2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在中，各边的长度都扩大倍，那么锐角的余弦值(    )

A. 扩大倍 B. 保持不变 C. 缩小倍 D. 扩大倍

2.已知在中，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.将二次函数化成的形式应为(    )

A.  B.
C.  D.

4.如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.在中，、都是锐角，且，则的形状是(    )

A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定

6.若二次函数的图象过，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在正方形网格中，点，，为网格交点，，垂足为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9.如图，在菱形中，于点，，，则菱形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.已知，二次函数图象如图所示，则下列结论正确的是(    )
；；；其中，为任意实数；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.计算： ______ ．

12.函数的顶点坐标是______ ．

13.在下列二次函数中：，，，图象开口最小的是______ 填序号．

14.已知是锐角，，则的值为______．

15.若函数是二次函数，则的值为______．

16.将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是______ ．

17.如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为______．

18.正方形中，点在直线上一点，且：：，连接，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
计算：
；
．

20.本小题分
已知是的二次函数，求出它的解析式．

21.本小题分
已知抛物线．
抛物线经过原点时，求的值．
顶点在轴上时，求的值；
顶点在轴上时，求的值；

22.本小题分
一个二次函数的图象经过，，三点．
求：这个二次函数的解析式．

23.本小题分
为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
求的度数；
已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

24.本小题分

济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度多少米？结果保留根号

25.本小题分
把二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象．
试确定、、的值；
指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．

26.本小题分
某海域有，两个港口，港口在港口北偏西方向上，距港口海里，有一艘船从港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于港口南偏东方向的处，
填空：______；______；
求该船与港口之间的距离即的长结果保留根号．

27.本小题分

如图抛物线与轴交于，两点．
求该抛物线的解析式；
设中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，各边的长度都扩大倍，
各角的大小不变，即大小不变．
一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
锐角的余弦值保持不变．
故选：．
根据题意可知大小不变，即得出锐角的余弦值保持不变．
本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：

在中，，，
，
设，则，，
，
故选：．
根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
运用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据正切的定义即可求解．
【解答】
解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，
，
，
解得，
，
，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
则，，
则，
故为钝角三角形．
故选：．
根据非负数的性质可得，，求出和的度数，继而可判断的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据非负数的性质得出和的值，根据特殊角的三角函数值得出和的度数．

6.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．
二次函数的图象过，，，
而三点离对称轴的距离按由远到近为：、、，
，
故选：．
二次函数抛物线开口向上，且对称轴为根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．

7.【答案】 

【解析】解：法一：如图，连接，

在中，，
，
，
即，
解得，
在中，，
．
法二：在中，，
，
，
，
，
．
故选：．
先利用等面积法求出，在中，再利用勾股定理求出，利用正弦的定义求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．

8.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
当抛物线对称轴在轴右侧时，，
，符号不同，
当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方，
当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方，
故选：．
由选项中图象可判断，符号不同，分类讨论求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．

9.【答案】 

【解析】解：，
．
在菱形中，于点，，
：：：，
，
则菱形的周长．
故选：．
根据菱形的性质和同角三角函数的关系，可知和菱形边长的关系，从而求出菱形的周长．
此题主要考查菱形的性质、解直角三角形等知识．找到和菱形边长的关系是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，即，正确．
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确．
时，，抛物线对称轴为直线，
时，，正确．
时取最大值，
，
，正确．
由图象可得时，，时，，
，
，正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由时及抛物线的对称性可判断，由时有取最大值可判断，由时及时可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．
将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】
解：原式

．
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的顶点坐标是．
故答案为．
根据顶点式函数解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．

13.【答案】 

【解析】解：在下列二次函数中：，，，图象开口最小的是，
故答案为：．
根据越大，开口越小，进行判断即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握越大，开口越小是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：是锐角，，
，
，
．
故答案为：．
利用特殊角的三角函数值得到，所以，然后利用的正弦值求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：由题意，
解得．
故答案为：．
根据二次函数的定义列出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，
抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，
平移后的函数关系式是：，
故答案为：．
首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律进而求出即可．
本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，如图，则，
在中，，
，，
，
∽，
，
，
，
而，
．
故答案为：．
作轴于，轴于，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明∽，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了相似三角形的判定与性质．

18.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在线段上时，

，
，
：：，
设，则，
，
，
当点在线段的延长线上时，
：：，
设，则，
，
，
综上所述：或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由正方形的性质和锐角三角函数可求解．
本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．

19.【答案】解：原式；
原式


． 

【解析】利用特殊锐角的三角函数值，算术平方根的定义，负整数指数幂进行计算即可；
利用零指数幂，特殊锐角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

20.【答案】解：根据二次函数的定义可得：，且，
解得，或；
当时，；
当时，；
综上所述，该二次函数的解析式为：或． 

【解析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
本题考查二次函数的定义．一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．

21.【答案】解：抛物线经过原点，
，
解得：；
抛物线顶点在轴上，
，
，
解得：或；
抛物线顶点在轴上，
，
解得：． 

【解析】抛物线经过原点，则，由此求解；
顶点在轴上，则，由此可以列出有关的方程求解即可；
顶点在轴上，则，由此求解．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解决此类题的关键．

22.【答案】解：设抛物线的解析式为，
根据题意得：，解得：，
所以抛物线的解析式为． 

【解析】设一般式，再把三个点的坐标代入得到关于、、的方程组，然后解方程组求出、、即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．

23.【答案】解：过点作于点．
由题意得，，，
．
由可知，
海里．
在中，
海里．
，
海监船继续向正东方向航行是安全的． 

【解析】在中，求出、的度数即可解决问题；
作于，求出的值即可判定．
本题考查的是解直角三角形的应用方位角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方位角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．

24.【答案】解：根据题意得：，，，
，
，
，
 

【解析】由题意易得：，，，即可证得是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．注意证得是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．

25.【答案】解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到点的坐标为，
所以原二次函数的解析式为，
所以，，；
二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 

【解析】利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出、、的值；
根据二次函数的性质求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．

26.【答案】解：；．
过点作于点，

由得，，，
，，
在中，海里，
，
解得，
海里，
在中，，
解得，
海里．
该船与港口之间的距离即的长为海里． 

【解析】解：如图，

由题意得，，，，
，
．
故答案为：；．
见答案．
根据方向角的定义，结合角的和差关系可得答案．
过点作于点，在中，，解得，则海里，在中，，解得，最后根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握方向角的定义以及锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

27.【答案】解：把，代入中得，，
解得：，
该抛物线的解析式为：；
存在，
连接交对称轴于，则此时，的周长最小，
在中，令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
点的坐标为． 

【解析】把，代入解方程组即可得到结论；
连接交对称轴于，则此时，的周长最小，设直线的解析式为，解方程组求得直线的解析式为，当时，求得，于是得到结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．