正整数，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 恒满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是( )
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列 SKIPIF 1 < 0 以6为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，求和分析即可.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此由数学归纳的思想可知， SKIPIF 1 < 0 .
设数列 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列以6为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
6. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 200B. 20200C. 10500D. 10100
【答案】D
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，求出其通项公式，进而可求 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系即可求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再用等差数列求和公式即可求解.
【详解】容易得到 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 替换为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
7. 如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱 SKIPIF 1 < 0 的轴线在 SKIPIF 1 < 0 平面内且平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，圆锥与圆柱的高相同. SKIPIF 1 < 0 为圆锥底面圆的直径， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 到圆 SKIPIF 1 < 0 所在平面距离为2.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据所建空间直角坐标系，由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度，利用余弦定理求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【详解】如图2所示的空间直角坐标系中，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性这里取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
8. 在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面 SKIPIF 1 < 0 上水平放置着一个半径为0.5m的正圆 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心 SKIPIF 1 < 0 与絮语同学所站位置 SKIPIF 1 < 0 距离2m.若絮语同学的视平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则絮语同学视平面上的图形的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，结合题中数据和三角形相似即可求解.
【详解】画出题中所述图：
可知圆在视平面上得到的是椭圆，且长轴长为圆的直径，即 SKIPIF 1 < 0
通过相似关系，由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，代入数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设两直线分别过定点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为5D. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒满足 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】直线恒过定点参数 SKIPIF 1 < 0 前面的系数为 SKIPIF 1 < 0 判断选项A，由两直线垂直判断交点在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，判断选项B，由面积最大值求选项C，点 SKIPIF 1 < 0 满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，再由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，判断选项D.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 可化作 SKIPIF 1 < 0 ，可发现过定点 SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因此 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上的点，根据定义， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故C错误；
对于D，由题可知 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的方程不符合，故D错误.
故选：AB.
10. 设平面直角坐标系中，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有公共的焦点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不存在交点
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切
C. 若 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】利用双曲线和抛物线的性质，对选项逐个验证.
【详解】对于A，联立： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， 由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线与抛物线有交点，A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，判别式 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 不在抛物线上，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD
11. SKIPIF 1 < 0 数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用. SKIPIF 1 < 0 数列是把 SKIPIF 1 < 0 中的分母不大于 SKIPIF 1 < 0 的分子与分母互质的分数从小到大排成一列,并且在第一个分数之前加上 SKIPIF 1 < 0 ，在最后一个分数之后加上 SKIPIF 1 < 0 ，该数列称为 SKIPIF 1 < 0 阶 SKIPIF 1 < 0 数列，记为 SKIPIF 1 < 0 ，并记其所有项之和为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 数列还有一个神奇的性质.若设 SKIPIF 1 < 0 的相邻两项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .下列关于 SKIPIF 1 < 0 数列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 数列 SKIPIF 1 < 0 中共有18项
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最中间一项一定是 SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 中的相邻三项分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】举特例即可说明A项错误；根据定义，列举即可判断B项；根据 SKIPIF 1 < 0 数列的定义，可得数列中元素的特征，进而即可判断C项；由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理即可判断D项.
【详解】对于A，列举数列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B，列举可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共19项，B错误；
对于C，由于 SKIPIF 1 < 0 数列按照大小排列，且若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 一定也在 SKIPIF 1 < 0 中，又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，所以 SKIPIF 1 < 0 个数一定为奇数个.因此根据 SKIPIF 1 < 0 的定义可得，中间一项一定为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：CD.
12. 《瀑布》(图1)是埃舍尔为人所知作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”(图2).在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中建立如图3所示的空间直角坐标系(原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面)，将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到的三个正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3(图4，5，6)结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”(图7).在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是( )
A. 设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0
B. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
D. 若G为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最小为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】正方体的顶点到中心 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，判断A，写出各点坐标，利用空间向量法求解判断BCD．
【详解】正方体棱长为2，面对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
旋转后 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
旋转过程中，正方体的顶点到中心 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，始终为 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项A中， SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，B错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 夹角的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，从而直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最小为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：本题正方体绕坐标轴旋转，因此我们可以借助平面直角坐标系得出空间点的坐标，例如绕 SKIPIF 1 < 0 轴旋转时时，各点的横坐标( SKIPIF 1 < 0 )不变，只要考虑各点在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影绕原点旋转后的坐标即可得各点空间坐标．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列出等式解出即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 若数列 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 同时满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相加，相减分别可得 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令前式 SKIPIF 1 < 0 后式，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令前式+后式，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ②
由①，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列.
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由②，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为: SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
15. 若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】结合点与圆的位置关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 等于点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的一半，利用平面几何结论求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】如图， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与圆的交点时等号成立；
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 等于点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的一半，
过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足记为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足记为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点时等号成立，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1，
故答案为：1.
16. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 的直径 SKIPIF 1 < 0 上有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的一条弦，则 SKIPIF 1 < 0 的范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】分析可知 SKIPIF 1 < 0 的中点为圆心 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量数量积的运算性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，可得出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】因为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径 SKIPIF 1 < 0 上有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的中点为圆心 SKIPIF 1 < 0 ，故圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 方向相同且 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径时，两个等号同时成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，关于基础的音乐理论的著作浩如烟海，是学习音乐的必修课程.我们平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，解决有关声音的性质、律制、记谱法、音乐的基本要素、音与音之间结合的基本规律等等，而记谱(和读谱)的方法是其中很重要的一个部分。音乐是人类共同的语言.音乐中，我们常用音阶描述音符音调高低的关系，即1(d)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sl)，6(la)，7(ti)，i(d).如图，在钢琴上，一个八度内白键、黑键共有13个(不计入图中最右侧的半个黑键)，相邻琴键对应的音符频率比相等且1的频率与 SKIPIF 1 < 0 的频率比为2.
(1)若两音 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的音程关系为一度，求两音的频率比；
(2)利用“五度相生”可以构造出被称为“宫商角徵羽”的五声音阶.设1的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，在1的基础上不断升高五度，生成新的音符，并为方便辨认新的音符，将生成的频率大于 SKIPIF 1 < 0 的音降一个八度，请你利用五度相生的理论推断出“宫商角徵羽”可能对应的音符(无需一一对应).
参考数据：
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)对应音符为1，2，3，5，6
【解析】
【分析】(1)根据题意即可求解；
(2)结合题意，先求出一组“五声调式”： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将生成的频率大于 SKIPIF 1 < 0 的音降一个八度，然后根据参考数据即可求解.
【小问1详解】
由题可知，若两个音距离一个八度，则频率比为2，
所以若两个音的音程为一度，半个音(即相邻琴键)之间的频率比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两个成一度之间的音符频率比为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
通过五声调式，可以先构成一组“五声调式”： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将其中大于 SKIPIF 1 < 0 的降一个八度，即除以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据参考数据可以估计得到，五个音分别为1，5，2，6，3.
因此“宫商角徵羽”对应的音符为1，2，3，5，6.
18. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，记其焦点为 SKIPIF 1 < 0 .设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)如图，过焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条相互垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的斜率恒大于0.若 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用抛物线的定义以及准线方程即可求解；
(2)利用全等三角形的性质以及三角形内角和即可求解.
【小问1详解】
抛物线的准线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .
由抛物线定义， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，定值.
19. 如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的重心.
(1)棱 SKIPIF 1 < 0 可能垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 吗？若可能，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值，若不可能，说明理由；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值的最大值.
【答案】(1)不可能，理由见解析
(2)1
【解析】
【分析】(1)先作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，假设 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，得到方程组 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以假设不成立， SKIPIF 1 < 0 不可能垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由重心性质表达出 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，表达出 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两种情况，求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值，得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值最大值.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，交线为AB， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，
所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点作空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，有对称性可知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 情况相同，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
假设 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以假设不成立，
SKIPIF 1 < 0 不可能垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由重心的性质， SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
要想求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值最大值，只需求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值，
设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值的最大值为1，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值，
设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，此时不存在最值，
综上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角正弦值的最大值为1.
20. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，存在两定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与一动点A.已知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为3.
(1)求A的轨迹 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，表示出直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，由题可得A的轨迹 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与 SKIPIF 1 < 0 联立，后由 SKIPIF 1 < 0 及韦达定理可得答案.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0
所以A的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题设过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其与 SKIPIF 1 < 0
联立有： SKIPIF 1 < 0 ，消去y得： SKIPIF 1 < 0
因 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则
SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则由韦达定理有： SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
21. 完成下面两题
(1)如图，一个半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆在一条直线上无滑动地滚动，与 SKIPIF 1 < 0 轴的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，设圆上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 所转过的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
①设平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
②在①的条件下，用题中所给字母表示 SKIPIF 1 < 0 ，并以 SKIPIF 1 < 0 的形式写出 SKIPIF 1 < 0 运动轨迹的方程；
(2)如图，设点 SKIPIF 1 < 0 在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内从 SKIPIF 1 < 0 开始，以 SKIPIF 1 < 0 的角速度绕着 SKIPIF 1 < 0 轴做圆周运动，同时沿着平行于 SKIPIF 1 < 0 轴向上做线速度为 SKIPIF 1 < 0 的匀速直线运动,运动的时间为t，用题中所给字母表示 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹的方程.
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)①由弧长公式结合向量加法公式，表示向量 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，再用基地表示向量 SKIPIF 1 < 0 ，并结合①用基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得参数方程；
(2)根据物理知识，用基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得参数方程，并消参后求得普通方程.
【小问1详解】
① SKIPIF 1 < 0 .
②由题， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 可以分解为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹可以表示为 SKIPIF 1 < 0 .
小问2详解】
设该坐标系的基底为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，
向量 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到向量 SKIPIF 1 < 0 所转过的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由题设，可以将 SKIPIF 1 < 0 记作 SKIPIF 1 < 0
因此类似(1)②中可以表示 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知平面直角坐标系内一椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，记两焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 上有三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、S，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
②证明：当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时， SKIPIF 1 < 0 必定经过 SKIPIF 1 < 0 的某个顶点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；②证明见解析
【解析】
【分析】(1)由定义求得参数即可得方程；
(2)①求出直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，分别联立椭圆方程求得 SKIPIF 1 < 0 、S坐标，即可求得面积；
②设直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别联立椭圆方程结合韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，即可化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，最后证明 SKIPIF 1 < 0 即可.
【小问1详解】
可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
①可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
分别联立椭圆方程可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
②证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 和椭圆得： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下面证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ：
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即证明 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的判别式小于等于0，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，原命题得证.
故当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时， SKIPIF 1 < 0 必定经过 SKIPIF 1 < 0 的上或下顶点.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般可通过联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理表示出三角形的面积函数，即可进一步讨论.
本题通过讨论面积最大及其成立条件，即可得其过顶点. SKIPIF 1 < 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
SKIPIF 1 < 0
1.05
1.12
1.18
1.25
1.33
1.41
1.49
1.58
1.68
1.78
1.89
2
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