【期中真题】安徽省合肥市第一六八中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题.zip

合肥一六八中学2022级高一第一学期学情调研

数学试题

一、选择题（共8小题）

1. 已知集合，，则子集的个数为（    ）．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】先求出B，再利用集合的子集个数为个，n为集合中元素的个数，可得结论．

【详解】解：集合，，

则集合中含有3个元素，

故集合的子集个数为．

故选：D．

2. 已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，

【详解】由题意可知恒成立．

①当时，恒成立；

②当时，，解得．

综上：．

故选：C

3. 设，，，则，，的大小关系是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由指数的性质比较，，的大小.

【详解】由，

所以.

故选：A

4. 设、是两个非空集合，定义与的差集为且，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分和两种情况，结合集合的基本运算，借助venn图，即可得出结果.

【详解】当，由于对任意都有，所以，

因此；

当时，作出Venn图如图所示，

则表示由在中但不在中的元素构成的集合，因而表示由在中但不在中的元素构成的集合，由于中的元素都不在中，所以中的元素都在中，所以中的元素都在中，反过来中的元素也符合的定义，因此.

故选：C.

【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型.

5. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意知函数是函数反函数，根据反函数的定义求出，再由复合函数的单调性即可求出的单调减区间．

【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数，

所以，即，

令，解得，

又是减函数，在上增，在上减，

由复合函数的单调性知，单调减区间为．

故选：C．

6. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y()与时间t(h)成正比()；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数，)，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5()以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前（    ）分钟进行消毒工作

A. 25 B. 30 C. 45 D. 60

【答案】C

【解析】

【分析】计算函数解析式，取计算得到答案.

【详解】∵函数图像过点，

∴，

当时，取，

解得小时分钟，

所以学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作.

故选：C.

7. 下列命题中，正确命题的个数为（    ）

①当时，的最小值是5；

②与表示同一函数；

③函数的定义域是，则函数的定义域是；

④已知，，且，则最小值为．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；

【详解】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；

对于②与表示同一函数，故②正确；

对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；

对于④已知，，且，所以，则

，当且仅当，即，时取等号，故④正确；

故选：B

8. 已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，做出函数图像，分析的实根情况，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论．

【详解】根据函数，做出其大致图像如下：

设，根据函数图像有：

当时，方程有2个实数根；

当时，方程有3个实数根；

当时，方程有2个实数根；

当时，方程有1个实数根；

当时，方程没有实数根；

当若的零点个数为4个时，

方程有两个不等实数根，

且满足，或，或；

令，，

①当时，

则，即，解得；

②当时，

则，即，无解；

③当，时，

则，即，解得，

综上：，

故选：A.

二、多选题（共4小题）

9. 设全集，集合，，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】BD

【解析】

【分析】先解分式不等式求出集合A，B，再根据集合的基本运算即可求解．

【详解】∵，

∵，

∴，

A，∵，∴A错误，

B，∵，∴B正确，

C，∵，∴C错误，

D，∵，∴D正确，

故选：BD．

10. （多选题）下列表达式的最小值为2的有（    ）

A. 当时，

B. 当时，

C.

D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式及二次函数性质判断．

【详解】解：①对选项A，当均为负值时，，故最小值不为2;

②对选项B，因为，所以同号，所以，

所以，当且仅，即时取等号，故最小值为2;

③对选项C，，当时，取最小值2;

④对选项D，，

当且仅当，即时，取等号，但等号显然不成立，

故最小值不为2.

故选：BC．

【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等需同时满足才能确定最值．

11. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a、b、c的范围.

【详解】由题设，，，，

所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：

由图及、对称性知：，且，

所以A、D正确，B、C错误.

故选：AD

12. 已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：

①；

②对任意实数，，都有；

③存在大于零的常数a，使得，且当时，．

下列说法正确的是（    ）

A.  B. 当时，

C. 函数f（x）g（x）在R上的最大值为2 D. 对任意的，都有

【答案】ACD

【解析】

【分析】A.利用赋值法，令和求解判断；B.令，得到，再由时，，得到求解判断； C.由求解判断；D.令求解判断.

【详解】令，可得，令，由，得，A正确；

令，得，当时，，

所以，所以

故，所以，B错误；

由，得，故C正确；

令，得，则，故D正确．

故选：ACD

三、填空题（共4小题）

13. 命题“，”的否定是_________．

【答案】，

【解析】

【分析】根据全称量词命题否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：因为命题“，”为全称量词命题，

所以该命题的否定为“，”．

故答案为：，

14. 已知函数，且，则值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由奇函数的性质求解，

【详解】，令，

∵，∴为奇函数，∴，

则，得.

故答案为：

15. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】先作出函数的图象，利用二次函数的对称性得到，由对数的运算以及函数图象可得，求解即可．

【详解】函数

作出函数图象如图所示，

因为互不相等的实数，，满足，

不妨设，

当时，，图象的对称轴为，所以，

当时，，令，解得，

由图象可知，

所以的取值范围是．

故答案为：．

16. 设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】

【分析】令，可得函数利是定义在上偶函数且在上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.

【详解】令，

由是定义在上的奇函数，

可得是定义在上的偶函数，

由对任意的，，，满足：，

可得在上单调递增，

由，可得，

所以在上单调递减，且，

不等式，即为，即，

可得或，即或

解得或.

故答案为：.

四、解答题（共5小题）

17. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．

(2)利用对数的运算性质求解．

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式.

18. 设全集为，集合.

（1）若，求；

（2）在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）解出或，集合，利用交集和补集的含义即可.

（2）首先得到，然后分和两种讨论即可.

【小问1详解】

解：因为全集为，且或，

当时，，所以或

∴或.

【小问2详解】

解：选择①②③，均可得.

当时，，解得；

当时，或，解得或，即.

综上所述，实数的取值范围是.

19. （1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）已知条件，条件，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）根据二次不等式的解集，等价转化为二次方程的解，利用韦达定理，解得参数，利用二次不等式的解法，可得答案；

（2）根据分式不等式以及二次不等式求解，根据必要不充分条件的集合表示，可得答案.

【详解】（1）因为不等式的解集为，

所以和2是方程的解，且，

由根与系数的关系知，解得，，

所以不等式可化为，

解得或，

所以该不等式的解集为．

解：由，，，，则，解得，

由，得，

当时，可得q：；

当时，可得q：；

当时，可得q：．

由题意得，p是q的一个必要不充分条件，

当时，满足条件；

当时，则，所以，解得，

所以；

当时，所以，解得，

所以，

综上，实数a的取值范围为．

20. 某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元.

【解析】

【分析】（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计算，代入不同区间的解析式，化简求得；

（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为万元.

【详解】（1）当时，；

当时，，

所以（）.

（2）当时，

此时，当时，取得最大值万元．

当时，

此时，当时，即时，取得最大值万元，,

所以年产量为件时，利润最大为万元．

考点：配方法求最值‚均值不等式

21. 已知函数（且）经过定点A，函数（且）的图象经过点A．

（1）求函数的定义域与值域；

（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）定义域是，值域是；   

（2）；

【解析】

【分析】（1）由指数函数性质求得定点的坐标，然后由求出，再由对数函数、指数函数性质得定义域、值域；

（2）求出的表达式，换元法转化为二次函数，由二次方程根的分布知识可得参数范围．

【小问1详解】

在函数中，令，得，，所以定点为，

由得，

，，

由得，即定义域是，

，又，所以函数值域是；

【小问2详解】

，

，，

，它是增函数，，则，

，

在上有两个零点，

，解得．

22. 已知函数，，其中．

（1）若在上的最大值为，求实数a的值；

（2）设函数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）．

【解析】

【分析】(1) ，在上单调递增，在上单调递减，结合在上的最大值为，分类讨论，可得满足条件的实数的值；

(2)分和两种情况，分别求出满足对对任意，总存在唯一的，使得成立的实数的取值，综合讨论结果，可得答案.

【小问1详解】

，

在上单调递增，在上单调递减；

①当时，当时，，解得：；

②当时，当时，，无解；

③当时，当时，，解得：；

综上所述，或．

【小问2详解】

①若，由，，

，，

故不可能成立．

②若，当时，，

故在上单调递减，

故；

  若2，由时，，

∴在上单调递增，从而，

要使成立，只需成立即可，

由于函数在上单调递增，且，

∴．

  若，由时，，

∴在上单调递增，在上单调递减；

从而，

要使成立，只需，且成立即可，

即成立即可，

由得：，，

故当时，恒成立．

综上所述：．

【点睛】存在与任意的问题总结：

1.，使得函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.

2. ，使得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.