2024年高考数学第一轮复习专题训练第一章 §1.5 一元二次方程、不等式
展开§1.5 一元二次方程、不等式
考试要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
知识梳理
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ=b2-4ac | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
二次函数的图象 | |||
方程的根 | 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) | 有两个相等的实数根x1=x2=- | 没有实数根 |
不等式的解集 |
| {x|x≠-} | R |
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔ ;
(2)≥0(≤0)⇔ .
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ,|x|<a(a>0)的解集为 .
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则a<0.( )
(3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且Δ<0.( )
(4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.( )
教材改编题
1.不等式<0的解集为( )
A.∅ B.(2,3)
C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(-∞,+∞)
2.已知2x2+kx-m<0的解集为(t,-1)(t<-1),则k+m的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.已知对任意x∈R,x2+(a-2)x+≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.
题型一 一元二次不等式的解法
命题点1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式|x|(1-2x)>0的解集是( )
A.
B.
C.(-∞,0)∪
D.(-∞,0)∪
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项中正确的是( )
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪
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命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知函数f(x)=ax2+(2-4a)x-8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为,求a的值;
(2)当a<0时,求关于x的不等式f(x)>0的解集.
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思维升华 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1 解关于x的不等式.
(1)>1;
(2)m>0时,mx2-mx-1<2x-3.
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题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x,不等式2kx2+kx-3<0恒成立,则实数k可以是( )
A.0 B.-24 C.-20 D.-2
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命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,则实数m的取值范围为________.
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命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
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思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练2 (1)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为∅,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a<-2或a≥2} B.{a|-2<a<2}
C.{a|-2<a≤2} D.{a|a<2}
(2)设a∈R,若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则( )
A.a≤2 B.a≥2
C.a≤ D.a≥
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