山东省枣庄市峄城区2023届九年级下学期中考二模数学试卷（含解析）

2023年山东省枣庄市峄城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法正确的个数是(    )
的相反数是；
的绝对值是；
的倒数是．

A.  B.  C.  D.

2.  年月日至日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京胜利召开十年来，我国人均预期寿命增长到岁，城镇新增就业年均万人以上，建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系其中万用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在边长为的菱形中，，动点在边上与点，均不重合，点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D. 的最小值为

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  盒子里装有除颜色外没有其他区别的个红球和个黑球，搅匀后从中取出个球，放回搅匀再取出第个球，则两次取出的球是红黑的概率为______．

13.  如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．

14.  如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、，连接，若，则______

15.  如图，在▱中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是          ．
 

16.  已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：其中正确结论的个数共有______ 个
；
；
；
其中；
若和均在该函数图象上，且，则．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
先化简，再求代数式：的值，其中．

18.  本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点成中心对称，与的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
在图中画出点的位置；
将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出；
在网格中画出格点，使平分，并说明理由．

19.  本小题分
某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行调查：
【收集数据】
七年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
八年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如表：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表格中，的值；
根据以上样本数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由；
若成绩在分以上含分为优秀，该校七、八年级共有人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

20.  本小题分
无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为米，从楼的处测得楼的处的仰角为点、、、、在同一平面内．
填空：______度，______度；
求楼的高度结果保留根号；
求此时无人机距离地面的高度．

21.  本小题分
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求反比例函数解析式；
当为何值时，；
若点是线段的中点，求的面积．

23.  本小题分
在中，，点在上，经过点的与，分别相交于点，，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

 

24.  本小题分
如图，抛物线经过点，点，交轴于点连接，为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．

求这条抛物线的表达式；
过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：的相反数是，正确，故符合题意；
的绝对值是，正确，故符合题意；
的倒数是，正确，故符合题意．
正确的个数是个．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，由此即可判断．
本题考查倒数，相反数，绝对值，关键是掌握倒数，相反数的定义，绝对值的意义．
 

2.【答案】 

解析：解：万，
故选D．
先将万转化为，再用科学记数法表示即可．
此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

解析：解：该几何体的主视图是：

故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

解析：解：如图，

，，
，
，

；
故选：．
根据平行线的性质可得，则有，然后根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

解析：解：，，
原式．
故选：．
根据图形得到，，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
 

6.【答案】 

解析：解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、算术平方根，解题的关键是掌握合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义．
 

7.【答案】 

解析：解：关于的方程有实数根，
，
解得，
故选：．
根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系．
 

8.【答案】 

解析：解：连接，如图，
，，
，
由作法得垂直平分，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以，所以，从而得到，然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

9.【答案】 

解析：解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
，
，
∽，
，
，
则，
．
故选：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

10.【答案】 

解析：解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
≌，
，，故A正确，不符合题意；
，，，
≌，
，
，
，故B正确，不符合题意；
，，
∽，
，
，
，
，故C正确，不符合题意；
以为底边，在的下方作等腰，

，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，故D错误，符合题意．
故选：．
根据菱形的性质，利用证明≌，可得，故A正确；利用菱形的轴对称知，≌，得，则，故B正确，利用∽，得，且，可得C正确，利用定角对定边可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，利用含角的直角三角形的性质可得的最小值，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角确定点的运动路径是解题的关键．
 

11.【答案】 

解析：解：原式
．
故答案为：．
将看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
本题考查了因式分解运用公式法，考查整体思想，掌握是解题的关键．
 

12.【答案】 

解析：解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次取出的球是红黑的结果有种，
两次取出的球是红黑的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两次取出的球是红黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

解析：解：四边形是矩形，
，
，
，
∽，
，，
：：，
：：，即：：，
．
故答案为：．
根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．
本题考查了相似三角形面积之比，综合性比较强，学生要灵活应用．
 

14.【答案】 

解析：解：连接，如图，

射线与相切于点，
，
．
，
，
．
故答案为：．
连接，利用切线的性质定理可求，利用直角三角形的两个锐角互余可得，利用圆周角定理即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，圆周角定理，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
 

15.【答案】 

解析：

解：过点作于点，

，，，
，
，
，
，


，
故答案为：．  

16.【答案】 

解析：解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
把代入，可得：
，
解得，
，故正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故错误；
抛物线与轴两个交点，
当时，方程有两个不相等的实数根，
，故正确；
，
，
，
又，，
，，
即其中，故正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故错误，
正确的有，共个，
故答案为：．
根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式


，
当时，
原式． 

解析：分别根据绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂的运算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及实数的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，连接，，交于点，
则点即为所求．
如图，即为所求．
如图，点即为所求．
连接，，
，
四边形是菱形，
平分， 

解析：连接，，交点即为对称中心，再建立平面直角坐标系即可．
根据平移的性质作图即可．
根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论．
本题考查作图平移变换、中心对称、熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：七年级的中位数，
八年级的众数；

八年级学生对“党史”掌握的比较好．理由如下：
因为七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但八年级学生的中位数大于七年级；

七年级抽取的学生成绩在分以上含分的人数为人，
八年级抽取的学生成绩在分以上含分的人数为人，
估计该校七，八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数为人． 

解析：根据中位数、众数的意义求解即可；
在平均成绩相等的前提下可比较中位数、众数即可解答；
利用样本估计总体即可求解．
本题考查统计表、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的计算方法是正确求解的前提．
 

20.【答案】解：，，
．
过点作于点．

则，
．
故答案为：；．
由题意可得米，米，
在中，，
，
解得，
米．
楼的高度为米．
过点作于点，交于点，

则，米，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则，
≌，
米，
米．
此时无人机距离地面的高度为米． 

解析：本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
由平角的性质可得；过点作于点则，根据三角形内角和定理可得．
由题意可得米，米，在中，，解得，结合可得出答案．
过点作于点，交于点，证明≌，可得米，再根据可得出答案．
 

21.【答案】解：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：甲种水果的进价为元，则乙种水果的进价为元；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元． 

解析：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：把代入，
得，
点在上，
，
反比例函数为；
由图象可知，当，时，；
连接，作轴于，轴于，

在直线上，
，
，



，
点是线段的中点，
． 

解析：先把代入，求得的值，再把点代入即可求得的值，得到反比例函数的解析式；
直接利用一次函数与反比例函数图象的交点坐标即可求解；
连接，作轴于，轴于，利用，再利用点是线段的中点，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式，解决问题的关键是求得交点坐标．
 

23.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
解：设的长为，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得，或舍去，
的长为． 

解析：本题考查了切线的判定，勾股定理，属于较难题．
根据题意，可得，即可得证；
设的长为，可得：，，利用勾股定理得：，即可得结论．
 

24.【答案】解：由题意得，
，
；
设直线的表达式为，
过点，，
，
，
直线的表达式为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
当时，有最大值；
存在
，，的坐标为，，
当∽时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
当∽时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
所以，点坐标为或 

解析：将，，代入，即可求解；
利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点和点的坐标，从而得出再根据解直角三角形求得，根据二次函数的最值即可得出答案；
分∽和∽两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点的坐标．
本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．