2023年江苏省泰州市兴化市中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省泰州市兴化市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为(    )

A.  B.  C.  D.

3.国家统计局网站公布我国年年末总人口约人，数据用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上，这样做应用的数学知识是(    )

A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边

6.如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.分式有意义，则应满足的条件是          ．

8.分解因式：          ．

9.已知点，在二次函数的图象上，则 ______ 填“”“”或“”．

10.如图，四边形内接于，为的直径，，则的度数为______

11.关于的方程的两个实根分别为，，则 ______ ．

12.已知二次函数，当时，函数的最大值为______ ．

13.如图，点，，都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径弧的长为______ ．

14.在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数的值为______ ．

15.如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接若的面积是，则的值是______ ．

16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将线段沿着某直线翻折后，、两点恰好都落在以为圆心，半径为的圆上，若点的对应点为，则的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算；
解方程：．

18.本小题分
问题：某校计划租用甲、乙两种客车送师生去研学基地开展综合实践活动，_____，求租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
条件：租用辆乙型客车比租用辆甲型客车贵元；
租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需元；
租用辆甲型客车和辆乙型客车共需元；
在上述三个条件中选择两个条件：______ 仅填写序号补充在上述问题的横线上，使得上述问题得以解决，请写出具体解答过程．

19.本小题分
综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长单位：，宽单位：的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

【实践探究】分析数据如下：

【问题解决】
上述表格中： ______ ， ______ ；
同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大”
同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍”
上面两位同学的说法中，合理的是______ 填序号；
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．

20.本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程要求必须选修一门且只能选修一门？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：
共有______ 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______ 度；
补全调查结果条形统计图；
小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“园艺”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

21.本小题分
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．
求证：；
已知平行四边形的面积为，，求的长．

22.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求与的值；
点是轴正半轴上一点，若，求的面积．

23.本小题分
如图，是的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.本小题分
祖冲之发明的水碓是一种舂米机具如图，在我国古代科学家宋应星的著作天工开物中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米图是碓杆与支柱的示意图，支柱高尺且垂直于水平地面，碓杆长尺，当点最低时，，此时点位于最高点；当点位于最高点时，，此时点位于最低点．
求点位于最低点时与地面的垂直距离；
求最低点与地面的垂直距离参考数据：，，

 

25.本小题分
【尝试与感悟】
如图，在等腰中，，的平分线交于点，过点作，角的两边分别交、于、，求证：．
【变式与拓展】
如图，在中，，，点在斜边上，过点作，角的两边分别交、于、，当时，是否平分？并说明理由．
【迁移与应用】
如图，在中，，，，点在边上，过点作，角的两边分别交、于、当且时，分别求与的长．

 

26.本小题分
已知二次函数均为正数图象的顶点为．
直接写出二次函数的图象与轴的交点坐标以及点的坐标用含、、的字母表示；
一次函数为常数且，若函数，且的图象与轴有且只有一个交点．
求函数的图象与轴的交点坐标，并探求、、之间的数量关系，说明理由；
将函数的图象向下平移个单位长度，交函数图象的对称轴于点，点是点关于顶点的对称点，过点作轴的平行线交平移后的直线于点，当点恰好在函数的图象上时，求此时的整数值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可，难度适中．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．
【解答】
解：设第三根木条长为，由三角形三边关系定理得，即，
即的取值范围是，观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的规则，进行书写即可．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的规则是解决问题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
先根据平行线的性质求得的度数，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得．

5.【答案】 

【解析】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，
故选：．
根据两点确定一条直线判断即可．
本题考查的是两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握直线的性质是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理、三角形中位线等知识点如图，连接，过点作于点，求得正方形的边长为，证得，最后在和中，，列出方程即可求解．
【解答】
解：如图，连接，过点作于点，

正方形的面积为，

正方形的边长为，

，

在中，，

平分，，，

，，
又，
，

，

，

，
．

设，则，

在和中，，

，解得，

，

．

点，分别为，的中点，

为的中位线，

．
故选D．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分母不等于，分式有意义是解题的关键．
利用分母不等于，分式有意义，列出不等式求解即可．
【解答】
解：分母不等于，分式有意义，
，
解得：，
故答案为：．

8.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．

9.【答案】 

【解析】解：函数的对称轴为，
由于开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
点，在二次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：为的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理得到，进而求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两个实根分别为，，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：二次函数，
对称轴是：，
，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
由图象可知：在内，时，有最大值，，
故答案为：．
先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
，，
的长为：，
故答案为：．
根据题意和图形，可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据弧长公式计算即可得到的长．
本题考查轨迹、勾股定理、旋转的性质以及弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长公式．

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
整数的值为，
故答案为：．
根据第二象限的点的横坐标小于，纵坐标大于列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．

15.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，，
的面积是，
点到的距离为，
在中，点到的距离为，
点到的距离为，
，
∽，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先由勾股定理求出的长，由面积法得点到的距离为，点到的距离为，从而得出，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，从而解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．

16.【答案】或 

【解析】解：作直线轴，使得将线段沿着某直线翻折后，、两点恰好都落在以为圆心，半径为的圆上，如图所示：

，，
，
点，均在圆上，圆的半径为，
，
，
，此时直线；
当直线位于如图所示位置时，过点作轴，过点作轴，连接，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，则，
，即，
设直线的解析式为，将点代入得：
，解得：，
设直线的解析式为，将点代入得：
，解得：，
对称点的连线互相平行，
，整理得：，
将代入得：，
将代入得：，
解得：或不符合题意，舍去，
当时，，
；
综上可得：的坐标为或，
故答案为：或
分两种情况分析：作直线轴，使得将线段沿着某直线翻折后，、两点恰好都落在以为圆心，当直线位于如图所示位置时，过点作轴，过点作轴，连接，，分别利用勾股定理解三角形及全等三角形的判定和性质，一次函数的性质求解即可．
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及一次函数的性质，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．

17.【答案】



；

，
两边同乘，去分母得：，
移项，合并同类项得：，
检验：将代入中可得，
则是分式方程的解，
故原分式方程的解为：． 

【解析】根据实数相关运算法则进行计算即可；
根据解分式方程的步骤解方程即可．
本题主要考查实数的混合运算及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．

18.【答案】答案不唯一 

【解析】解：选择两个条件：，理由如下：
设租用甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，
根据题意得：，
解得：，
即租用甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，
故答案为：答案不唯一．
设租用甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，根据租用辆乙型客车比租用辆甲型客车贵元；租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需元；列出二元一次方程组，解方程组即可．．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

19.【答案】     

【解析】解：把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；
，
芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
同学说法合理．
故答案为：；
，
这片树叶更可能是荔枝树叶．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判断即可；
根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．

20.【答案】   

【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”等三门校本课程分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
正方形，
，
，
；

解：正方形，
，
，
，
，
在中，

． 

【解析】根据正方形的性质可以得到，根据平行四边形的性质可以得到，然后即可得到结论成立；
根据平行四边形的面积，可以得到的长，从而可以求得的长，再利用勾股定理解答即可．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；

过点作轴，垂足为，则．
一次函数的图像与轴交于点，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
由得出，从而得出，然后利用求得即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．

23.【答案】解：证明：连结，如图所示：

是直径，
，
，
又，，
，
，
，且为半径，
是的切线；
连结，如图所示：

，
，
又为的中点，
，
为等边三角形，
，
又，
，
在中，，，
，
． 

【解析】连结，利用已知条件证明即可求证是的切线；
连结，根据，为的中点即可求出度数以及求证三角形为等边三角形，进而求出度数，再利用的值即可求出的长．
本题考查圆的有关概念及基本性质，涉及切线的判定与性质，圆周角定理等知识，能弄清题意，正确作出辅助线，熟练掌握其相关性质并能灵活运用是解题的关键．

24.【答案】解：如图，过点作于点，
，，
，，
在中，，，
，
，
即点位于最低点时与地面的垂直距离为尺；
如图，过点作于点，
在中，，，
，


，
尺，
即最低点与地面的垂直距离约为尺． 

【解析】构造直角三角形，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可；
过点作的垂线，构造直角三角形，求出的度数，利用锐角三角函数可求出，进而求出即可．
本题考查解直角三角形的意义，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．

25.【答案】解：过点作于点，作于点，
则，

，
，
是的平分线，
，
，
，
，
在和中，

≌，
；
平分．
理由如下：
过点作于点，作于点，
则，

，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，
，，
平分；
过点作于，于点，点作于，
则，

，
，
，
，
在和中，

≌，
，
，，
平分，
在中，
，，
，
，
，
在中，
，，
，
，
，
，
，
解得． 

【解析】过点作于点，作于点，利用证明≌即可；
过点作于点，作于点，利用证明≌，得到，再利用角平分线的性质定理的逆定理即可得到作出判断；
过点作于，于点，点作于，先判断出平分，利用面积法求出，利用面积法求出和的比，进而求出和的比，从而求出的长．
本题是一道三角形的综合题，考查全等三角形的判定好性质，角平分线的判定和性质，三角函数，勾股定理，面积法，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．

26.【答案】解：令，
解得：或，
即抛物线和轴交点的坐标为：、，
当时，；
即顶点的坐标为：；

由题意得：，
令，
则，
的图象与轴有且只有一个交点，
，
，
解得：；

根据题意可得：
的图象向下平移个单位长度的函数表达式：，
点坐标，
点，
由于，
点，
点坐标，
作轴的平行线交平移后的直线于点，
点坐标，
点在函数的图象上
，
由于代入化简得：，
解得：或，
的整数值为． 

【解析】令，解得：或，求出抛物线和轴的交点，再利用顶点坐标公式，即可求解；
由的图象与轴有且只有一个交点，得到，进而求解；
根据题意求出点坐标，得到点坐标，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了根和系数的判别式、二次函数的图象和性质、图形的平移等，题目数据计算较为复杂，难度适中．