备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题29-圆锥曲线中垂直弦问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题29

圆锥曲线中垂直弦问题

【方法技巧与总结】

1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．

5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．

7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．

8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，

9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

【题型归纳目录】

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

题型七：内接直角三角形范围与最值问题

题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题

【典例例题】

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

例1．在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆的离心率为，在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于、两点（不同于点），且，为垂足，求三角形面积的最大值．

例2．已知长度为3的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，连接MN，试判断直线MN是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由.

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

例3．已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

例4．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.

(1)求E的方程；

(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.

题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例6．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.

(1)求点的轨迹方程；

(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例7．已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为时，抛物线在点处的切线斜率为.

(1)求抛物线的方程；

(2)设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点.

题型七：内接直角三角形范围与最值问题

例8．已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．

题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题

例9．已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，

（1）求抛物线方程；

（2）若，求的值；

（3）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于，，，四点，且，分别为线段，的中点，求的面积最小值．