2023-2024学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.将一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.若二次函数的图象经过原点，则的值必为 
(    )

A. 或 B.  C.  D.

6.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

7.如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.已知一元二次方程的两根为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是(    )

A.
B.
C.
D.

10.抛物线上有两点、，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.一元二次方程根的判别式 ______ ．

12.在函数中，自变量的取值范围是______．

13.若二次函数经过，则的值为        ．

14.化简：______．

15.如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当为______时．四边形的面积最大．

16.如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.用适当的方法解方程．
．
．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

如图，要设计一本书的封面，封面长为，宽为，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周的宽度结果保留根号？

19.本小题分
一名男生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的函数关系是如图，，是该函数图象上的两点．
画出该函数的大致图象；
请判断铅球推出的距离能否达到，并说明理由．

20.本小题分
已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．

21.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．

22.本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点
和，与轴交于．
求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标．
观察图象，直接写出一元二次不等式：解集为：______
若抛物线的对称轴交轴于点，求四边形的面积．

 

23.本小题分

如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
若点是该抛物线上、两点之间的一点，求最大时，点的坐标．

24.本小题分
小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

观察探究：
写出该函数的一条性质：______；
方程的解为：______；
若方程有四个实数根，则的取值范围是______．
延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．

25.本小题分
问题背景：如图，和都是等腰直角三角形，点在上，连，求证：；
迁移运用：如图，在中，，，点在外，，，，求的长；
拓展提升：如图，在等腰中，，，点、在外，，，直接写出线段、、之间的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
二次项的系数和一次项系数分别是、，
故选：．
先化成一般形式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．

3.【答案】 

【解析】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为．
故选B．
直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：
．
故选：．
设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数、、为常数，图象上的点的坐标满足其解析式，同时考查了二次函数的定义．
先把原点坐标代入二次函数解析式得到的方程，解方程得到或，根据二次函数的定义可判断．
【解答】
解：把代入，
得，解得或，
因为，
所以，即．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】
解：、由作图可知，点在的垂直平分线上，
，故选项A正确；
B、由作图可知，平分，
，故选项B正确；
C、，，
，
，
，
，，
，故选项C正确；
D、由上，，，则，故选项D错误．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根为，，
，，
．
故选：．
根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出，是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：设每份盒饭涨价元，
则，
故选A．
设每份盒饭涨价元，利用每一份的利润售出的份数总利润，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．

10.【答案】 

【解析】解：、在抛物线上，
，，
，
，
，
故选：．
把、两点的坐标分别代入抛物线解析式可用分别表示出和，利用条件可得到的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故答案为：．
根的判别式，把相应值代入求值即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．

12.【答案】且 

【解析】解：由题意得：，
解得：且，
故答案为：且．
让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为列式求值即可．
考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为．

13.【答案】 

【解析】解：把代入，得，
即，
则，
故答案为：．
把代入，即可得出代数式的值，，代入即可得到结论．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据分式乘除法的计算方法进行计算即可．
本题考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的计算方法是正确计算的前提，将分子分母分别进行因式分解是正确解答的关键．

15.【答案】 

【解析】解：设，四边形面积为，则，
则：，
，
有最大值，
当时，四边形的面积最大，
即当时，四边形面积最大，
故答案为．
根据已知设四边形面积为，为，则，进而求出，再求出最值即可．
本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．

16.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：

由旋转不变性可得：，，
且，
是等腰直角三角形，
，
最大，只需最大，而在中，，
当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为，
此时，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到由旋转不变性可知：，，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．
本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

17.【答案】解：，
，
，
，．
，
，
，即，
，
． 

【解析】应用直接开方法解一元二次方程即可．
应用配方法解一元二次方程即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

18.【答案】解：设上下边衬的宽均为，则左右边衬均为．
一本书的封面长为，宽为，
中央矩形的长为，宽为，中央矩形的面积为．
由题意，得，
解得，不合题意舍去．
则，．
答：上下边衬的宽为，左右边衬的宽为． 

【解析】设上下边衬的宽均为，则左右边衬均为由题意：使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19.【答案】解：，
抛物线的顶点的坐标为，
对称轴为直线，
当时，，
点坐标为，
点关于对称轴的对称点也在抛物线上，
当时，，
解得，，
抛物线与轴正半轴的交点为，
故函数的大致图象如图所示，

不能，理由如下：
令时，，
即，
解得：，舍去，
，
铅球推出的距离不能达到． 

【解析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．
根据二次函数的解析式确定出顶点坐标，对称轴，与坐标轴的交点，在直角坐标系中描出这些点，从而画出二次函数的大致图象；
令，解关于的一元二次方程，求出方程的正数解，即可判断铅球推出的最大距离．

20.【答案】解：解不等式，得，
最小整数解为，
将代入方程，得，
配方，得．
直接开平方，得．
解得，． 

【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
先解不等式，得，所以最小整数解为，于是将代入方程得利用配方法解方程即可．

21.【答案】证明：，，，
．
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；

解：，即，
，．
，且该方程的两个实数根的差为，
，
． 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论；
利用因式分解法求出，由题意得出的方程，解方程则可得出答案．
本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用因式分解法求出方程的解．

22.【答案】解：抛物线与轴交于，
，
，
把、代入中，得
，
解得，
二次函数的解析式是，也即，
其顶点的坐标是；
或；
． 

【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式组，解题的关键是掌握解方程组，以及二次函数顶点的计算公式、三角形面积计算公式．
已知抛物线与轴交于，易知，再把、代入中，可得关于、的二元一次方程组，解即可求、，从而可得二次函数解析式；
在点以外的的取值都能使，即或；
观察可知，再根据三角形的面积公式可求其面积．
【解答】
解：见答案；
据图可知：解集为或；
见答案．

23.【答案】解：由题意得：，，
，，
．
，
解得，，
抛物线的解析式为；
，，
直线为，
过作轴垂线，交直线于点，连接、，

设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
最大时，点的坐标为 

【解析】由抛物线解析式确定出顶点坐标，根据确定出的值，即可确定出解析式；
过作轴，交直线于点，设，则，根据表示出的面积，根据二次函数的性质即可求得．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，表示出、的坐标是解本题的关键．

24.【答案】解：函数图象关于轴对称答案不唯一；
或或；
；
如图，将函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得到函数的图象，

有图可知：当时，自变量的取值范围是且． 

【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
根据图象即可求得；
根据“左加右减，上加下减”的图象平移规律，画出函数图象，根据图象即可得到结论．
【解答】
解：观察探究：
该函数的一条性质为：函数图象关于轴对称；
方程的解为：或或；
若方程有四个实数根，则的取值范围是．
故答案为：函数图象关于轴对称；或或；．
见答案．

25.【答案】证明：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
≌，
，
，
；
解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于，

将绕点逆时针旋转得到，
≌，，
，，，
，
，
，，
，
，
；
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，

，，
，
，
，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
≌，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，可得结论；
由旋转的性质可得，，，，由勾股定理可求解；
由旋转的性质可得，，，，可求，由“”可证≌，可得，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．