【期中真题】江苏省常州高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

2022-2023学年江苏省常州高级中学高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题．本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．

1. 不论为何实数，直线恒过定点（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.

【详解】根据题意,将直线方程变形为

因为位任意实数,则,解得

所以直线过的定点坐标为

故选:C

【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.

2. 抛物线的焦点到准线的距离是（    ）.

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.

【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，

则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，

故选：B

3. 若直线与平行，则实数（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由两直线平行的条件求解．

【详解】由题意，．

故选：D．

4. 从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用勾股定理可求切线长.

【详解】

设切点为，圆心为，连接，则，

而，

故选：B .

5. 关于的方程有唯一解，则实数的范围是（    ）

A.  

B.  

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】将问题转化为函数与只有一个交点，然后利用数形结合处理．

【详解】因为方程有唯一解，

即有唯一解，

即与的图象有唯一交点，

又，即

表示圆心为，半径为1上半圆（包括和，

而是过定点的直线，

如图：

当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得：，解得

又，

由图象可知，当或或时，与的图象有唯一交点．

故选：D

6. 双曲线C：的渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆心到渐近线的距离变形可得离心率,即可求解.

【详解】双曲线C：的一条渐近线与圆相切，

则圆心到渐近线的距离，

所以曲线C的离心率，

故选：B

7. 椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设P点坐标，Q点与P点关于x轴对称，坐标可用P点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a与b的关系，即可求出离心率.

【详解】，设，则，

则，，

，

又，则，

所以，即，

所以椭圆的离心率，

故选：C.

8. 已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，

由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，

则有m＝10，n＝2c，

由椭圆的定义可得，

由双曲线的定义可得，

即有，

再由三角形的两边之和大于第三边，可得，

可得，即有，

由离心率公式可得，

因为，所以，，则，，

故，，则，即，

故的取值范围是.

故选：B．

二、多项选择题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中，正确的有（    ）

A. 点斜式可以表示任何直线

B. 直线在y轴上的截距为

C. 直线关于对称的直线方程是

D. 直线与之间的距离为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据直线的点斜式、斜截式、平行线间距离及轴对称可得结果.

【详解】点斜式，不表示直线，所以不正确；

直线在轴上的截距为；满足直线的截距式方程的含义，所以正确；

直线关于对称的直线方程是，所以不正确；

直线与之间的距离为，所以正确；

故选：．

10. 半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设所求圆的圆心坐标为(a，b)，根据与x轴相切，可得b值，根据两圆内切，圆心距等于半径差，列出方程，可得a值，即可得答案.

【详解】设所求圆的圆心坐标为(a，b)，

因为圆与x轴相切，所以b＝6=r，

因为两圆内切，

所以圆心距，解得，

故所求圆的方程为.

故选：D

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，则下列结论正确的是（    ）

A. 该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为

C. 若，则的面积为 D. 点到两渐近线的距离乘积为

【答案】BD

【解析】

【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，，该双曲线的离心率为，A错；

对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对；

对于C选项，若，则，

所以，，可得，

故，C错；

对于D选项，设点，则，

双曲线的两渐近线方程分别为、，

所以，点到两渐近线的距离乘积为，D对.

故选：BD.

12. 已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为(异于原点)，与椭圆的另一个交点为，则（    ）

A.

B. 面积的最大值为

C. 周长的最小值为12

D. 的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,设，则，设,利用点差法推出，判断A；利用基本不等式结合三角形面积公式，判断B；利用椭圆的定义以及几何性质判断C；利用基本不等式中“1”的巧用，结合基本不等式可判断D.

【详解】对于A,设，则，设 ,

由题意可知 ，

则 ，两式相减得，

即，即 ,

由 ,

则，即，故A正确；

对于B，由A的分析可知，不妨设点在第一象限，则，

所以，当且仅当时取等号，

故 ，故B正确；

对于C，由题意知左焦点为,设右焦点为，，

则根据椭圆的对称性可知,故周长为 ,

而的最小值为椭圆的短轴长 ，由题意可知不能与椭圆短轴重合，

故周长大于，C错误；

对于D，由C的分析可知， ，

故

,当且仅当时取等号，D正确，

故选：ABD

【点睛】本题综合考查了椭圆的定义的应用以及几何性质的应用，涉及到线段的垂直和三角形面积以及周长的最值得求法，解答时要注意综合利用椭圆的相关知识以及基本不等式的知识解决问题，属于较难题，计算量较大.

三、填空题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 _____．

【答案】（8,±8）

【解析】

【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．

【详解】设P（xP,yP），

∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝﹣2的距离，

抛物线y2＝8x，xp+2＝10，

∴xP＝8，yP＝±8，

故答案：（8,±8）．

14. 已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．

【答案】7

【解析】

【分析】

首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，

进而根据椭圆的定义即可求解.

【详解】由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，

设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.

所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，

故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.

故答案为：7

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.

15. 已知点，若圆上存在点满足3，则实数的取值范围是 _____．

【答案】

【解析】

【分析】由已知求出的轨迹为圆，再由圆与圆的位置关系列不等式求解实数的范围．

【详解】设，则

若3，则即

∴的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，

若圆上存在点满足3，

则圆和圆有公共点，

解得：

∴实数的取值范围是．

故答案为：．

16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，为坐标原点，则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据已知条件求出的长度，进而在和，分别求出和，从而建立等量关系求得，进而可以求出离心率.

【详解】解：因为，一条渐近线方程为，则，，

在中，，

又因为，在中，，

所以，即，因此，即，

所以.

故答案为：2.

  【点睛】关键点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键在于根据渐近线和余弦定理得出关于a，b，c的齐次式．

四、解答题．本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）已知直线l过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线l的方程；

（2）已知入射光线经过点，且被直线l：反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）结合直线的倾斜角与斜率关系可求直线的斜率，进而可求直线方程；（2）根据对称性先求出反射光线所在直线的斜率，进而可求直线方程.

【详解】因为直线3xy+3＝0的斜率为，则直线的倾斜角为，

故所求直线的倾斜角为，直线斜率为，

∴所求直线的方程为，即；

（2）设关于直线l：对称的点为，

则，解得，

因为反射光线经过点，

所以所在直线斜率为，反射光线所在直线方程为，即.

18. 已知圆，点A是圆C1上一动点，点，点C是线段AB的中点．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）直线l过点且与点C的轨迹交于 M，N两点，若，求直线l的方程．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用中点坐标公式得到，再由点在圆得到，代入即可得到点C的轨迹方程；

（2）分类讨论直线l的斜率存在与否，利用弦长公式检验或求得斜率，从而可得直线l的方程．

【小问1详解】

设点，

因为点C是线段AB的中点，

所以，即，

因为点在圆C1上运动，所以，

所以，即，

故点C的轨迹方程为．

【小问2详解】

当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为，

则，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，

则圆心到直线l的距离，

所以，解得，

所以直线l的方程为，

综上：直线l的方程为或．

19. 已知O为坐标原点，过点的圆M与直线相切，设圆心M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线交曲线C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，求线段AB的长．

【答案】（1）曲线的方程为；   

（2）线段AB的长为6.

【解析】

分析】（1）根据题意得到，化简得到答案.

（2）设直线方程为，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据垂直关系结合中点坐标公式得到，再计算弦长得到答案.

【小问1详解】

设点为曲线C上任意一点，因为圆M过点且与直线相切，

所以与点M到直线的距离相等，故，

整理得，所以曲线的方程为；

【小问2详解】

过点的斜率为0的直线与抛物线只有1个交点，不满足要求，

过点的斜率不存在的直线为，直线与抛物线的交点为，，此时线段AB的垂直平分线为，不满足要求，

所以直线斜率存在且不为，设直线方程为，，

由得，，

方程的判别式，

设，，则，

设线段中点，，，

因为线段AB的垂直平分线交x轴于点，所以直线与直线垂直，

故，.

，

所以线段AB的长为6.

20. 已知，，，且．

（1）求动点C的轨迹E；

（2）若点为直线l：上一动点，过点P引轨迹E的两条切线，切点分别为A、B，两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求面积的最小值．

【答案】（1）动点C的轨迹E是以（2，0）为圆心，1为半径的圆   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据已知条件求出动点C的轨迹方程即可判断其轨迹；

(2)设切线方程，根据已知条件求出k与t的关系，再求出|ST|的长度，表示出的面积即可求其最小值.

【小问1详解】

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴动点C的轨迹E是以(2，0)为圆心，1为半径的圆；

【小问2详解】

设切线方程为，即，PA，PB的斜率为，，

故圆心C到切线的距离，得，

∴，，

在切线方程中令可得，

故，

∴，当时，等号成立．

故面积的最小值．

21. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由题可得，，即求；

（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证.

【小问1详解】

由题意可知在双曲线C中，，，，

解得

所以双曲线C的方程为；

【小问2详解】

证法一：由题可知，

设直线，，，

由，得，

则，，

∴，，

；

当直线的斜率不存在时，，此时.

综上，为定值．

证法二：设直线PQ方程为，，，

联立得整理得，

由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，

则解得，

，，，

由双曲线方程可得，，，，

∵，∴，，

．

证法三：设直线PQ方程为，，，

联立得整理得，

由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，

则解得，

∴，，由双曲线方程可得，，

则，

所以，，

，

∴为定值．

22. 椭圆：，若椭圆：，则称椭圆与椭圆“相似”.

（1）求经过点，且与椭圆： “相似”的椭圆的方程；

（2）若，椭圆的离心率为，在椭圆上，过的直线交椭圆于两点，且.

①若的坐标为，且，求直线的方程；

②若直线，的斜率之积为，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）设出椭圆的方程，结合点求得椭圆的方程.

（2）①先求得的方程，利用在椭圆上求得直线的斜率，从而求得直线的方程. ②结合直线，的斜率之积、，由在椭圆上列方程，化简求得的值.

【小问1详解】

设椭圆的方程为，代入点得，

所以，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

因为椭圆的离心率为，

整理得，所以椭圆，

又椭圆与椭圆“相似”，且，所以椭圆，

设，

①方法一：由题意得，所以椭圆，将直线，

代入椭圆得，

解得，故，

所以，

又，即为中点，所以，

代入椭圆得，

即，即，所以，

所以直线的方程为.

方法二：由题意得，所以椭圆，，

设，，

，

则，

代入椭圆得，解得，故，

所以，

所以直线的方程为.

②方法一： 由题意得，

，即，

，则，解得，

所以，

则，

，

所以，即，所以.

方法二：不妨设点第一象限，设直线，

代入椭圆，

解得，则，

直线的斜率之积为，则直线，代入椭圆，

解得，则，

，则，解得，

所以，

则，

，

所以，

即，即，所以.

【点睛】在圆锥曲线有关的问题中，“点在曲线上”是一个很重要的已知条件，根据这个条件可以列方程，再结合题目另外的已知条件来对问题进行求解.向量共线的坐标表示，是建立点的坐标间关系的简捷途径.