专题01 集合（6类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份专题01 集合（6类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共2页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。

（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能正确处理含参的分类讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式和简单的含绝对值的不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧与总结】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
【题型归纳目录】
题型一：集合的表示
题型二：集合元素的特征
题型三：集合的关系
题型四：集合的运算
题型五：集合与排列组合
题型六：新定义
【题型一】集合的表示
例1．已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
由列举法列出集合的所有元素，即可判断；
【详解】
解：因为，，所以或或或，
故，即集合中含有个元素；
故选：C
例2．用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】
由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.
【题型二】 集合元素的特征
例3．设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合B的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.
【详解】
当时，y＝1；
当时，y＝0；
当x＝3时，．
故集合B共有3个元素．
故选：B.
【题型三】 集合的关系
例4．设全集，若集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.
【详解】由题意可得：，
显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.
故选：C
例5．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出，即得解.
【详解】
解：由题得.
因为.
所以.
所以的子集个数为个.
故选：C
【题型四】 集合的运算
（多选题）例6．已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由题可知，利用包含关系即可判断.
【详解】
∵
∴，
若是的真子集，则，故A错误；
由可得，故B正确；
由可得，故C错误，D正
故选：BD.
【题型五】 集合与排列组合
例7．设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对A、B：不妨设，可得，根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若，则集合Y中至多有6个元素，所以，排除选项B；对C：对，则与一定成对出现，根据集合的定义可判断选项C；对D：取，则，根据集合的定义可判断选项D.
【详解】
解：不妨设，则的值为，
显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设，
则显然，则集合S中至少有7个元素，
所以不可能，故排除A选项；
其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；
对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；
对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.
故选：D.
【方法技巧与总结】
利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想
例8．，若表示集合中元素的个数，则_______，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式可得，再考虑的整数部分，从而的值.
【详解】
当时，，故，即，，
由于不能整除3，且，
故从到，3的倍数共有682个，
.
故答案为：，.
例9．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______．
【答案】 3 2022
【解析】
【分析】
化简A，可得；根据“容量”定义可得的，解方程即可.
【详解】
，则集合，
所以．若集合，
则集合，
故，解得．
故答案为：3；2022
【点睛】
关键点点睛：解决新情景问题的关键是读懂题意，准确理解新定义集合的“容量”的含义，并理解其本质．
【题型六】 新定义
例10．已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：
①存在，使得为完美集；
②存在，使得为完美集；
③如果，那么一定不为完美集；
④使得A为完美集的所有的值之和为-2．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①②
【解析】
【分析】
由题意得，，即t的范围为或，或，且，当时，分，，三种情况讨论，根据完美集可求得t的值，当时，同理可得t的值，从而可的答案.
【详解】
解：由题意得，，即t的范围为或，或，且，
当时，
当，又，故，
则有，
可得，此时，，解得；
当，，故，
则，可得，
此时，，解得；
当，，故，
则有，可得，
此时，，解得（舍去），无解；
同理，当时，当，，当或，无解.
综上，所有正确结论的序号是①②.
故答案为：①②.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第1题,5分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2023年新Ⅱ卷，第2题,5分
元素的性质、集合的子集
无
2022年新I卷，第1题,5分
集合的交集
根号不等式的解法
2022年新Ⅱ卷，第1题,5分
集合的交集
单绝对值不等式的解法
2021年新I卷，第1题,5分
集合的交集
无
2021年新Ⅱ卷，第2题,5分
集合的交集、补集
无
2020年新I卷，第1题,5分
集合的并集
无
2020年新Ⅱ卷，第1题,5分
集合的交集
无
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或