2023-2024学年湖南师大附中高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南师大附中高一（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.一元二次不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知，则函数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.设，，则有(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

8.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列各组中，表示不同集合的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，

10.若，，且，则下列不等式恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.下列命题中是真命题的是(    )

A. “且”是“”的充要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”是“关于的不等式的解集为空集”的充要条件
D. 若，则

12.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、，、除数，则称是一个数域例如有理数集是一个数域；数集也是一个数域下列关于数域的命题中是真命题的为(    )

A. ，是任何数域中的元素
B. 若数集，都是数域，则是一个数域
C. 存在无穷多个数域
D. 若数集，都是数域，则有理数集

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.已知不等式的解集是，则不等式的解集是______ ．

14.已知集合，若集合至少有个子集，则实数的最小整数值为______ ．

15.已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：
；
(ⅱ)对任意的，任意的，都有；
(ⅲ)对任意的且，都有．
给出下列四个结论：
；
；
对任意的，，都有；
对任意的，，都有．
其中所有正确结论的序号是______ ．

四、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
设，，若，则实数 ______

17.本小题分
已知集合，；
若，求；
若，求实数的取值范围．

18.本小题分
已知，，．
求的最小值；
求证：．

19.本小题分
设集合，．
若，求的值；
设条件：，条件：，若是的充分条件，求的取值范围．

20.本小题分
关于实数的不等式．
若，求该不等式解集；
若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

21.本小题分
某健身器材厂研制了一种足浴气血养身机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双腿起保健作用根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为．
将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和表示为的函数；
求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值．

22.本小题分
符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
已知方程的解集为，方程的解集为，直接写出集合、；
在的条件下，设集合，是否存在实数使得且，若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由；
设函数，方程的两个实根为和，且满足若函数在时的函数值记为，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了交集的定义及运算，属于基础题．
进行交集的运算即可．

【解答】
解：，，
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，
命题的否定是：，．
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．
本题考查了全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题．

3.【答案】 

【解析】解：不等式化为：，
解得，
故选：．
不等式化为：，然后根据一元二次不等式的解法即可求解．
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以，
当且仅当即时取等号，
故选：．
由已知结合基本不等式即可直接求解．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题

5.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了比较两数大小的方法，属于基础题．
比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算的结果，判断结果的符号．

【解答】
解：
，
．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：因为，，
，，
所以，
因为，
，则为偶数，
所以，
所以，，均错误，B正确．
故选：．
把集合，变形，推导出，，由此能求出正确选项．
本题考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】 

【解析】解：若“，”为真命题，则在上恒成立，
若，则在上是减函数，最小值为，解得，
若，则，，故在上恒成立．
综上所述，“，”为真命题的充要条件是．
因此，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是的真子集，
观察各选项，可知只有符合题意．
故选：．
根据不等式恒成立，解出原命题为真命题的充要条件，再找出该条件对应集合的真子集，即可得到本题的答案．
本题主要考查了充分条件与必要条件的概念、不等式恒成立等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．

8.【答案】 

【解析】解：设甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量分别为，，，，
根据题意得：，
由得，代入可得；
得，
得，
由得，代入得，则，
结合可得，综上
这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为乙，丙，丁，甲．
故选：．
设甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量分别为，，，，根据题意得：，由此能求出这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列．
本题考查四名同学按阅读量从大到小的顺序排列的求法，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

9.【答案】 

【解析】解：选项A：集合的元素为，，集合的元素为，所以选项A正确，
选项B：集合的元素为点，集合的元素为点，故B正确，
选项C：根据集合以及函数的定义可得集合，为同一集合，故C错误，
选项D：集合的代表元素为，集合的代表元素为点，故D正确，
故选：．
根据集合元素的性质以及函数的定义对应各个选项判断即可．
本题考查了集合的含义，涉及到函数的定义以及集合的表示方法，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：，
，．
，，．
，A正确；
B.，B正确．
C.，C错误；
D.，，且，
，，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
利用基本不等式即可判断出正误．
本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：对于，当“且”成立时，可推出“”，
反之，若“”成立，不一定能得到“且”．
故“且”是“”的充分不必要条件，A错误；
对于，当“”成立时，可推出“”，
反之，若“”成立，不一定能得到“”．
故“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于，当时，若，则关于的不等式的解集为，充分性不成立．
反之，关于的不等式的解集为空集，则且，可推出．
故“”是“关于的不等式的解集为空集”的必要不充分条件，C错误；
对于，若，则，可得，故D正确．
故选：．
根据题意，利用充分必要条件的概念，结合不等式的基本性质加以计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查了充分条件与必要条件、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】解：对于，若，，由互异性，假设，
则，，故数域必含元素，，A正确，
对于，假设，，
则由数域的定义知数集，都是数域，但集合不是一个数域，故B错误；
对于，可以证明：任何一个形如是素数的集合都是数域．
而素数有无穷多个，并且不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，C正确；
对于，根据定义“若对任意、，都有、，、除数”，
可知，有理数集是范围最小的数域，因此若数集，都是数域，则有理数集，D正确．
故选：．
根据数域的定义，对各选项依次加以判断，可得本题的答案．
本题主要考查集合的基本概念、数域的定义与判断等知识，属于基础题．

13.【答案】 

【解析】解：因为不等式的解集是，
则，是方程的两根，则，
解得，，
则不等式可以化简为，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：．
由已知可得，是方程的两根，然后利用韦达定理建立方程求出，的值，再根据一元二次不等式的解法即可求解．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：已知集合，若集合至少有个子集，
则集合中至少有个元素，
则的最小值为．
故答案为：．
根据集合与元素的关系可解．
本题考查子集个数相关知识，属于基础题．

15.【答案】 

【解析】
本题考查元素与集合的关系，实际上涉及到有理数集对加减乘除运算的封闭性，难点是命题的推导，其关键点由已知推导出，然后由代数式运算得出．
利用条件(ⅰ)和(ⅱ)推理可得；
利用(ⅰ)，(ⅲ)得，再结合(ⅱ)可判断；
首先得出，然后由条件(ⅱ)可得结论；
由已知得出，得，推导得出，从而有，，，，再由条件(ⅱ)可判断．

解：，，即，正确；
，，，，错；
，，又，，所以，正确；
，由，，
由知，，，，，
由得，
当，时，，，，，
，正确，
综上，正确．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：，

而，
，为的两个根
解得
故答案为
根据全集和，容易求出集合，再根据已知集合的等式判断出的值
本题考查集合间的关系，着重考查补集的知识点，最后考查韦达定理，求参数．属于基础题

17.【答案】解：集合，；
当时，集合；



当时，满足题意，则，解得：．
当时，要使，则有，
解得：．
综上所述：实数的取值范围是 

【解析】分析：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
当，根据集合的基本运算即可求；
根据，建立条件关系即可求实数的取值范围，注意是的情况．

18.【答案】解：因，，则，解得，
当且仅当时取等号，
所以当时，的最小值是．
证明：因，，则，
当且仅当时取等号，即有，
于是得，
所以成立． 

【解析】利用均值不等式直接求解作答．
利用均值不等式求出的范围，再利用不等式的性质推理作答．
本题主要考查基本不等式求最值的方法，基本不等式证明不等式的方法等知识，属于基础题．

19.【答案】解：根据题意，
将代人，
所以；
是的充分条件，所以集合是集合的子集，
，，
当时，，即．
当时，当中只有个元素时，
当时，，解得，
当时，，无解，
当中只有个元素时，实数的取值范围是；
当中有个元素时，由知，，，
综上所述：实数的取值范围是． 

【解析】根据题意，将代人，求解得到值；
根据题意，是成立的充分条件，所以集合是集合的子集，得，当时，当时，当中只有个元素时，当时，，当时，，当中有个元素时，，，由此能求出实数的取值范围．．
本题考查充分必要条件的判断以及集合与集合间的关系，涉及不等式的解法，属于基础题．

20.【答案】解：时，原不等式即为：，
解得，
故当时，该不等式解集为；
当时，恒成立；
当时，不恒成立；
当时，由得；
综上：． 

【解析】本题考查不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，突出考查分类讨论思想及运算求解能力，属于基础题．
时，原不等式为：，解之即可；
依题意，对分、、三类讨论后取并，即可求得实数的取值范围．

21.【答案】解：，
把，代入上式可得：，
解得，
．
令，则，
，
令解得舍，或，
当时，，当时，，
当时，取得最小值． 

【解析】利用待定系数法计算，得出关于的函数；
令，得出关于的函数，利用导数判断函数单调性，求出函数最小值．
本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．

22.【答案】解：集合，．
不存在，理由如下：
，
当时，，
所以且，
当时，，
因为，
所以，
当时，，
因为，
所以，
所以不存在实数使得且．
证明：设，
所以，，
由得，
所以，
由得时，解集为，
又，
所以． 

【解析】集合，．
根据题意解得集合，，计算，，即可得出答案．
设，则，，由得，解得的取值范围，结合，即可得出答案．
本题考查集合的运算，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．