高考数学复习函数性质间的相互联系

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这是一份高考数学复习函数性质间的相互联系，共22页。试卷主要包含了函数的奇偶性，函数的周期性等内容，欢迎下载使用。

函数性质间的相互联系

（1）单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1 当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）是奇函数
关于原点对称
3.函数的周期性
（1）周期函数:对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x+T）=f（x），那么就称函数y=f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.
（2）最小正周期:如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f（x）的最小正周期.

名师解读《普通高中数学课程标准》（2020年修订版）
课标要求:理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性及周期性的含义.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模核心素养.
          单调性与奇偶性的综合问题
考点讲解：主要考察形式有（1）给出具体函数运用定义研究函数的奇偶性和单调性；
（2）利用函数的奇偶性与单调性比较大小；（3）利用函数的奇偶性与单调性解不等式.
【例1】（2020·全国·高考真题（理））
1．设函数，则f(x)（    ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【变1】
2．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【变2】（2020·海南高考真题）
3．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
（1）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性
（2）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x1）>f（x2）或f（x1）    函数的奇偶性、对称性与周期性
考点讲解: 主要考察形式有（1）给出函数奇偶性（对称性）推出周期性进行求值；
（2）由函数对称性推出周期性，综合运用函数性质解不等式.
【例1】（2021·全国·高考真题（理））
4．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）
A． B． C． D．
【变1】
5．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
【变2】（2022·黑龙江哈师大附中高三模拟）
6．已知函数是上的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（    ）
①函数的最小正周期为2
②函数在内单调递增
③函数相邻两个对称中心的距离为
④函数在区间内有个零点
A．1 B．2 C．3 D．4

函数的周期性、对称性及奇偶性是函数的重要性质，同时它们之间互相作用、密不可分.
（1）已知函数的对称性可得函数的周期性
①如果函数图象关于直线x=a和x=b（a≠b）对称，那么函数的周期T=2|a-b|.
②如果函数图象关于点（a，n）和直线x=b（a≠b）对称，那么函数的周期T=4|a-b|.
③如果函数图象关于点（a，n）和点（b，n）（a≠b）对称，那么函数的周期T=2|a-b|.
（2）已知函数的周期性和奇偶性可得函数的对称性
一般地，若函数y=f（x）是周期为T（T>0）且关于点（a，b）对称的函数，则 f（x+kT）=f（x）（k∈Z），f（x）+f（2a-x）=2b，可得f（x+kT）+f（2a-x）=2b，那么函数y=f（x）图象上所有的对称点为（k∈Z）;若函数y=f（x）是周期为T（T>0）且其图象关于直线x=a对称的函数，则f（x+kT）=f（x）（k∈Z），f（x）=f（2a-x），可得f（x+kT）=f（2a-x），那么函数y=f（x）图象上所有的对称轴为x=a+（k∈Z）.

1.【解读素养】数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表示．
2.【典例剖析】
（2022·全国·高考真题）
7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）
A． B． C． D．

（2023届北京市朝阳区高三期中）
8．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（    ）
A．若，则函数为奇函数 B．若，则函数有最小值
C．若，则函数为增函数 D．若，则函数存在零点
（2022·陕西·礼泉县高三期中）
9．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：．若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则（    ）
A． B． C． D．
（2022·河南濮阳模拟预测）
10．若函数满足：对任意非零实数，均有，则我们称函数为“倒数偶函数”．若是倒数偶函数，则的所有极值点的乘积为（    ）
A． B． C． D．
（2022·湖南师大附中高三模拟）
11．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

（2022·河北邯郸高三模拟）
12．已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
（2022·四川攀枝花高三模拟）
13．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则的值为（    ）．
A． B．0 C．1 D．2
14．设函数,则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
15．已知定义在上的奇函数，满足为偶函数，且在区间上单调递增，则（　　）
A．的周期为2
B．是函数的最小值
C．函数的图象的一个对称中心为
D．
（2021·全国·高考真题）
16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
（2022·辽宁大连24中高三月考）
17．设是偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有之和为
18．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则
（2020·全国·高考真题（理））
19．关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
（2022·宁夏平罗中学高三月考）
20．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_________．
（2019·江苏·高考真题）
21．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是_____.

参考答案：
1．D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
2．D
【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，则可将化为，根据对数函数的单调性解不等式，可得答案.
【详解】根据题意，，
则，故为偶函数；
且当时，为单调增函数，
故即，则，
所以或，解得或，
故实数的取值范围为，
故选：D
3．D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
4．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．

所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
5．C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
6．B
【分析】根据已知关系式通过赋值确定函数的周期，由此判断①；由周期性、奇偶性和函数在上的解析式可得图象，通过图象判断②③；将零点个数问题转化为与交点个数问题，通过数形结合判断④，由此确定正确命题的个数.
【详解】因为函数是上的奇函数，所以，，
当，，
所以，，
所以函数在和上都单调递增，
由取可得，
所以函数为周期函数，周期为2，
由以上条件可得大致图象如下图所示：

由图象可得最小正周期为，①正确；
函数在内不单调递增，②错误；
的对称中心为，则相邻的对称中心之间距离为，③错误；
在区间内的零点个数等价于与在内的交点个数，在平面直角坐标系中画出与大致图象如下图所示：

由图象可知：与在区间时的交点横坐标为1，在每个内都有个交点，且交点横坐标小于，故两个函数在内有个交点，即在区间内有个零点，④正确.
故选：B.
7．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．

8．D
【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：取，满足，此时，
其定义域为，关于原点对称，且，此时为偶函数，故A错误；
对B：，令，故若存在最小值，则有最小值，
因为，故，根据对勾函数的单调性可知，有最小值，无最大值，
故当时，有最大值没有最小值，故B错误；
对C：当时，满足，又是单调减函数，是单调减函数，
故是单调减函数，故C错误；
对D：令，即，则，因为，故，
解得，故当，即为函数零点，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.
9．B
【分析】由已知可求函数的周期及，然后结合函数的周期性和奇偶性进行转化可求．
【详解】解：由题意得，
，
即函数的周期，
，令得：
，
，
，
．
故选：B．
10．C
【分析】利用可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出函数的解析式，利用导数求出，根据极值点的定义可得结果.
【详解】因为，
由于，即，
整理可得
，
所以，，即，解得或，
当，或，时，

则，
由，可得，，
故方程有两个不等的实根、，不妨设，易知，
且当或时，；当或时，.
因此，函数的极值点之积为.
故选：C.
【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．
11．C
【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围；
【详解】解：由，
有，
解得，，
则，可化为，
有，
有恒成立，
可得恒成立，
又由，当且仅当，即时取等号，
又函数在上单调递减，所以，
所以，即.
故选：C．
12．C
【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
13．A
【分析】由题可知的周期为4，结合函数的解析式及性质即得.
【详解】∵定义在R上的奇函数满足，
∴的周期为4，
∴，，
∴.
故选：A,
14．A
【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．

15．CD
【分析】由函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，对选项逐一判断，
【详解】对于A，由为偶函数，则，
而为奇函数，，得，
即，故，的周期为，故A错误，
对于B，在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
不是最小值，故B错误，
对于C，为奇函数，周期为，故的图象的一个对称中心为，故C正确，
对于D，的周期为，故，
故选：CD
16．（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
17．

【分析】由偶函数的性质及单调性，结合已知有或，整理并化简，利用根与系数关系可求所有根之和.
【详解】是偶函数且当时是单调函数，
所以函数图象关于纵轴对称，要使，则或，
当时，，
当时，，
综上，，故满足的所有之和为-8.
故答案为：-8
18．
【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.
【详解】解：定义在R上的奇函数，所以，，
又，所以，8是函数的一个周期，
所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像:

有图像知，，所以，
故答案为：
【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.

19．②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．
【分析】令，进而结合题意得在R为单调递减函数，且，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】令，
当时，，则，
∴在上单调递减，
又∵是定义在上的偶函数，则，
∴是上的奇函数，则在上单调递减，
由题意可知：在上连续不断，则在上单调递减，且，
当，即时，
∵，则，即，
∴，解得；
当，即时，
∵，则，即，
∴，解得；
综上所述：故不等式的解集为.
故答案为：.
21．.
【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.

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