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北师大初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份北师大初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共27页。
北师大初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一 二 三章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：
①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S△ABG．
其中正确的个数为
( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P.若GO=GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是( )
A. 1+ 2
B. 2+ 2
C. 5- 2
D. 154
3.已知方程x2-2023x+1=0的两根分别为x1，x2，则x12-2023x2的值为．( )
A. 1 B. 2023 C. -1 D. -2023
4.x=-5± 52+4×3×12×3是下列哪个一元二次方程的根( )
A. 3x2+5x+1=0 B. 3x2-5x+1=0 C. 3x2-5x-1=0 D. 3x2+5x-1=0
5.若关于x的方程kx2+4x-1=0有实数根，则k的取值范围是
( )
A. k≥-4 且k≠0 B. k≥-4 C. k>-4且k≠0 D. k>-4
6.一项“过关游戏”规定：若闯第n关需将一颗质地均匀的骰子抛掷n次，如果闯第n关时所抛出的所有点数之和大于34n2，则算闯关成功；否则闯关失败．下列说法中正确的是
( )
A. 过第一关的概率是34 B. 过第三关的概率是1136
C. 过第二关的概率是1112 D. 过第六关是不可能的
7.在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为( )
A. 7 B. 3 C. 10 D. 6
8.小明抛掷两枚图钉，想知道针尖朝上的概率大概是多少，以下做法可行的是( )
A. 因为图钉是一样的，故只需抛掷一枚图钉计算朝上的概率即可
B. 同时向上抛掷10次，发现6次针尖朝上，则针尖朝上的概率是35
C. 同时向上抛掷2000次，多次计算针尖朝上的频率，再根据频率估计概率
D. 用树状图或表格求概率
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0a≠0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=2ax0+b2．
其中正确的有
( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B、C重合)，过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN.下列四个结论：
①S四边形ABCD=4S四边形ONBM；
②BM2+CM2=2ON2；
③△CON≌△DOM；
④若AB=2，则S△OMN的最小值是1．
其中正确结论是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
11.把一张宽为1cm的矩形纸片ABCD折叠成如图所示的图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD(单位：cm)为( )
A. 7+3 2 B. 7+4 2 C. 8+3 2 D. 8+4 2
12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，点C的坐标为(0,4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______．
14.已知方程x2-2x-5=0的两个根是m和n，则2m+4n-n2的值为______ ．
15.α，β为关于x的一元二次方程x2- 10x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+ 10β-3的值为______ ．
16.我们去游泳馆游泳，首先必须要换拖鞋，如果大桶里只剩下尺码相同的2双红色拖鞋和1双蓝色拖鞋混放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们恰好是一双的概率是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE//AC交BC的延长线于点E.求证：DE=12BE．
18.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA=OB=OC=OD= 22AB．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90∘，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2.当AB=2时，求AH的长．
19.(本小题8.0分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；
(3)该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
20.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S．
(1)是否存在某一时刻t，使DE//AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
(2)点D运动至何处时，S=18S△ABC？
21.(本小题8.0分)
小南、小铭和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯．
(1)用列表或画树状图求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
(2)小南和小铭比赛，规则是：若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小南胜，否则小铭胜.该游戏是否公平？若公平，说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．
22.(本小题8.0分)
三张硬纸片上分别写有一个代数式，分别是A=4x2+5x+6，B=-3x2-x-2，C=x2+4x．
(1)A-B+C的值为P.当x=2时，求P的值；
(2)将三张纸片背面向上，打乱顺序后，在背面分别标上①、②、③，摆成如图所示的一个式子，请用树状图或列表法求出能使运算结果为常数的概率．
23.(本小题8.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，连接DF.求证：AC=DF.(说明：此题的证明过程需要批注理由)
24.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD //BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
25.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．
(1)经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。
利用三角形全等的性质定理，细心证明三角形全等，然后得出全等三角形对应边相等；利用勾股定理求出RtΔBGE三边的关系。
【解答】
解：在ΔABE和ΔBCF中
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=FC
∴ΔABE≌ΔBCF(SAS)
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∵∠BAE+∠ABF+∠BGA=180°，
∴∠BGA=90°，
∴AE⊥BF，
综上所述，故①②正确；
设FD=x，
∴CF=2FD=2x，
∴AB=CD=3x，
∵BE=FC=2x，
∴在RtΔABE中，
AE2=AB2+BE2=(3x)2+(2x)2=13x2，
∴AE= 13x，
∵S△ABE=12AB×BE=12AE×BG，
∴BG=6 1313x，
又∵在Rt△BGE中，
GE2+BG2=BE2，
∴GE2=BE2-BG2=(2x)2-(6 1313x)2=1613x2，
∴GE=4 1313x，
∴BG=32GE，故③错误；
∵ΔABE≌ΔBCF，
∴SΔABE=SΔBCF，
∴SΔABE-SΔBGE=SΔBCF-SΔBGE，
∴S四边形CEGF=SΔABG，故④正确．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
证明△BPG≌△BCG(ASA)，得出PG=CG.设OG=PG=CG=x，则EG=2x，FG= 2x，由勾股定理得出BC2=(4+2 2)x2，则可得出答案．
【解答】
解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH=45°，∠FGH=90°，
∵OG=GP，
∴∠GOP=∠OPG=67.5°，
∴∠PBG=22.5°，
又∵∠DBC=45°，
∴∠GBC=22.5°，
∴∠PBG=∠GBC，
在△BPG和△BCG中，
∵∠BGP=∠BGC=90°BG=BG∠PBG=∠CBG,
∴△BPG≌△BCG(ASA)，
∴PG=CG．
设OG=PG=CG=x，
∵O为EG，BD的交点，
∴∠EOD=∠GOB，
又∵ED//BG，
∴∠EDO=∠GBO，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴ED=BG，BF=CG，
在△EOD和△GOB中，
∠EOD=∠GOB∠EDO=∠GBOED=GB,
∴△EOD≌△GOB(AAS)，
∴EO=OG=x，
∴EG=2x，FG= 2x，
∴BF=CG=GP=OG=x，
∴BG=x+ 2x，
∴BC2=BG2+CG2=x2( 2+1)2+x2=(4+2 2)x2，
∴S正方形ABCDS正方形EFGH=(4+2 2)x22x2=2+ 2．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：∵方程x2-2023x+1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2023，x12-2023x1+1=0，x22-2023x2+1=0，
∵x2≠0，
∴x2-2023+1x2=0，
∴-1x2=x2-2023，
∴-2023x2=2023x2-20232，
∴x12-2023x2=2023x1-1+2023x2-20232
=2023(x1+x2)-1-20232
=20232-1-20232
=-1．
由题意得出x1+x2=2023，x12-2023x1+1=0，x22-2023x2+1=0，将代数式变形后再代入求解即可．
本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．也考查了一元二次方程的解．
4.【答案】D
【解析】解：A.3x2+5x+1=0中，x=-5± 52-4×3×12×3，不合题意；
B.3x2-5x+1=0中，x=5± 52-4×3×12×3，不合题意；
C.3x2-5x-1=0中，x=5± 52+4×3×12×3，不合题意；
D.3x2+5x-1=0中，x=-5± 52+4×3×12×3，符合题意；
故选D．
用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0，方程无实数根)；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式和分类讨论的思想方法.分k=0和k≠0两种情况讨论，得出k的取值范围．
【解答】
解：当k=0时，方程4x-1=0的解为x=14；
当k≠0时，方程kx2+4x-1=0有实数根，
∴Δ=42-4k×-1≥0，
∴k≥-4，
∴k的取值范围是k≥-4．
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了概率公式的使用和可能性大小的判断，相互独立事件同时发生的概率，本题的数字运算比较麻烦，注意不要出错．根据概率公式，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】
解：A、第1关，抛掷1次出现的点数最小为1，而抛出的所有点数之和大于34n2就行，故一定过关，故此选项错误；
B、因为过第三关要求这3次抛掷所出现的点数之和大于34×32=274=634，
因为第三关出现点数之和为3，4，5，6的次数分别为1，3，6，9，
∴P(小于7的概率)=19108，
∴P(大于7的概率)=1-19108=89108.故此选项错误；
C、过第二关要求这2次抛掷所出现的点数之和大于34×22=3，
由于2次抛掷所出现的点数之和为小于等于3的概率为336，
所以过第二关的概率是1-336=1112；故此选项正确；
D、过第六关要求这6次抛掷所出现的点数之和大于34×62=27，
而抛6次出现的点数之和最小为6、最大为36，所以出现大于27是有可能的，故此选项错误．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得：4m=0.4，
解得：m=10．
故可以推算出m约为10．
故选：C．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
8.【答案】C
【解析】解：要研究两枚图钉针尖朝上的概率，只抛掷一枚与抛掷两枚结果是不同的，故A不符合题意；
抛掷10次就得到结论，实验次数太少，不具有普遍性，故B不符合题意；
向上抛掷2000次，多次计算针尖朝上的频率，再根据频率估计概率，由于实验次数较多，实验结果可以估计概率，故C符合题意；
由于是通过实验估计概率，因此不能画出具体的树状图或表格，故D不符合题意；
故选：C．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
9.【答案】C
【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△=b2-4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac>0
∴-4ac>0
则方程ax2+bx+c=0的判别式
△=b2-4ac>0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c(ac+b+1)=0
若c=0，等式仍然成立
但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
x0=-b+ b2-4ac2a或x0=-b- b2-4ac2a
∴2ax0+b= b2-4ac或2ax0+b=- b2-4ac
∴b2-4ac=(2ax0+b)2
故④正确．
故选：C．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=12AC，BO=12BD，AC=BD，
∴AO=BO，∠OAN=∠OBM=45°，∠AOB=90°，
∵CN⊥DM，
∴∠MCN+∠CMD=∠CMD+∠CDM=90°，
∴∠CDM=∠BCN，
∵CD=BC，∠DCM=∠CBN，
∴△CDM≌△BCN(ASA)，
∴CM=BN，
∴AN=BM，
∴△AON≌△BOM(SAS)，
∴S△AON=S△BOM，
∴S四边形ONBM=S△AOB=14S正方形ABCD，
∴S四边形ABCD=4S四边形ONBM；故①正确；
∵△AON≌△BOM，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△NOM是等腰直角三角形，
∴MN2=2ON2，
∵BN2+BM2=MN2，
∴CM2+BM2=2ON2，故②正确；
∵∠MON=∠COD=90°，
∴∠NOC=∠MOD，
∵OD=OC，ON=OM，
∴△CON≌△DOM(SAS)，故③正确；
∵AB=2，
∴S正方形ABCD=4，
∵△AON≌△BOM，
∴四边形BMON的面积=△AOB的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴△MNB的面积=12x(2-x)=-12x2+x=-12(x-1)2+12，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值12，
此时S△OMN的最小值是1-12=12，
故④不正确，
故选：A．
根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△AON≌△BOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题时注意偶次方的非负性求最值的运用．
11.【答案】D
【解析】解：如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=2 2，
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK=A'K=MH=1，KH=EM=2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH=MH=1，RM= 2，同法可证NW= 2，
由题意AR=RA'=A'W=WD=4，
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4+ 2+2 2+ 2+4=8+4 2，
故选：D．
如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J.想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
12.【答案】A
【解析】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°．
∵∠ABC=90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG=BE，OB=OF=OE=OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°．
在△ABE和△ADE中，
AE=AE∠BAC=∠DACAB=AD，
∴△ABE≌△ADE(SAS)．
∴BE=DE．
∴DE=FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE．
由①知：OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE．
∴∠OFB=∠ADE．
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AHD=90°．
∴∠OFB+∠AHD=90°．
即：∠FMH=90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB=∠ADE．
即：∠BFG=∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD=CD=4，∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2=4 2．
∴DE=12AC=2 2．
由①知：FG=DE，
∴FG的最小值为2 2，
∴④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
故选：A．
①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE=FG；由△AEB≌△AED可得DE=BE，所以DE=FG；
②由矩形EFBG可得OF=OB，则∠OBF=∠OFB；由∠OBF=∠ADE，则∠OFB=∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD=90°，即∠AHD+∠ADH=90°，所以∠AHD+∠OFH=90°，即∠FMH=90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG=∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2 2，由①知FG=DE，所以FG的最小值为2 2．
本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
13.【答案】(165,-125)
【解析】【分析】
此题考查了翻折变化(折叠问题)，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到一对角相等，对应边相等，再由矩形对边相等且平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，AE=DE，过D作DF垂直OA，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
【解答】
解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，0C=0D，BC=BD
∵矩形ABCO，
∴BC//OA，BC=OA=8，OC=AB=4，
∴∠CBO=∠BOA，OA=BD
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
∵OA=BD，
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2=(8-x)2
解得：x=3，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=12OD⋅DE=12OE⋅DF，
∴DF=125，OF= 42-(125)2=165，
则D(165,-125).
故答案为(165,-125).
14.【答案】-1．
【解析】【分析】
这是一道考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值的题目，解题关键在于得到m+n的值，整体代入即可求出答案．
【解答】
解：∵方程x2-2x-5=0的两个根是m和n，
∴m+n=-ba=2，n2-2n-5=0
∴n2-2n=5，
∴原式=2m+2n+2n-n2=2m+n-n2-2n=4-5=-1．
故答案为-1．
15.【答案】11
【解析】解：由根与系数的关系可知：
α+β= 10，α⋅β=2，
而2α2+β2+ 10β-3
=2α2+β2+(α+β)β-3
=2(α2+β2)+αβ-3
=2(α+β)2-3αβ-3
=2×10-3×2-3
=11．
故填空答案：11．
由根与系数的关系可知：α+β= 10，α⋅β=2，而2α2+β2+ 10β-3=2α2+β2+(α+β)β-3=2(α2+β2)+αβ-3=2(α+β)2-3αβ-3，然后把前面的值代入即可求出其值．
灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键，特别是α+β= 10这个式子的转换．
16.【答案】13
【解析】解：设两双红色拖鞋分别是a，A，a，A；1双蓝色拖鞋是c，C，
a
A
a
A
c
C
a
/
√
×
√
×
×
A
√
/
√
×
×
×
a
×
√
/
√
×
×
A
√
×
√
/
×
×
c
×
×
×
×
/
√
C
×
×
×
×
√
/
共有30种可能，它们恰好是一双的有10种，所以它们恰好是一双的概率是1030=13．
用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AD//BC，AC=AD，
∵AC//DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴DE=CE=AC=BC，
∴DE=12BE．
【解析】本题考查的是菱形的判定与性质有关知识，根据四边形ABCD是菱形得出∠ABC=60°，AD//BC，AC=AD证出四边形ACED是菱形即可解答．
18.【答案】解：(1)证明：∵OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形．
∵OA=OB=OC=OD= 22AB，
∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90∘，
即AC⊥BD．
∴四边形ABCD是正方形．
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠CBG=90∘，AB=AD=BC=2．
∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G=∠EFB=∠FBG=90∘．
∴四边形BGEF是矩形．
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90∘得到线段HE，
∴∠DHE=90∘，DH=HE．
又∵∠DAB=90∘，
∴∠ADH+∠AHD=∠AHD+∠EHG=90∘．
∴∠ADH=∠EHG．
又∵∠DAH=∠G=90∘，DH=HE，
∴△ADH≌△GHE．
∴AD=HG，AH=EG．
∵AB=AD，
∴AB=HG．
∴AH=BG．
∴BG=EG．
∴四边形BGEF是正方形.设AH=x，则BG=EG=x．
∵S1=S2，
∴x2=2(2-x)．
变形，得x2+2x=4．
方程两边加1，得x2+2x+1=4+1，
即(x+1)2=5．
开平方，得x+1=± 5，即x= 5-1
或x=- 5-1(舍去)．
∴AH= 5-1．
【解析】见答案
19.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，
由题意，得(40-x)(20+2x)=1200，
即：(x-10)(x-20)=0，
解，得x1=10，x2=20，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元；
(2)假设能达到，由题意，得(40-x)(20+2x)=1500，
整理，得2x2-60x+700=0，
△=602-2×4×700=3600-5600<0，
即：该方程无解，
所以，商场平均每天盈利不能达到1500元；
(3)设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元，
由题意，得y=(40-x)(20+2x)，
=800+80x-20x-2x2，
=-2(x2-30x+225)+450+800，
=-2(x-15)2+1250，
当x=15元时，该函数取得最大值为1250元，
所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元．
【解析】(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利(40-x)(20+2x)元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可．
(2)假设能达到，根据商场平均每天要盈利=1500元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．
(3)设商场平均每天盈利y元，由(1)可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为：y=(40-x)(20+2x)，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．
20.【答案】解：(1)存在，理由如下：
假设存在某一时刻t，使DE//AB，
∴CDCA=CECB，
∵AC=6，BC=8，CD=t，CE=8-2t，
∴t6=8-2t8，
∴t=125，符合题意(t最大为8÷2=4秒)，
∴存在某一时刻t=125秒，使DE//AB；
(2)设运动t秒时，S=18S△ABC，
根据图示可知，S=S△ACE-S△DCE=18S△ABC，
∵S△ABC=12AC⋅CB=12×6×8=24平方厘米，
S△ACE=12AC⋅CE=12×6×(8-2t)=(24-6t)平方厘米，
S△DCE=12CD⋅CE=12t(8-2t)=(4t-t2)平方厘米，
∴S=(24-6t)-(4t-t2)=24-6t-4t+t2=(t2-10t+24)平方厘米，
∴S=18S△ABC，
∴t2-10t+24=18×24，
解一元二次方程得：t1=7，t2=3，
∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4，
∴t=3秒符合题意，
∴此时CD=3(cm)，
∴CD=3cm时，S=18S△ABC．
【解析】(1)通过三角形内平行线分线段成比例，列式计算，再判断得到的t值是否符合题意，来判断即可；
(2)设运动时间为t时，△ADE的面积为S=S△ACE-S△DCE=18S△ABC，计算t的值，再判断值是否符合题意．
本题考查了一元二次方程的应用，动态几何问题，解题的关键是读懂题意，掌握运动的整个过程，利用一元二次方程解决问题．
21.【答案】解：(1)列表如下：
甲
乙
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，
则P(甲、乙在同一层楼梯)=416=14；
(2)由(1)列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P(小南胜)=P(同层或相邻楼层)=1016=58，P(小铭胜)=1-58=38，
∵58>38，∴游戏不公平，
修改规则：若甲、乙同住一层或相邻楼层，则小南得3分；否则，小铭得5分．
【解析】(1)列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；
(2)分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否，修改规则即可．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22.【答案】解：(1)∵A=4x2+5x+6，B=-3x2-x-2，C=x2+4x，
∴P=A-B+C，=(4x2+5x+6)-(-3x2-x-2)+(x2+4x)=4x2+5x+6+3x2+x+2+x2+4x=8x2+10x+8，
当x=2时，P=8×22+10×2+8=32+20+8=60；
(2)由(1)得A-B+C=8x2+10x+8，结果不是常数，同理C-B+A=8x2+10x+8，结果不是常数；
B-A+C=(-3x2-x-2)-(4x2+5x+6)+(x2+4x)
=-3x2-x-2-4x2-5x-6+x2+4x
=-6x2-2x-8，
∴B-A+C的结果不为常数，
同理C-A+B，结果不为常数；
A-C+B=(4x2+5x+6)-(x2+4x)+(-3x2-x-2)
=4x2+5x+6-x2-4x-3x2-x-2=4，
∴A-C+B的结果为常数，
同理可得B-C+A的结果为常数；
画树状图如下：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中运算结果为常数的有2种，
∴运算结果为常数的概率26=13．
【解析】(1)先根据整式的加减计算法则求出P，再代值计算即可；
(2)先根据整式的加减计算法则求出A-B+C，C-B+A，B-A+C，C-A+B的结果不为常数，A-C+B，B-C+A的结果为常数，再画出对应的树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算，树状图或列表法求解概率，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
23.【答案】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线(已知)，
∴AE=BE，∠EDB=90°(线段垂直平分线的性质)，
∴∠EAB=∠EBA=15°(等边对等角)，
∴∠AEC=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
Rt△EDB中，∵F是BE的中点(已知)，
∴DF=12BE(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，
Rt△ACE中，∵∠AEC=30°(已知)，
∴AC=12AE(直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半)，
∴AC=DF(等量代换)．
【解析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题．
24.【答案】(1)证明：∵E为AD的中点，
∴AD=2ED．∵AD=2BC，∴ED=BC．
∵AD//BC，∴四边形BCDE为平行四边形．
又∵在△ABD中，E为AD的中点，∠ABD=90∘，
∴BE=ED，∴▱BCDE为菱形．
(2)解：设AC与BE交于点H，如图．
∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB．
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，
∵∠BAC=∠ACB，∴BA=BC，
由(1)可知，BE=AE=BC，
∴AB=BE=AE，∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAC=30∘，AC⊥BE，∴AH=CH．
在Rt△ABH中，AH=AB⋅cos∠BAH= 32，
∴AC=2AH= 3．
【解析】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，30°直角三角形的性质．
(1)由DE=BC，DE//BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
(2)在Rt△ABH中，只要证明∠BAH=30°，AB=1即可解决问题．
25.【答案】解(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4cm2，
此时，AQ=x cm，QB=(5-x)cm.BP=2xcm，
由12QB⋅BP=4得12(5-x)⋅2x=4，
整理，得x2-5x+4=0
解得x1=l，x2=4(不合题意，舍去)
所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
(2)根据题意，得12(5-x)⋅2x=7，
整理，得x2-5x+7=0，
因为b2-4ac=25-28<0，
所以此方程无解，即△PBQ的面积不能等于7cm2．
【解析】(1)分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积为4列出方程求得时间即可；
(2)参照(1)的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
此题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
北师大初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一 二 三章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：
①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S△ABG．
其中正确的个数为
( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P.若GO=GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是( )
A. 1+ 2
B. 2+ 2
C. 5- 2
D. 154
3.已知方程x2-2023x+1=0的两根分别为x1，x2，则x12-2023x2的值为．( )
A. 1 B. 2023 C. -1 D. -2023
4.x=-5± 52+4×3×12×3是下列哪个一元二次方程的根( )
A. 3x2+5x+1=0 B. 3x2-5x+1=0 C. 3x2-5x-1=0 D. 3x2+5x-1=0
5.若关于x的方程kx2+4x-1=0有实数根，则k的取值范围是
( )
A. k≥-4 且k≠0 B. k≥-4 C. k>-4且k≠0 D. k>-4
6.一项“过关游戏”规定：若闯第n关需将一颗质地均匀的骰子抛掷n次，如果闯第n关时所抛出的所有点数之和大于34n2，则算闯关成功；否则闯关失败．下列说法中正确的是
( )
A. 过第一关的概率是34 B. 过第三关的概率是1136
C. 过第二关的概率是1112 D. 过第六关是不可能的
7.在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为( )
A. 7 B. 3 C. 10 D. 6
8.小明抛掷两枚图钉，想知道针尖朝上的概率大概是多少，以下做法可行的是( )
A. 因为图钉是一样的，故只需抛掷一枚图钉计算朝上的概率即可
B. 同时向上抛掷10次，发现6次针尖朝上，则针尖朝上的概率是35
C. 同时向上抛掷2000次，多次计算针尖朝上的频率，再根据频率估计概率
D. 用树状图或表格求概率
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0a≠0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=2ax0+b2．
其中正确的有
( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B、C重合)，过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN.下列四个结论：
①S四边形ABCD=4S四边形ONBM；
②BM2+CM2=2ON2；
③△CON≌△DOM；
④若AB=2，则S△OMN的最小值是1．
其中正确结论是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
11.把一张宽为1cm的矩形纸片ABCD折叠成如图所示的图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD(单位：cm)为( )
A. 7+3 2 B. 7+4 2 C. 8+3 2 D. 8+4 2
12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，点C的坐标为(0,4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______．
14.已知方程x2-2x-5=0的两个根是m和n，则2m+4n-n2的值为______ ．
15.α，β为关于x的一元二次方程x2- 10x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+ 10β-3的值为______ ．
16.我们去游泳馆游泳，首先必须要换拖鞋，如果大桶里只剩下尺码相同的2双红色拖鞋和1双蓝色拖鞋混放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们恰好是一双的概率是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE//AC交BC的延长线于点E.求证：DE=12BE．
18.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA=OB=OC=OD= 22AB．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90∘，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2.当AB=2时，求AH的长．
19.(本小题8.0分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；
(3)该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
20.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S．
(1)是否存在某一时刻t，使DE//AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
(2)点D运动至何处时，S=18S△ABC？
21.(本小题8.0分)
小南、小铭和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯．
(1)用列表或画树状图求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
(2)小南和小铭比赛，规则是：若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小南胜，否则小铭胜.该游戏是否公平？若公平，说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．
22.(本小题8.0分)
三张硬纸片上分别写有一个代数式，分别是A=4x2+5x+6，B=-3x2-x-2，C=x2+4x．
(1)A-B+C的值为P.当x=2时，求P的值；
(2)将三张纸片背面向上，打乱顺序后，在背面分别标上①、②、③，摆成如图所示的一个式子，请用树状图或列表法求出能使运算结果为常数的概率．
23.(本小题8.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，连接DF.求证：AC=DF.(说明：此题的证明过程需要批注理由)
24.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD //BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
25.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ．
(1)经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。
利用三角形全等的性质定理，细心证明三角形全等，然后得出全等三角形对应边相等；利用勾股定理求出RtΔBGE三边的关系。
【解答】
解：在ΔABE和ΔBCF中
AB=BC∠ABE=∠BCFBE=FC
∴ΔABE≌ΔBCF(SAS)
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∵∠BAE+∠ABF+∠BGA=180°，
∴∠BGA=90°，
∴AE⊥BF，
综上所述，故①②正确；
设FD=x，
∴CF=2FD=2x，
∴AB=CD=3x，
∵BE=FC=2x，
∴在RtΔABE中，
AE2=AB2+BE2=(3x)2+(2x)2=13x2，
∴AE= 13x，
∵S△ABE=12AB×BE=12AE×BG，
∴BG=6 1313x，
又∵在Rt△BGE中，
GE2+BG2=BE2，
∴GE2=BE2-BG2=(2x)2-(6 1313x)2=1613x2，
∴GE=4 1313x，
∴BG=32GE，故③错误；
∵ΔABE≌ΔBCF，
∴SΔABE=SΔBCF，
∴SΔABE-SΔBGE=SΔBCF-SΔBGE，
∴S四边形CEGF=SΔABG，故④正确．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
证明△BPG≌△BCG(ASA)，得出PG=CG.设OG=PG=CG=x，则EG=2x，FG= 2x，由勾股定理得出BC2=(4+2 2)x2，则可得出答案．
【解答】
解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH=45°，∠FGH=90°，
∵OG=GP，
∴∠GOP=∠OPG=67.5°，
∴∠PBG=22.5°，
又∵∠DBC=45°，
∴∠GBC=22.5°，
∴∠PBG=∠GBC，
在△BPG和△BCG中，
∵∠BGP=∠BGC=90°BG=BG∠PBG=∠CBG,
∴△BPG≌△BCG(ASA)，
∴PG=CG．
设OG=PG=CG=x，
∵O为EG，BD的交点，
∴∠EOD=∠GOB，
又∵ED//BG，
∴∠EDO=∠GBO，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴ED=BG，BF=CG，
在△EOD和△GOB中，
∠EOD=∠GOB∠EDO=∠GBOED=GB,
∴△EOD≌△GOB(AAS)，
∴EO=OG=x，
∴EG=2x，FG= 2x，
∴BF=CG=GP=OG=x，
∴BG=x+ 2x，
∴BC2=BG2+CG2=x2( 2+1)2+x2=(4+2 2)x2，
∴S正方形ABCDS正方形EFGH=(4+2 2)x22x2=2+ 2．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：∵方程x2-2023x+1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2023，x12-2023x1+1=0，x22-2023x2+1=0，
∵x2≠0，
∴x2-2023+1x2=0，
∴-1x2=x2-2023，
∴-2023x2=2023x2-20232，
∴x12-2023x2=2023x1-1+2023x2-20232
=2023(x1+x2)-1-20232
=20232-1-20232
=-1．
由题意得出x1+x2=2023，x12-2023x1+1=0，x22-2023x2+1=0，将代数式变形后再代入求解即可．
本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．也考查了一元二次方程的解．
4.【答案】D
【解析】解：A.3x2+5x+1=0中，x=-5± 52-4×3×12×3，不合题意；
B.3x2-5x+1=0中，x=5± 52-4×3×12×3，不合题意；
C.3x2-5x-1=0中，x=5± 52+4×3×12×3，不合题意；
D.3x2+5x-1=0中，x=-5± 52+4×3×12×3，符合题意；
故选D．
用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0，方程无实数根)；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式和分类讨论的思想方法.分k=0和k≠0两种情况讨论，得出k的取值范围．
【解答】
解：当k=0时，方程4x-1=0的解为x=14；
当k≠0时，方程kx2+4x-1=0有实数根，
∴Δ=42-4k×-1≥0，
∴k≥-4，
∴k的取值范围是k≥-4．
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了概率公式的使用和可能性大小的判断，相互独立事件同时发生的概率，本题的数字运算比较麻烦，注意不要出错．根据概率公式，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】
解：A、第1关，抛掷1次出现的点数最小为1，而抛出的所有点数之和大于34n2就行，故一定过关，故此选项错误；
B、因为过第三关要求这3次抛掷所出现的点数之和大于34×32=274=634，
因为第三关出现点数之和为3，4，5，6的次数分别为1，3，6，9，
∴P(小于7的概率)=19108，
∴P(大于7的概率)=1-19108=89108.故此选项错误；
C、过第二关要求这2次抛掷所出现的点数之和大于34×22=3，
由于2次抛掷所出现的点数之和为小于等于3的概率为336，
所以过第二关的概率是1-336=1112；故此选项正确；
D、过第六关要求这6次抛掷所出现的点数之和大于34×62=27，
而抛6次出现的点数之和最小为6、最大为36，所以出现大于27是有可能的，故此选项错误．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得：4m=0.4，
解得：m=10．
故可以推算出m约为10．
故选：C．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
8.【答案】C
【解析】解：要研究两枚图钉针尖朝上的概率，只抛掷一枚与抛掷两枚结果是不同的，故A不符合题意；
抛掷10次就得到结论，实验次数太少，不具有普遍性，故B不符合题意；
向上抛掷2000次，多次计算针尖朝上的频率，再根据频率估计概率，由于实验次数较多，实验结果可以估计概率，故C符合题意；
由于是通过实验估计概率，因此不能画出具体的树状图或表格，故D不符合题意；
故选：C．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
9.【答案】C
【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△=b2-4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac>0
∴-4ac>0
则方程ax2+bx+c=0的判别式
△=b2-4ac>0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c(ac+b+1)=0
若c=0，等式仍然成立
但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
x0=-b+ b2-4ac2a或x0=-b- b2-4ac2a
∴2ax0+b= b2-4ac或2ax0+b=- b2-4ac
∴b2-4ac=(2ax0+b)2
故④正确．
故选：C．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=12AC，BO=12BD，AC=BD，
∴AO=BO，∠OAN=∠OBM=45°，∠AOB=90°，
∵CN⊥DM，
∴∠MCN+∠CMD=∠CMD+∠CDM=90°，
∴∠CDM=∠BCN，
∵CD=BC，∠DCM=∠CBN，
∴△CDM≌△BCN(ASA)，
∴CM=BN，
∴AN=BM，
∴△AON≌△BOM(SAS)，
∴S△AON=S△BOM，
∴S四边形ONBM=S△AOB=14S正方形ABCD，
∴S四边形ABCD=4S四边形ONBM；故①正确；
∵△AON≌△BOM，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△NOM是等腰直角三角形，
∴MN2=2ON2，
∵BN2+BM2=MN2，
∴CM2+BM2=2ON2，故②正确；
∵∠MON=∠COD=90°，
∴∠NOC=∠MOD，
∵OD=OC，ON=OM，
∴△CON≌△DOM(SAS)，故③正确；
∵AB=2，
∴S正方形ABCD=4，
∵△AON≌△BOM，
∴四边形BMON的面积=△AOB的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴△MNB的面积=12x(2-x)=-12x2+x=-12(x-1)2+12，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值12，
此时S△OMN的最小值是1-12=12，
故④不正确，
故选：A．
根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△AON≌△BOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题时注意偶次方的非负性求最值的运用．
11.【答案】D
【解析】解：如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=2 2，
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK=A'K=MH=1，KH=EM=2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH=MH=1，RM= 2，同法可证NW= 2，
由题意AR=RA'=A'W=WD=4，
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4+ 2+2 2+ 2+4=8+4 2，
故选：D．
如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J.想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
12.【答案】A
【解析】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°．
∵∠ABC=90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG=BE，OB=OF=OE=OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°．
在△ABE和△ADE中，
AE=AE∠BAC=∠DACAB=AD，
∴△ABE≌△ADE(SAS)．
∴BE=DE．
∴DE=FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE．
由①知：OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE．
∴∠OFB=∠ADE．
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AHD=90°．
∴∠OFB+∠AHD=90°．
即：∠FMH=90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB=∠ADE．
即：∠BFG=∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD=CD=4，∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2=4 2．
∴DE=12AC=2 2．
由①知：FG=DE，
∴FG的最小值为2 2，
∴④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
故选：A．
①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE=FG；由△AEB≌△AED可得DE=BE，所以DE=FG；
②由矩形EFBG可得OF=OB，则∠OBF=∠OFB；由∠OBF=∠ADE，则∠OFB=∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD=90°，即∠AHD+∠ADH=90°，所以∠AHD+∠OFH=90°，即∠FMH=90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG=∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2 2，由①知FG=DE，所以FG的最小值为2 2．
本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
13.【答案】(165,-125)
【解析】【分析】
此题考查了翻折变化(折叠问题)，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到一对角相等，对应边相等，再由矩形对边相等且平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，AE=DE，过D作DF垂直OA，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
【解答】
解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，0C=0D，BC=BD
∵矩形ABCO，
∴BC//OA，BC=OA=8，OC=AB=4，
∴∠CBO=∠BOA，OA=BD
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
∵OA=BD，
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2=(8-x)2
解得：x=3，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=12OD⋅DE=12OE⋅DF，
∴DF=125，OF= 42-(125)2=165，
则D(165,-125).
故答案为(165,-125).
14.【答案】-1．
【解析】【分析】
这是一道考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值的题目，解题关键在于得到m+n的值，整体代入即可求出答案．
【解答】
解：∵方程x2-2x-5=0的两个根是m和n，
∴m+n=-ba=2，n2-2n-5=0
∴n2-2n=5，
∴原式=2m+2n+2n-n2=2m+n-n2-2n=4-5=-1．
故答案为-1．
15.【答案】11
【解析】解：由根与系数的关系可知：
α+β= 10，α⋅β=2，
而2α2+β2+ 10β-3
=2α2+β2+(α+β)β-3
=2(α2+β2)+αβ-3
=2(α+β)2-3αβ-3
=2×10-3×2-3
=11．
故填空答案：11．
由根与系数的关系可知：α+β= 10，α⋅β=2，而2α2+β2+ 10β-3=2α2+β2+(α+β)β-3=2(α2+β2)+αβ-3=2(α+β)2-3αβ-3，然后把前面的值代入即可求出其值．
灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键，特别是α+β= 10这个式子的转换．
16.【答案】13
【解析】解：设两双红色拖鞋分别是a，A，a，A；1双蓝色拖鞋是c，C，
a
A
a
A
c
C
a
/
√
×
√
×
×
A
√
/
√
×
×
×
a
×
√
/
√
×
×
A
√
×
√
/
×
×
c
×
×
×
×
/
√
C
×
×
×
×
√
/
共有30种可能，它们恰好是一双的有10种，所以它们恰好是一双的概率是1030=13．
用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AD//BC，AC=AD，
∵AC//DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴DE=CE=AC=BC，
∴DE=12BE．
【解析】本题考查的是菱形的判定与性质有关知识，根据四边形ABCD是菱形得出∠ABC=60°，AD//BC，AC=AD证出四边形ACED是菱形即可解答．
18.【答案】解：(1)证明：∵OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形．
∵OA=OB=OC=OD= 22AB，
∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90∘，
即AC⊥BD．
∴四边形ABCD是正方形．
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠CBG=90∘，AB=AD=BC=2．
∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G=∠EFB=∠FBG=90∘．
∴四边形BGEF是矩形．
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90∘得到线段HE，
∴∠DHE=90∘，DH=HE．
又∵∠DAB=90∘，
∴∠ADH+∠AHD=∠AHD+∠EHG=90∘．
∴∠ADH=∠EHG．
又∵∠DAH=∠G=90∘，DH=HE，
∴△ADH≌△GHE．
∴AD=HG，AH=EG．
∵AB=AD，
∴AB=HG．
∴AH=BG．
∴BG=EG．
∴四边形BGEF是正方形.设AH=x，则BG=EG=x．
∵S1=S2，
∴x2=2(2-x)．
变形，得x2+2x=4．
方程两边加1，得x2+2x+1=4+1，
即(x+1)2=5．
开平方，得x+1=± 5，即x= 5-1
或x=- 5-1(舍去)．
∴AH= 5-1．
【解析】见答案
19.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，
由题意，得(40-x)(20+2x)=1200，
即：(x-10)(x-20)=0，
解，得x1=10，x2=20，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元；
(2)假设能达到，由题意，得(40-x)(20+2x)=1500，
整理，得2x2-60x+700=0，
△=602-2×4×700=3600-5600<0，
即：该方程无解，
所以，商场平均每天盈利不能达到1500元；
(3)设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元，
由题意，得y=(40-x)(20+2x)，
=800+80x-20x-2x2，
=-2(x2-30x+225)+450+800，
=-2(x-15)2+1250，
当x=15元时，该函数取得最大值为1250元，
所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元．
【解析】(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利(40-x)(20+2x)元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可．
(2)假设能达到，根据商场平均每天要盈利=1500元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．
(3)设商场平均每天盈利y元，由(1)可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为：y=(40-x)(20+2x)，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．
20.【答案】解：(1)存在，理由如下：
假设存在某一时刻t，使DE//AB，
∴CDCA=CECB，
∵AC=6，BC=8，CD=t，CE=8-2t，
∴t6=8-2t8，
∴t=125，符合题意(t最大为8÷2=4秒)，
∴存在某一时刻t=125秒，使DE//AB；
(2)设运动t秒时，S=18S△ABC，
根据图示可知，S=S△ACE-S△DCE=18S△ABC，
∵S△ABC=12AC⋅CB=12×6×8=24平方厘米，
S△ACE=12AC⋅CE=12×6×(8-2t)=(24-6t)平方厘米，
S△DCE=12CD⋅CE=12t(8-2t)=(4t-t2)平方厘米，
∴S=(24-6t)-(4t-t2)=24-6t-4t+t2=(t2-10t+24)平方厘米，
∴S=18S△ABC，
∴t2-10t+24=18×24，
解一元二次方程得：t1=7，t2=3，
∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4，
∴t=3秒符合题意，
∴此时CD=3(cm)，
∴CD=3cm时，S=18S△ABC．
【解析】(1)通过三角形内平行线分线段成比例，列式计算，再判断得到的t值是否符合题意，来判断即可；
(2)设运动时间为t时，△ADE的面积为S=S△ACE-S△DCE=18S△ABC，计算t的值，再判断值是否符合题意．
本题考查了一元二次方程的应用，动态几何问题，解题的关键是读懂题意，掌握运动的整个过程，利用一元二次方程解决问题．
21.【答案】解：(1)列表如下：
甲
乙
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，
则P(甲、乙在同一层楼梯)=416=14；
(2)由(1)列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P(小南胜)=P(同层或相邻楼层)=1016=58，P(小铭胜)=1-58=38，
∵58>38，∴游戏不公平，
修改规则：若甲、乙同住一层或相邻楼层，则小南得3分；否则，小铭得5分．
【解析】(1)列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；
(2)分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否，修改规则即可．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22.【答案】解：(1)∵A=4x2+5x+6，B=-3x2-x-2，C=x2+4x，
∴P=A-B+C，=(4x2+5x+6)-(-3x2-x-2)+(x2+4x)=4x2+5x+6+3x2+x+2+x2+4x=8x2+10x+8，
当x=2时，P=8×22+10×2+8=32+20+8=60；
(2)由(1)得A-B+C=8x2+10x+8，结果不是常数，同理C-B+A=8x2+10x+8，结果不是常数；
B-A+C=(-3x2-x-2)-(4x2+5x+6)+(x2+4x)
=-3x2-x-2-4x2-5x-6+x2+4x
=-6x2-2x-8，
∴B-A+C的结果不为常数，
同理C-A+B，结果不为常数；
A-C+B=(4x2+5x+6)-(x2+4x)+(-3x2-x-2)
=4x2+5x+6-x2-4x-3x2-x-2=4，
∴A-C+B的结果为常数，
同理可得B-C+A的结果为常数；
画树状图如下：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中运算结果为常数的有2种，
∴运算结果为常数的概率26=13．
【解析】(1)先根据整式的加减计算法则求出P，再代值计算即可；
(2)先根据整式的加减计算法则求出A-B+C，C-B+A，B-A+C，C-A+B的结果不为常数，A-C+B，B-C+A的结果为常数，再画出对应的树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算，树状图或列表法求解概率，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
23.【答案】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线(已知)，
∴AE=BE，∠EDB=90°(线段垂直平分线的性质)，
∴∠EAB=∠EBA=15°(等边对等角)，
∴∠AEC=30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
Rt△EDB中，∵F是BE的中点(已知)，
∴DF=12BE(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，
Rt△ACE中，∵∠AEC=30°(已知)，
∴AC=12AE(直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半)，
∴AC=DF(等量代换)．
【解析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题．
24.【答案】(1)证明：∵E为AD的中点，
∴AD=2ED．∵AD=2BC，∴ED=BC．
∵AD//BC，∴四边形BCDE为平行四边形．
又∵在△ABD中，E为AD的中点，∠ABD=90∘，
∴BE=ED，∴▱BCDE为菱形．
(2)解：设AC与BE交于点H，如图．
∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB．
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，
∵∠BAC=∠ACB，∴BA=BC，
由(1)可知，BE=AE=BC，
∴AB=BE=AE，∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAC=30∘，AC⊥BE，∴AH=CH．
在Rt△ABH中，AH=AB⋅cos∠BAH= 32，
∴AC=2AH= 3．
【解析】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，30°直角三角形的性质．
(1)由DE=BC，DE//BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
(2)在Rt△ABH中，只要证明∠BAH=30°，AB=1即可解决问题．
25.【答案】解(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4cm2，
此时，AQ=x cm，QB=(5-x)cm.BP=2xcm，
由12QB⋅BP=4得12(5-x)⋅2x=4，
整理，得x2-5x+4=0
解得x1=l，x2=4(不合题意，舍去)
所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
(2)根据题意，得12(5-x)⋅2x=7，
整理，得x2-5x+7=0，
因为b2-4ac=25-28<0，
所以此方程无解，即△PBQ的面积不能等于7cm2．
【解析】(1)分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积为4列出方程求得时间即可；
(2)参照(1)的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
此题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
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