湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学试卷
考试时间：2023年10月8日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题（共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法可求出集合，然后进行交集的运算即可．
【详解】因为，；
．
故选：．
【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，同时考查了一元二次不等式的求解，属于基础题．
2. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法、交集的定义求解即可.
【详解】，则，即，，解得，
故，
又，故.
故选：B
3. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的真子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据自恋数的定义,求出;用列举法表示出,求出交集后,由交集中元素个数,即可求出真子集个数.
【详解】解:依题意,,
故,故的真子集个数为7
故选:C.
【点睛】本题考查了集合的运算,考查了真子集的涵义.若集合中元素个数有 个,则其子集有 个,真子集有 个,非空子集有个,非空真子集有个.
4. 若，，则有（ ）．
A. B. C. D. 以上皆错
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的性质进行辨析即可.
【详解】∵，且，∴，
对于A，∵，，∴，故选项A正确；
对于B，∵，，∴，故选项B错误；
对于C，当，，时，，故选项C错误；
对于D，选项A正确，故选项D错误.
故选：A.
5. 已知命题，，命题，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式结合命题成立可求出实数的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，的最小值为，
若命题，为真命题，则，
因为“”“”，但“”“”，
所以，是的必要不充分条件，
故选：B.
6. 下列各式中，最小值为2的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于四个选项利用基本不等式（一正二定三相等）等号成立条件进行检验和简单复合函数及对勾函数的单调性分别求出其最值,逐一排除即可.
【详解】对于选项A：因为,
所以，
当且仅当,即时，取得等号.
故选项A排除;
对于选项B：因为 ,
函数在上为增函数,
所以函数在上有最小值为,
即,故选项B排除;
对于选项C:令,则,
因为在上为增函数,
所以函数在上有最小值为,
故选项C排除;
对于选项D:令,则,
所以=,
当且仅当,即时,有最小值2,
故选:D
【点睛】本题考查对勾函数的单调性问题和基本不等式的应用;基本不等式等号成立条件的检验是求解本题的关键,亦是本题易错点;属于中档题.
7. 已知实数，，满足，则的最小值是
A. B. C. -1D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意利用与的基本不等式,再转换为含的二次不等式求解即可.
【详解】若取最小值,显然异号且.故,
即,故,
当且仅当分别取时等号成立.
故选：B
【点睛】本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用,需要注意分析的正负再利用基本不等式,属于中等题型.
8. 若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数，恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案．
【详解】对任意实数，，不等式恒成立，
则对于任意实数，恒成立，
则只需求的最大值即可，，
设，则，
再设，则
，
当且仅当，即时取得“＝”．
所以，即实数a的最小值为．
故选：D．
二、多选题（共20分）
9. 下列四个命题中，是真命题的是（ ）．
A. ，且，
B. ，使得
C. 若，，
D. 当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，当时，不成立；
对B，当时，成立；
对C，将分式化整式，等价转化为证明命题即可；
对D，分离参数转化为求函数最值求解．
【详解】对选项A，当时，，不满足，故A错误；
对选项B，当时，成立，即，使得成立，故B正确；
对选项C，由，，等价于．
又，且，当且仅当时等号成立，
两式相乘得，结论得证，故C正确；
对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可．
因为，由得，
设，，由对勾函数的性质可知，
，单调递减；，单调递增．
因为，，故，则，故D错误．
故选：BC．
10. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.
11. 下列选项正确的有（ ）
A. 已知全集，，，则实数p值为3.
B. 若，则或
C. 已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是
D. 若，，且，则.
【答案】AD
【解析】
【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D作答.
【详解】对于A，全集，由，得，
则是方程的两实根，解得，A正确；
对于B，由，得，
因此，解得，则，B错误；
对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素；
当时，集合中最多只有一个元素，即一元二次方程最多一个实根，
于是，解得，所以实数a的范围是或，C错误；
对于D，因为，所以当时，，解得；
当时，，解得，
综上，，D正确.
故选：AD
12. 已知a，b为正实数，且，则（ ）．
A. 的最大值为8B. 的最小值为4
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对条件进行变形，利用不等式基本性质对选项一一分析即可．
【详解】A：因为，
当且仅当时取等号，解不等式得，
即，故的最大值为2，故A错误；
B：由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，故B正确；
C：，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
D：，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（共20分）
13. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以其否定“任意，”是真命题，
即在上恒成立，
当时，不等式化为恒成立，
当时，若在R上恒成立，
则，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：
14. 关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法进行求解即可.
【详解】,
当时，，
显然该不等式有无穷多个整数解，不符合题意，
当时，，或，
显然该不等式有无穷多个整数解，不符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，
要想三个整数解，只需，
当时，，此时无整数解，
综上所述：实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据的正负性、结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论是解题的关键.
15. 对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为
，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果.
16. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）
①；②；
③；④．
【答案】①③
【解析】
【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项．
【详解】由题意可知，，
由∽可知，即，
所以；
在中，，即，
当时，O，C点重合，，此时，所以①正确；
在中，∽可得，即，
所以，
由于，所以，
当时，，此时，所以③正确；
由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明．
故答案为：①③．
四、解答题（共70分）
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）根据题意得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，集合，可得或，
因为，所以.
【小问2详解】
解：若“”是“”的充分不必要条件，即，
当时，即时，此时，满足，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
即实数的取值范围为.
18. 已知，，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得证．
（2）将代入“”中，从而利用基本不等式即可得证．
【小问1详解】
由，所以．
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，由此得证．
【小问2详解】
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，由此得证．
19. 已知函数.
（1）若是不等式的解集的子集，求实数的取值范围；
（2）当时，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由不等式先求出的范围，再对分类讨论，利用集合间的关系求的取值范围；
（2）令，将问题转化为求的最小值，进而求实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，即，
，（*）
当时，（*）式显然成立；
当时，（*）式等价于，
是不等式的解集的子集，
，解得；
当时，（*）式等价于，
是不等式的解集的子集，
，解得.
综上，，
所以实数的取值范围为.
（2）当时，.
令，
.
存在实数，使得不等式成立，
，
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立的问题，属于中档题.
20. 已知对任意实数恒成立.
（1）求实数取值所构成的集合;
（2）在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过讨论实数是否为时，即可通过解不等式求出实数的取值所构成的集合；
（2）求出集合，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意，
对恒成立，
当时，原不等式变为，符合题意;
当时，对恒成立的充要条件为
解得：.
综上可知，实数的取值所构成的集合
【小问2详解】
由题意，
，
∴，
∵是的充分不必要条件，
∴解得：，
经检验知满足题意，
故实数的取值范围为：.
21. 小云家后院闲置的一块空地是扇形，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，，.

（1）在方案1中，设，，求，满足的关系式；
（2）试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积的最大值更大，并求出该最大值.
【答案】（1）（其中，）
（2）选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；
（2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；在连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.
【小问1详解】
连接，
，，，，
，在中，
，满足的关系式为（其中，）；
【小问2详解】

方案1：设游泳池的面积为，
由（1）得，当且仅当，即，时等号成立，
；
方案2：设游泳池的面积为，取的中点，
连接，，设，，在中，
所以，当且仅当时等号成立，
，
而，则，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.
22. （1）已知，求函数最小值，并求出最小值时x的值；
（2）若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
（3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值．
【答案】（1）当函数最小值为
（2），当且仅当且x，y同号时等号成立
（3）当时，M取得最小值．
【解析】
【分析】（1）直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
（2）利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
（3）利用换元法和关系式的恒等变换的应用求出结果．
【详解】（1）∵，∴，
，
当且仅当，∴时取“＝”．
所以当函数最小值为．
（2），
则
，
所以，当且仅当且x，y同号时等号成立，
此时x，y满足．
（3）令，，构造求出，，
因为，
所以，，，
所以，
取等号时，解得，，即，