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- 第04讲 随机事件、频率与概率（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第06讲 事件的相互独立性、条件概率、全概率及贝叶斯公式（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第08讲 二项分布、超几何分布及正态分布（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 2 次下载
- 第09讲 统计与统计案例（13类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 2 次下载
第05讲 古典概率及概率的基本性质（6类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）
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这是一份第05讲 古典概率及概率的基本性质（6类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共2页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，会计算互斥事件及对立事件的概率等内容，欢迎下载使用。
2024高考数学一轮复习
第05讲 古典概率及概率的基本性质
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第12题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
独立重复试验的概率问题
2022年新I卷，第5题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2022年新Ⅱ卷，第19题,12分
利用对立事件的概率公式求概率
频率分布直方图的实际应用
由频率分布直方图估计平均数
计算条件概率
2022年全国甲卷（理），
第15题,5分
计算古典概型问题的概率
组合计数问题
2022年全国乙卷（理），
第10题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
2022年全国乙卷（理），
第13题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2021年全国甲卷（理），
第10题,5分
计算古典概型问题的概率
不相邻排列问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握古典概型的定义，并会相关计算
2.理解并掌握概率的基本性质
3.会计算互斥事件及对立事件的概率
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查古典概型的概率计算及互斥、对立事件的辨析及计算，需强化训练
知识讲解
1．古典概型特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步骤
(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
4. 判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
考点一、古典概型的概率计算
1．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
2．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
4．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
5．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
6．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】 /
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．
1．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
3．（全国·统考高考真题）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从5个点中任取3个有
共种不同取法，
3点共线只有与共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为.
故选：A
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
4．（江苏·统考高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【答案】
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（山东·统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.
故选：B
6．（2023·全国·统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
乙
甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.
故选：A
考点二、有无放回抽样的概率
1．（2023·海南·校考模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.
【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，
则事件A共包含以下10种情况：
，
而有放回的连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，
则
故选：D
2．（2023·四川·校联考模拟预测）从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，，共9种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率；
故选：．
1．（2022·四川成都·统考模拟预测）纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用相邻元素捆绑法和古典概型公式求解即可.
【详解】从纸箱中不放回地随机取9次，共有种情况，
偶数的球被连续抽取出来，共有，
则偶数的球被连续抽取出来的概率.
故选：C
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为 .
【答案】/0.6
【分析】通过分析第一次不放回摸出的球的不同情况，即可得到第2次摸到红色球的概率.
【详解】由题意，
袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，
不放回地依次随机摸出2个球，
∴第1次可能摸到1白色球或1红色球
∴第2次摸到红色球的概率为：，
故答案为：.
考点三、判断互斥事件与对立事件
1．（2023·全国·高三专题练习）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件
C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件
【答案】D
【分析】首先分别求出事件，，所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断事件，的关系.
【详解】事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
因为出现点数或，
所以与不互斥也不对立.
因为，，
所以与是对立事件.
故选：D
【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件，熟练掌握互斥和对立事件的概念为解题的关键，属于简单题.
2．（2022·全国·高三专题练习）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【答案】A
【分析】需从互斥事件和对立事件的概念加以区分，结合具体选项对应的事件加以辨别
【详解】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，
但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；
对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，
如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；
对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；
对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.
故选A.
【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的区别与联系，事件互斥不一定对立，事件对立一定互斥，属于基础题
3．（2023·全国·高三专题练习）对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是 ；互为对立事件的是 .
【答案】 A与B、A与C，B与C、B与D B与D.
【解析】由互斥事件，对立事件的概念逐一判断即可.
【详解】解：由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C、B与D也是互斥事件.
综上可得，A与B、A与C，B与C、B与D都是互斥事件.
在上述互斥事件中，再根据B、D满B∪D为必然事件，故B与D是对立事件，
故答案为A与B、A与C，B与C、B与D；B与D.
【点睛】本题考查了互斥事件，对立事件的关系，属基础题.
7．（2022·江苏·高三专题练习）（多选）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是白球
B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球
【答案】BD
【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.
【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD.
【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.
1．（2023·全国·高三专题练习）某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与B对立 B．
C．事件A与B互斥 D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】因为骰子的点数1至6共6个正整数，因此事件和可能同时发生（如出现点数1），也可能同时不发生（如出现点数6），因此它们不互斥也不对立，A，B，C均错，
但，，D正确.
故选：D．
【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概念，考查互斥事件的概率公式和古典概型的概率，属于基础题．
2．（2022·四川宜宾·统考三模）一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（ ）
A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”
C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”
【答案】A
【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生．
【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：
“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”
根据互斥事件可知：A正确；
“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；
“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；
“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；
故选：A．
3．（2022春·天津西青·高三天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念,依次判断选项即可.
【详解】从1,2,3,4,5中任取两个数
对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误;
对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误;
对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误.
对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确.
综上可知,D为正确选项
故选:D
【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念和判断,属于基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若为两个事件，则
C．若事件彼此互斥，则
D．若事件满足，则是对立事件
【答案】BCD
【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D,
【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确；
对B，当且仅当A与B互斥时才有，
对于任意两个事件，满足，B不正确；
对C，若事件彼此互斥，不妨取分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”，
则，所以C不正确；
对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，
从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球），
满足，
但事件A与B不互斥，也不对立，D错误，
故选：BCD.
考点四、互斥事件的概率加法公式
1．（2023·全国·统考模拟预测）在古典概型中，若，为互斥但不对立事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解.
【详解】由题意，事件若，为互斥事件，但不对立事件，
根据互斥事件和对立事件的定义，可得，所以A正确.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据事件的关系和运算结合随机事件的概率性质，分别判断各个选项即可.
【详解】对于A选项：当A，B为两个互斥事件时，才有，所以A选项错误；
对于B选项：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B选项错误；
对于C选项：当A，B为互斥事件时，，所以C选项正确；
对于D选项：由概率的性质可知，若，则，所以D选项错误；
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
1．（2022·江苏·高三专题练习）已知随机事件，互斥，且，，则 .
【答案】0.5
【分析】根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减即可得到结果.
【详解】随机事件，互斥，
,
.
故答案为：0.5.
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若，为两个事件，则；
③若事件，，两两互斥，则．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项分析可得答案.
【详解】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有，②错误；
若事件A，B，C两两互斥，则，但不一定是必然事件，
例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与为对立事件，当时，，③错误．
故选：C.
3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故选项D正确.
故选：D.
考点五、利用互斥事件概率公式求概率
1．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
【答案】D
【分析】由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.
【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
所以摸出黑球或红球的概率，故选D.
【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式，属于中档题.
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B.
点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).
3．（2021秋·天津静海·高三校考阶段练习）台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是 ．
【答案】0.902
【解析】根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，则至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解.
【详解】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
故答案为：0.902.
1．（2023·全国·高三专题练习）一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 .
【答案】
【分析】先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．
【详解】从中随机抽取2个球，所有的抽法共有种，
事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，
而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为，
故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于，
故答案为.
【点睛】本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，属于简单题.
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解.
【详解】设在这周能进行决赛为事件，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件，，，则，
又事件，，两两互斥，
则有，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.
3．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
考点六、利用对立事件的概率公式求概率
1．（2023·上海·高三统考学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4
【答案】D
【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可
【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.
所以在一次射击中不够8环的概率为，
故选：D
2．（2022·江苏·高三专题练习）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用对立事件的概率公式求得答案.
【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，
取出的2粒颜色不同的概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查了互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率计算公式，属于基础题.
3．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.
【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，
所以，因此,故本题选A.
【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.
4．（2022·全国·高三专题练习）某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出甲、乙在同一站下车的概率，然后由对立事件概率公式计算．
【详解】设事件“甲、乙两人不在同一站下车”，
因为甲、乙两人同在站下车的概率为；
甲、乙两人同在站下车的概率为；
甲、乙两人同在站下车的概率为；
所以甲、乙两人在同一站下车的概率为，则.
故选A.
【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件及独立事件的概率及分段函数的解析式，利用互斥事件、独立事件的概率公式求出甲、乙两人在同一站下车的概率,再利用对立事件的概率公式，即可得结果，属于基础题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
5．（2023·全国·高三专题练习）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，，且.
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故选：C.
1．（2023·广东·高三统考学业考试）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件利用对立事件的概率计算公式即可计算作答.
【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且，
于是得，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解.
【详解】因为事件与事件互斥，所以，
所以.
故选：B
3．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝ ．
【答案】
【详解】分析：由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，可求，进而根据对立事件概率减法公式得到答案.
详解：事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，
它们都不发生的概率为
解得，
,
.
故答案为.
点睛：本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，对立事件概率减法公式，难度不大，属于基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为 ；至少取得一个红玻璃球的概率为 ．
【答案】
【解析】“取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率； “至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．
【详解】取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球故取得两个同颜色的玻璃球的概率；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”
故至少取得一个红玻璃球的概率
故答案为：；
【点睛】本题考查互斥事件的概率公式；对立事件的概率公式，属于基础题．
5．（2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次纱线断头的概率分别是，，，则这台纺纱机在1小时内纱线断头不超过2次的概率和纱线断头超过2次的概率分别为 、 .
【答案】 0.97 0.03
【解析】纱线断头不超过2次的概率等于发生0次、1次、2次纱线断头的概率之和，纱线断头超过2次与线断头不超过2次是对立，从而得到答案.
【详解】因为纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次纱线断头的概率分别是，，，
所以纱线断头不超过2次的概率，
所以纱线断头超过2次的概率.
故答案为：0.97、0.03
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概率，属于简单题.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据古典概型计算公式，结合概率加法的运算公式进行求解即可.
【详解】设事件：一次就按对，事件：二次按对，
所以不超过2次就按对的概率为，
故选：B
3．（2023·山东青岛·统考三模）将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，
所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，
所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为.
故选：A.
4．（2023·广东汕头·统考三模）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】随机选取两个不同的数，基本事件总数为，利用列举法求出其和等于40包含的基本事件有3个，由此求出其和等于40的概率．
【详解】不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，
其中，共3组数，
所以其和等于40的概率.
故选：C.
5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）从中随机取2个不同的数，则这2个数之和是4与6的公倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用古典概型公式计算即可.
【详解】从中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若这2个数的和是4与6的公倍数的不同取法有：共2种，故所求概率，
故选：A.
二、填空题
6．（2023·全国·模拟预测）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是，和棋的概率是，则甲不输的概率为 ．
【答案】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得 .
【详解】记甲获胜为事件A，和棋为事件B.
易知A，B互斥，
所以，甲不输的概率为．
故答案为：
7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）从甲、乙、丙等6名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙、丙3人中恰好有两人入选的概率为 .
【答案】
【分析】根据计数原理求出样本空间，再求出甲乙丙三人中刚好有2人入选的事件数，按照古典概型求解.
【详解】从6名同学中随机选3名的方法数为 ，甲、乙、丙3人中恰好有两人人选的方法数为 ，因此所求概率；
故答案为：.
8．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照，这四位同学排在同一行，则甲、乙两位学生相邻的概率为 .
【答案】/
【分析】利用捆绑法，先将甲、乙两位学生看成一个整体，再与剩余学生排列，结合古典概型运算求解.
【详解】四位同学排列，共用种不同排法，
若甲、乙两位学生相邻，共用种不同排法，
所以甲、乙两位学生相邻的概率.
故答案为：.
9．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为 ．
【答案】/0.9
【分析】把另3 编号，用列举法写出从5人中任选3人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入选的基本事件，记数后由概率公式计算概率．
【详解】另三名同学记为1，2，3，由从5人中选3名同学基本事件有：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23，123共10个，
其中甲、乙至少一人入选的基本事件有甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23共9个，
所以所求概率为．
故答案为：．
10．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，且，记事件“抽到黑花色”，则 .
【答案】/
【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可.
【详解】记事件“抽到红花色”
因为，且不会同时发生，所以是互斥事件，
则，
又因为互斥，且是必然事件，所以互为对立事件，
所以，
故答案为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先依题意得出满足条件的情况，再根据古典概型公式计算即可.
【详解】编号之和恰为,则需要3个球中个编号为,个编号为，
设个编号为的小球为ABC，个编号为的小球为ab，
则从5个球中取出3个，共有：
，共10种，
其中满足题意得情况有：共6种，
则编号之和恰为的概率为.
故选:D.
2．（2023·河北保定·统考二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.
故选：C
3．（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B为对立事件
B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C．若A，B为互斥事件，则
D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，条件概率的定义判断．
【详解】对于A，若在不同试验下，虽然有，但事件和不对立．若在同一试验下，说明事件和对立．所以A错误；
对于B，若事件和都为不可能事件，则B错误；
对于C，互斥，若对立，则，若不对立，则，C正确；
对于D，若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则，则D错误，
故选：C．
4．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A与互斥 B．与相互独立
C． D．A与互斥
【答案】B
【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.
【详解】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与能够同时发生，所以A与不互斥，故选项A错误；
对于选项B：，，，所以，所以与相互独立，即选项B正确；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；
故选：B.
5．（2023·山东烟台·统考三模）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
【答案】C
【分析】计算出将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教共有的分法种数，再结合每个选项里的具体要求求出符合其要求的分法种数，根据古典概型的概率公式，即可求得相应概率，可判断A，B，C，利用对立事件计算可判断D.
【详解】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
共有 中分法；
对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有种分法，
故甲学校没有女大学生的概率为，A错误；
对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，
共有种分法，
故甲学校至少有两名女大学生的概率为，B错误；
对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为或，
当男生人数为时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
当男生人数为时，将4名女生按人数分为3组，
人数的2组分到男生人数为的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
故每所学校都有男大学生的分法有种，
则每所学校都有男大学生的概率为，C正确；
对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有种分法，
乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为，D错误，
故选：C
6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解
【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.
因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，
所以所求的概率．
故选：A．
二、多选题
7．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和D.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，，，，
于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则M与N不互斥，
，，，于是，
所以M与N相互独立，则C和D均正确．
故选：BCD．
8．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知A，B为两个随机事件，且，，则（ ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
【答案】BCD
【分析】由互斥事件且可得且，即可判断A、B；利用独立事件的性质及已知概率值判断C、D.
【详解】若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；
若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；
若A，B为相互独立事件，则也相互独立，即，又，
而，
故，D正确.
故选：BCD
9．（2023·湖北·校联考三模）A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（ ）
A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件， D．若，则
【答案】ACD
【分析】由互斥、对立事件概率求法判断A、B；根据事件关系及独立事件乘法求判断C；应用条件概率公式、全概率公式求.
【详解】A：由A、B是互斥事件，故，正确．
B：由知：，不正确．
C：由于A，B是相互独立事件，，
，正确．
D：，则，
，正确．
故选：ACD
三、填空题
10．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 .
【答案】
【分析】应用组合数求取出3个为同一种颜色的取法、任取3个球的取法，应用古典概型、对立事件概率求法求至少含有两种不同颜色的小球的概率.
【详解】由题意，取出3个为同一种颜色有种取法，
10个大小一样的小球任取3个球有种取法，
所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为.
故答案为：
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率；
解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.
【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.
2．（山东·统考高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.
【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，
∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．
故选：D
3．（辽宁·高考真题）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=
4．（重庆·高考真题）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为
．
5．（广东·高考真题）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】从五个球中任取两个，
共有种取法，
其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6，
利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是，
故选C.
【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
6．（全国·高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
7．（全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
8．（重庆·高考真题）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，本题是一个古典概型，满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出三张门票的价格均不相同，共有种取法，试验发生的所有事件总的取法有种，用对立事件概率得到结果.
【详解】由题意知本题是一个古典概型，满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出的三张门票的价格均不相同，共有种取法，试验发生的所有事件总的取法有种，三张门票的价格均不相同的概率是，至少有2张价格相同的概率为
故答案选：C
【点睛】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，属于基础题.
9．（辽宁·高考真题）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.
详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.
10．（福建·高考真题）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：包含恰摸到两个黑球，一个白球，或是恰好三个黑球，为互斥事件，所以概率是．
考点：1．互斥事件和的概率；2．古典概型．
11．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：甲不输概率为选A.
【考点】概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法公式.对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
12．（湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.
详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选C.
点睛：本题主要考查互斥事件和对立事件的联系和区别，考查充分条件和必要条件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定对立，甲乙对立，则甲乙一定互斥.
13．（安徽·高考真题）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意．
故选B．
14．（陕西·高考真题）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：5点中任选2点的选法有，距离不小于该正方形边长的选法有
考点：古典概型概率
15．（重庆·高考真题）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，从而求出其概率.
【详解】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，
则所取4个球的最大号码是6的概率为，
故选：B．
16．（江西·高考真题）将1，2，...，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．
【详解】解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有
，2，，，5，，，8，；
，2，，，6，，，7，；
，3，，，4，，，8，；
，4，，，5，，，6，；
，5，，，3，，，7，，共5组．
所求概率为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接，属于中档题．
17．（江苏·高考真题）如图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将左端的六个接线点随机地平均分成三组可能出现的所有结果找出来，再根据五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，求出此种情况可能出现的结果，再运用古典概型的概率公式即可得出所求事件概率．
【详解】解：根据题意，设右端连线方式如图，
对于左端的六个接线点，将其随机地平均分成三组，共有种结果，
五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，则1必须和3、4、5、6中其中1个相接，接好后，2只有2种情况可选，剩下的接线点只有1种接法，所以共有种结果，
同理，右端连线方式变化时，左端的接线方法都有15种，其中有8种可以收到信号，
∴这五个接收器能同时接收到信号的概率是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查平均分组问题，属于中档题．
18．（湖北·高考真题）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C．
考点：相互独立事件概率的计算．
19．（江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案.
【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，
则，又，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.
20．（全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
21．（四川·高考真题）12.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则
A． B．（ C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，
a的取法有2种，b的取法有3种，故向量 a =（a，b）有6个，
从中任取两个向量共=15种结果，
满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，
根据等可能事件的概率得到P="5" /15 ="1" /3故选B
22．（全国·高考真题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．
【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式
2024高考数学一轮复习
第05讲 古典概率及概率的基本性质
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第12题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
独立重复试验的概率问题
2022年新I卷，第5题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2022年新Ⅱ卷，第19题,12分
利用对立事件的概率公式求概率
频率分布直方图的实际应用
由频率分布直方图估计平均数
计算条件概率
2022年全国甲卷（理），
第15题,5分
计算古典概型问题的概率
组合计数问题
2022年全国乙卷（理），
第10题,5分
利用互斥事件的概率公式求概率
独立事件的乘法公式
2022年全国乙卷（理），
第13题,5分
计算古典概型问题的概率
实际问题中的组合计数问题
2021年全国甲卷（理），
第10题,5分
计算古典概型问题的概率
不相邻排列问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握古典概型的定义，并会相关计算
2.理解并掌握概率的基本性质
3.会计算互斥事件及对立事件的概率
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查古典概型的概率计算及互斥、对立事件的辨析及计算，需强化训练
知识讲解
1．古典概型特点
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
2．古典概型概率公式
P(A)＝＝.
求古典概型概率的步骤
(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率.
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
4. 判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
考点一、古典概型的概率计算
1．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
2．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
4．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
5．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
6．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】 /
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．
1．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
3．（全国·统考高考真题）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从5个点中任取3个有
共种不同取法，
3点共线只有与共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为.
故选：A
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
4．（江苏·统考高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【答案】
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（山东·统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.
故选：B
6．（2023·全国·统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
乙
甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.
故选：A
考点二、有无放回抽样的概率
1．（2023·海南·校考模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.
【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，
则事件A共包含以下10种情况：
，
而有放回的连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，
则
故选：D
2．（2023·四川·校联考模拟预测）从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，，共9种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率；
故选：．
1．（2022·四川成都·统考模拟预测）纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用相邻元素捆绑法和古典概型公式求解即可.
【详解】从纸箱中不放回地随机取9次，共有种情况，
偶数的球被连续抽取出来，共有，
则偶数的球被连续抽取出来的概率.
故选：C
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为 .
【答案】/0.6
【分析】通过分析第一次不放回摸出的球的不同情况，即可得到第2次摸到红色球的概率.
【详解】由题意，
袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，
不放回地依次随机摸出2个球，
∴第1次可能摸到1白色球或1红色球
∴第2次摸到红色球的概率为：，
故答案为：.
考点三、判断互斥事件与对立事件
1．（2023·全国·高三专题练习）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件
C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件
【答案】D
【分析】首先分别求出事件，，所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断事件，的关系.
【详解】事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
因为出现点数或，
所以与不互斥也不对立.
因为，，
所以与是对立事件.
故选：D
【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件，熟练掌握互斥和对立事件的概念为解题的关键，属于简单题.
2．（2022·全国·高三专题练习）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【答案】A
【分析】需从互斥事件和对立事件的概念加以区分，结合具体选项对应的事件加以辨别
【详解】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，
但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；
对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，
如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；
对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；
对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.
故选A.
【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的区别与联系，事件互斥不一定对立，事件对立一定互斥，属于基础题
3．（2023·全国·高三专题练习）对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是 ；互为对立事件的是 .
【答案】 A与B、A与C，B与C、B与D B与D.
【解析】由互斥事件，对立事件的概念逐一判断即可.
【详解】解：由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C、B与D也是互斥事件.
综上可得，A与B、A与C，B与C、B与D都是互斥事件.
在上述互斥事件中，再根据B、D满B∪D为必然事件，故B与D是对立事件，
故答案为A与B、A与C，B与C、B与D；B与D.
【点睛】本题考查了互斥事件，对立事件的关系，属基础题.
7．（2022·江苏·高三专题练习）（多选）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是白球
B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球
【答案】BD
【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.
【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD.
【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.
1．（2023·全国·高三专题练习）某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与B对立 B．
C．事件A与B互斥 D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】因为骰子的点数1至6共6个正整数，因此事件和可能同时发生（如出现点数1），也可能同时不发生（如出现点数6），因此它们不互斥也不对立，A，B，C均错，
但，，D正确.
故选：D．
【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概念，考查互斥事件的概率公式和古典概型的概率，属于基础题．
2．（2022·四川宜宾·统考三模）一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（ ）
A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”
C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”
【答案】A
【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生．
【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：
“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”
根据互斥事件可知：A正确；
“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；
“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；
“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；
故选：A．
3．（2022春·天津西青·高三天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念,依次判断选项即可.
【详解】从1,2,3,4,5中任取两个数
对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以A错误;
对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数,两个事件互斥,且为对立事件,所以B错误;
对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数,两个事件有重复,所以不是互斥事件,所以C错误.
对于D,恰有一个偶数和没有偶数,为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数,所以两个事件互斥且不对立,所以D正确.
综上可知,D为正确选项
故选:D
【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念和判断,属于基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若为两个事件，则
C．若事件彼此互斥，则
D．若事件满足，则是对立事件
【答案】BCD
【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D,
【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确；
对B，当且仅当A与B互斥时才有，
对于任意两个事件，满足，B不正确；
对C，若事件彼此互斥，不妨取分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”，
则，所以C不正确；
对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，
从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球），
满足，
但事件A与B不互斥，也不对立，D错误，
故选：BCD.
考点四、互斥事件的概率加法公式
1．（2023·全国·统考模拟预测）在古典概型中，若，为互斥但不对立事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解.
【详解】由题意，事件若，为互斥事件，但不对立事件，
根据互斥事件和对立事件的定义，可得，所以A正确.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据事件的关系和运算结合随机事件的概率性质，分别判断各个选项即可.
【详解】对于A选项：当A，B为两个互斥事件时，才有，所以A选项错误；
对于B选项：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B选项错误；
对于C选项：当A，B为互斥事件时，，所以C选项正确；
对于D选项：由概率的性质可知，若，则，所以D选项错误；
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
1．（2022·江苏·高三专题练习）已知随机事件，互斥，且，，则 .
【答案】0.5
【分析】根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的两个事件的概率，相减即可得到结果.
【详解】随机事件，互斥，
,
.
故答案为：0.5.
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若，为两个事件，则；
③若事件，，两两互斥，则．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项分析可得答案.
【详解】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有，②错误；
若事件A，B，C两两互斥，则，但不一定是必然事件，
例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与为对立事件，当时，，③错误．
故选：C.
3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故选项D正确.
故选：D.
考点五、利用互斥事件概率公式求概率
1．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
【答案】D
【分析】由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.
【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
所以摸出黑球或红球的概率，故选D.
【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式，属于中档题.
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B.
点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).
3．（2021秋·天津静海·高三校考阶段练习）台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是 ．
【答案】0.902
【解析】根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，则至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解.
【详解】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
故答案为：0.902.
1．（2023·全国·高三专题练习）一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 .
【答案】
【分析】先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．
【详解】从中随机抽取2个球，所有的抽法共有种，
事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，
而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为，
故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于，
故答案为.
【点睛】本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，属于简单题.
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解.
【详解】设在这周能进行决赛为事件，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件，，，则，
又事件，，两两互斥，
则有，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.
3．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
考点六、利用对立事件的概率公式求概率
1．（2023·上海·高三统考学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4
【答案】D
【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可
【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.
所以在一次射击中不够8环的概率为，
故选：D
2．（2022·江苏·高三专题练习）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用对立事件的概率公式求得答案.
【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，
取出的2粒颜色不同的概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查了互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率计算公式，属于基础题.
3．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.
【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，
所以，因此,故本题选A.
【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.
4．（2022·全国·高三专题练习）某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出甲、乙在同一站下车的概率，然后由对立事件概率公式计算．
【详解】设事件“甲、乙两人不在同一站下车”，
因为甲、乙两人同在站下车的概率为；
甲、乙两人同在站下车的概率为；
甲、乙两人同在站下车的概率为；
所以甲、乙两人在同一站下车的概率为，则.
故选A.
【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件及独立事件的概率及分段函数的解析式，利用互斥事件、独立事件的概率公式求出甲、乙两人在同一站下车的概率,再利用对立事件的概率公式，即可得结果，属于基础题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
5．（2023·全国·高三专题练习）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，，且.
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故选：C.
1．（2023·广东·高三统考学业考试）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件利用对立事件的概率计算公式即可计算作答.
【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且，
于是得，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解.
【详解】因为事件与事件互斥，所以，
所以.
故选：B
3．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝ ．
【答案】
【详解】分析：由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，可求，进而根据对立事件概率减法公式得到答案.
详解：事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，
它们都不发生的概率为
解得，
,
.
故答案为.
点睛：本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，对立事件概率减法公式，难度不大，属于基础题.
4．（2022·全国·高三专题练习）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为 ；至少取得一个红玻璃球的概率为 ．
【答案】
【解析】“取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率； “至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．
【详解】取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球故取得两个同颜色的玻璃球的概率；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”
故至少取得一个红玻璃球的概率
故答案为：；
【点睛】本题考查互斥事件的概率公式；对立事件的概率公式，属于基础题．
5．（2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次纱线断头的概率分别是，，，则这台纺纱机在1小时内纱线断头不超过2次的概率和纱线断头超过2次的概率分别为 、 .
【答案】 0.97 0.03
【解析】纱线断头不超过2次的概率等于发生0次、1次、2次纱线断头的概率之和，纱线断头超过2次与线断头不超过2次是对立，从而得到答案.
【详解】因为纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次纱线断头的概率分别是，，，
所以纱线断头不超过2次的概率，
所以纱线断头超过2次的概率.
故答案为：0.97、0.03
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概率，属于简单题.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据古典概型计算公式，结合概率加法的运算公式进行求解即可.
【详解】设事件：一次就按对，事件：二次按对，
所以不超过2次就按对的概率为，
故选：B
3．（2023·山东青岛·统考三模）将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，
所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，
所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为.
故选：A.
4．（2023·广东汕头·统考三模）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】随机选取两个不同的数，基本事件总数为，利用列举法求出其和等于40包含的基本事件有3个，由此求出其和等于40的概率．
【详解】不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，
其中，共3组数，
所以其和等于40的概率.
故选：C.
5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）从中随机取2个不同的数，则这2个数之和是4与6的公倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用古典概型公式计算即可.
【详解】从中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若这2个数的和是4与6的公倍数的不同取法有：共2种，故所求概率，
故选：A.
二、填空题
6．（2023·全国·模拟预测）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是，和棋的概率是，则甲不输的概率为 ．
【答案】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得 .
【详解】记甲获胜为事件A，和棋为事件B.
易知A，B互斥，
所以，甲不输的概率为．
故答案为：
7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）从甲、乙、丙等6名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙、丙3人中恰好有两人入选的概率为 .
【答案】
【分析】根据计数原理求出样本空间，再求出甲乙丙三人中刚好有2人入选的事件数，按照古典概型求解.
【详解】从6名同学中随机选3名的方法数为 ，甲、乙、丙3人中恰好有两人人选的方法数为 ，因此所求概率；
故答案为：.
8．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照，这四位同学排在同一行，则甲、乙两位学生相邻的概率为 .
【答案】/
【分析】利用捆绑法，先将甲、乙两位学生看成一个整体，再与剩余学生排列，结合古典概型运算求解.
【详解】四位同学排列，共用种不同排法，
若甲、乙两位学生相邻，共用种不同排法，
所以甲、乙两位学生相邻的概率.
故答案为：.
9．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为 ．
【答案】/0.9
【分析】把另3 编号，用列举法写出从5人中任选3人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入选的基本事件，记数后由概率公式计算概率．
【详解】另三名同学记为1，2，3，由从5人中选3名同学基本事件有：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23，123共10个，
其中甲、乙至少一人入选的基本事件有甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23共9个，
所以所求概率为．
故答案为：．
10．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，且，记事件“抽到黑花色”，则 .
【答案】/
【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可.
【详解】记事件“抽到红花色”
因为，且不会同时发生，所以是互斥事件，
则，
又因为互斥，且是必然事件，所以互为对立事件，
所以，
故答案为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先依题意得出满足条件的情况，再根据古典概型公式计算即可.
【详解】编号之和恰为,则需要3个球中个编号为,个编号为，
设个编号为的小球为ABC，个编号为的小球为ab，
则从5个球中取出3个，共有：
，共10种，
其中满足题意得情况有：共6种，
则编号之和恰为的概率为.
故选:D.
2．（2023·河北保定·统考二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.
故选：C
3．（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B为对立事件
B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C．若A，B为互斥事件，则
D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，条件概率的定义判断．
【详解】对于A，若在不同试验下，虽然有，但事件和不对立．若在同一试验下，说明事件和对立．所以A错误；
对于B，若事件和都为不可能事件，则B错误；
对于C，互斥，若对立，则，若不对立，则，C正确；
对于D，若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则，则D错误，
故选：C．
4．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A与互斥 B．与相互独立
C． D．A与互斥
【答案】B
【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.
【详解】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与能够同时发生，所以A与不互斥，故选项A错误；
对于选项B：，，，所以，所以与相互独立，即选项B正确；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；
故选：B.
5．（2023·山东烟台·统考三模）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
【答案】C
【分析】计算出将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教共有的分法种数，再结合每个选项里的具体要求求出符合其要求的分法种数，根据古典概型的概率公式，即可求得相应概率，可判断A，B，C，利用对立事件计算可判断D.
【详解】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
共有 中分法；
对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有种分法，
故甲学校没有女大学生的概率为，A错误；
对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，
共有种分法，
故甲学校至少有两名女大学生的概率为，B错误；
对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为或，
当男生人数为时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
当男生人数为时，将4名女生按人数分为3组，
人数的2组分到男生人数为的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
故每所学校都有男大学生的分法有种，
则每所学校都有男大学生的概率为，C正确；
对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有种分法，
乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为，D错误，
故选：C
6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解
【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.
因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，
所以所求的概率．
故选：A．
二、多选题
7．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和D.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，，，，
于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则M与N不互斥，
，，，于是，
所以M与N相互独立，则C和D均正确．
故选：BCD．
8．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知A，B为两个随机事件，且，，则（ ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
【答案】BCD
【分析】由互斥事件且可得且，即可判断A、B；利用独立事件的性质及已知概率值判断C、D.
【详解】若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；
若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；
若A，B为相互独立事件，则也相互独立，即，又，
而，
故，D正确.
故选：BCD
9．（2023·湖北·校联考三模）A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（ ）
A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件， D．若，则
【答案】ACD
【分析】由互斥、对立事件概率求法判断A、B；根据事件关系及独立事件乘法求判断C；应用条件概率公式、全概率公式求.
【详解】A：由A、B是互斥事件，故，正确．
B：由知：，不正确．
C：由于A，B是相互独立事件，，
，正确．
D：，则，
，正确．
故选：ACD
三、填空题
10．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 .
【答案】
【分析】应用组合数求取出3个为同一种颜色的取法、任取3个球的取法，应用古典概型、对立事件概率求法求至少含有两种不同颜色的小球的概率.
【详解】由题意，取出3个为同一种颜色有种取法，
10个大小一样的小球任取3个球有种取法，
所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为.
故答案为：
【真题感知】
一、单选题
1．（全国·高考真题）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率；
解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.
【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.
2．（山东·统考高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.
【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，
∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．
故选：D
3．（辽宁·高考真题）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=
4．（重庆·高考真题）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为
．
5．（广东·高考真题）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】从五个球中任取两个，
共有种取法，
其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6，
利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是，
故选C.
【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
6．（全国·高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
7．（全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
8．（重庆·高考真题）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，本题是一个古典概型，满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出三张门票的价格均不相同，共有种取法，试验发生的所有事件总的取法有种，用对立事件概率得到结果.
【详解】由题意知本题是一个古典概型，满足条件的事件包含的结果比较多，可以从它的对立事件来考虑，取出的三张门票的价格均不相同，共有种取法，试验发生的所有事件总的取法有种，三张门票的价格均不相同的概率是，至少有2张价格相同的概率为
故答案选：C
【点睛】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，属于基础题.
9．（辽宁·高考真题）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.
详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.
10．（福建·高考真题）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：包含恰摸到两个黑球，一个白球，或是恰好三个黑球，为互斥事件，所以概率是．
考点：1．互斥事件和的概率；2．古典概型．
11．（天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：甲不输概率为选A.
【考点】概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法公式.对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
12．（湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.
详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选C.
点睛：本题主要考查互斥事件和对立事件的联系和区别，考查充分条件和必要条件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定对立，甲乙对立，则甲乙一定互斥.
13．（安徽·高考真题）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意．
故选B．
14．（陕西·高考真题）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：5点中任选2点的选法有，距离不小于该正方形边长的选法有
考点：古典概型概率
15．（重庆·高考真题）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，从而求出其概率.
【详解】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，
则所取4个球的最大号码是6的概率为，
故选：B．
16．（江西·高考真题）将1，2，...，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．
【详解】解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有
，2，，，5，，，8，；
，2，，，6，，，7，；
，3，，，4，，，8，；
，4，，，5，，，6，；
，5，，，3，，，7，，共5组．
所求概率为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接，属于中档题．
17．（江苏·高考真题）如图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将左端的六个接线点随机地平均分成三组可能出现的所有结果找出来，再根据五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，求出此种情况可能出现的结果，再运用古典概型的概率公式即可得出所求事件概率．
【详解】解：根据题意，设右端连线方式如图，
对于左端的六个接线点，将其随机地平均分成三组，共有种结果，
五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，则1必须和3、4、5、6中其中1个相接，接好后，2只有2种情况可选，剩下的接线点只有1种接法，所以共有种结果，
同理，右端连线方式变化时，左端的接线方法都有15种，其中有8种可以收到信号，
∴这五个接收器能同时接收到信号的概率是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查平均分组问题，属于中档题．
18．（湖北·高考真题）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C．
考点：相互独立事件概率的计算．
19．（江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案.
【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，
则，又，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.
20．（全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
21．（四川·高考真题）12.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则
A． B．（ C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，
a的取法有2种，b的取法有3种，故向量 a =（a，b）有6个，
从中任取两个向量共=15种结果，
满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，
根据等可能事件的概率得到P="5" /15 ="1" /3故选B
22．（全国·高考真题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．
【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式
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