【期中真题】海南华侨中学2022-2023学年高一上学期第一次段考（期中）数学试题.zip

海南华侨中学2022-2023学年第一学期高一第一次段考

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题    共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由集合的交并补运算即可求解.

【详解】，，，

故．

故选:D

2. 下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合的概念与包含关系，逐一判断即可.

【详解】对于①，是集合，也是集合，所以不能用这个符号，故①错误；

对于②，是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确；

对于③，由集合的无序性可知两集合是同一个集合，再由一个集合的本身是该集合的子集，故③正确；

对于④，表示直线，两者毫无关联，故④错误；

综上，正确写法的有2个.

故选：B.

3. 集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出集合，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；

【详解】解：∵，，

∴，则，，

选项A中阴影部分表示的集合为，即，故A错误；

选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即，故B正确；

选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即，有1个元素，故C错误；

选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成，即，故D错误．

故选：B．

4. 集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ）

A. 28 B. 23 C. 18 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】根据所给公式即可代入求解.

【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，参加径赛的学生组成集合B，则，由题意得，所以，，

所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有23．

故选：B

5. 设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件概念求解即可.

【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，

因为丙是乙充要条件，所以丙乙，即甲丙，

又因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，

所以甲丁，即丁是甲的必要不充分条件.

故选：B

6. 已知集合，，，若，，则必有（        ）

A.  B.

C.  D. 不属于集合A、B、C中任何一个

【答案】B

【解析】

【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得．

【详解】由题意设，，其中都是整数，

则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数，

∴，

故选：B．

7. 若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（        ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求原不等式解集，按m与3的大小分类讨论，使得m的取值满足题意即可.

【详解】原不等式等价于

有两根

当时，原不等式解集为，

其中最多只有2个正整数1和2，故不满足题意.

当时，原不等式解集为，

其中恰有3个正整数只能为4、5、6，

故.

故选：A.

8. 已知，，且，则最小值为（        ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】先分离常数得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】，结合可知：原式，

且

当且仅当，时等号成立．

即最小值为．

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法中正确的有（    ）

A. “”是“”成立的充分不必要条件

B. 命题：，均有，则的否定：，使得

C. 设是两个数集，则“”是“”的充要条件

D. 设是两个数集，若，则，

【答案】ACD

【解析】

【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.

【详解】解：对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，

所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；

对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；

对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出 ，

所以 “”是“”的充要条件，故C正确；

对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，

故选：ACD.

10. 实数a，b，c，d满足：，则下列不等式正确的是（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举反例说明．

【详解】因为，所以，A正确；

满足条件，但，B错；，C错；

，，则，

所以，所以，D正确 ．

故选：AD．

11. 已知，，且，则（    ）

A. 的取值范围是

B. 的取值范围是

C. 的最小值是3

D. 的最小值是

【答案】BD

【解析】

【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.

【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，

即，解得，即，A错误；

对于B, 由，,，当且仅当时取等号，

得，所以,

又，所以，B正确；

对于C, 由，，，得，

则 ，

当且仅当，即时等号成立,但，

所以．（等号取不到）,故C错误；

对于D，由C的分析知：，,,

，

当且仅当，即时等号成立，D正确，

故选：BD

12. 在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，1，2，3，则下列结论正确的为（        ）

A.

B.

C.

D. 整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先理解题干中的定义，将整数写成的形式，即可判断AB；根据所有整数被4除所得余数的情况，可判断C；对于D，先证明充分性，再证明必要性，即可判断D.

【详解】对于A，由得，故A正确；

对于B，由得，故B正确；

对于C，所有整数被4除所得的余数只有0，1，2，3四种情况，即刚好分成，，，共4类，故，故C错误．

对于D，若整数a，b属于同一“类”，则，，，，

故，所以；

反之，不妨设，，，，则，

若，则，即，

所以整数a，b属于同一“类”；

故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确．

故选：ABD

第Ⅱ卷（非选择题    共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13. 已知集合，，若，则实数a的值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意，可得方程的根，建立方程组，解得答案.

【详解】由题意，可知为方程的根，且为方程的根，

则，解得，

故答案为：.

14. 函数的定义域为___________（结果写成集合或区间形式）

【答案】

【解析】

【分析】求出使函数式有意义的自变量的取值范围.

【详解】由题意,解得且.

故答案为：.

15. 若，则的最小值为__________．

【答案】6

【解析】

【分析】化简，然后利用基本不等式求解即可

【详解】因为，

所以，

当且仅当即时，取等号，

故的最小值为6，

故答案为：6

16. 若命题“，使得不等式”为假命题，则实数a的取值范围为___________（结果写成集合或区间形式）．

【答案】

【解析】

【分析】其否定是全称命题且为真命题，由不等式的性质可得．

【详解】由题知：，恒成立．

当时，，满足题意；

当时，知，即，解得．

综上，实数a的取值范围为．

故答案为：

．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设集合，集合

（1）用列举法写出集合B

（2）定义：，求中元素的个数．

【答案】（1）    （2）10

【解析】

【分析】（1）由，解得x；

（2）先求出，，根据定义求出，继而得解.

【小问1详解】

由，所以x可以取，所以.

【小问2详解】

由题意可知：．

∴，

∵

∴．

∴中元素的个数为10．

18. 已知集合，．

（1）求，；

（2）若集合，且．求m的取值范围．

【答案】（1），   

（2）或

【解析】

【分析】（1）先解不等式，再由补集和交集的运算规则计算即可；

（2）按C集合是否为空集分类讨论并计算即可.

【小问1详解】

，

；

【小问2详解】

∵，

又，，

当时，，即，；

当时，由可得，

，或，

解得，

综上，m的取值范围为或．

19. 已知正实数x，y满足，

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】（1）由基本不等式、完全平方公式得解；

（2）根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的代换可求a的取值范围.

【小问1详解】

因为，有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为2；

【小问2详解】

若恒成立，则，

因为，

当且仅当即，时，取等号，

所以最小值为，即，

故实数a的取值范围是

20. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产每件该产品的平均成本为元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍，取2020年该产品的利润为y（利润＝收入－成本－促销费用）

（1）求 的值，将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1），   

（2）该厂家2020年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【解析】

【分析】根据已知当时，即可求得，表示出代入即可求得利润关于促销费用的函数.

利用基本不等式即可求得利润的最大值.

【小问1详解】

由题意知，当时，（万件），

则，解得，

∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润

【小问2详解】

∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

21. 已知关于x的不等式．

（1）当，求不等式的解集.

（2）若，试讨论不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）代入不等式，整理成二次项系数为正的不等式，因式分解以便确定相应方程的根，得不等式的解；

（2）根据分类讨论，在时还需要根据两根的大小分类讨论可得．

【小问1详解】

，不等式为，即，，

∴或，

∴不等式的解集为．

【小问2详解】

原不等式化，

时，不等式为，；

时，不等式化为，或，；

时，不等式化为，

当，即时，解得或；

当，即时，解得或；

当，即时，解得或．

综上所述，当时，不等式的解集或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

22. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．

（1）当时，写出集合A的生成集B；

（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）7    （3）不存，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.

（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；

（3）不存在，理由反证法说明.

【小问1详解】

，

【小问2详解】

设，不妨设，

因为，所以中元素个数大于等于7个，

又，，此时中元素个数等于7个，

所以生成集B中元素个数的最小值为7.

【小问3详解】

不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集

则必有，其4个正实数的乘积；

也有，其4个正实数的乘积，矛盾；

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集

【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.