新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题11 抛物线中的切线问题（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题11 抛物线中的切线问题（含解析），共27页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

专题11 抛物线中的切线问题
一、考情分析
对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题
求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解.
【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C：,直线,都经过点．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线,分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：．
【解析】（1）设经过点的直线为：,由消去y,得,,当直线与抛物线相切时,,∵,∴,所以,解得,∴切点为,又∵两切点间的距离为4,∴,即,∴抛物线的标准方程为；
（2）设点,,,,设直线：,直线：,联立消去,得,则,同理,,故,,直线EH的方程为,令,得,整理得,同理,,所以,∴．
(二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题
求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线在点处的切线斜率为,切线方程为.
【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系中,已知抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,当在轴上时,.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点到直线距离的最大值.
【解析】（1）当在轴上时,即,由题意不妨设则,
设过点的切线方程为,与联立得,
由直线和抛物线相切可得,,所以
由得,∴,,
由可得,解得,
∴抛物线的方程为；
（2）,∴,
设,,则,又,所以
即,同理可得,
又为直线上的动点,设,
则,,
由两点确定一条直线可得的方程为,
即,∴直线恒过定点,
∴点到直线距离的最大值为.
(三) 抛物线中与切线有关的性质
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,
则(1)切线交点在准线上
(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴
(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直
(4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直
(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
反之：
(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦
(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．

【例3】已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,,是C的两条切线,A,B是切点．当轴时,．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：．
【解析】（1）由题意,,当轴时,将代入有,解得,又故,解得.
故抛物线C的方程为.
（2）由（1）,设,直线的方程为,联立抛物线方程有,故.
又抛物线方程,故,故切线的方程为,即,同理可得切线的方程为,联立可得,解得,代入有,代入韦达定理可得.
故当时有,当时,因为,故,也满足.故恒成立.又,故.
所以,,故,故,故,即,即得证.
【例4】已知直线过原点,且与圆交于,两点,,圆与直线相切,与直线垂直,记圆心的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过直线上任一点作的两条切线,切点分别为,,证明：
①直线过定点；
②．
【解析】（1）如图,设,
因为圆与直线相切,所以圆Ａ的半径为．
由圆的性质可得,即,化简得．
因为与不重合,所以,
所以的方程为．

（2）证明：①由题意可知,与不重合．
如图,设,,则,
因为,所以切线的斜率为,
故,整理得．
设,同理可得．
所以直线的方程为,
所以直线过定点．

②因为直线的方程为,
由消去得,
所以,．
又




,
所以．
三、跟踪检测
1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线的焦点为F,斜率为的直线l与E相切于点A.
(1)当,时,求E的方程；
(2)若直线与l平行,与E交于B,C两点,且,设点F到的距离为,到l的距离为,试问：是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.
【解析】（1）由得,则,
令,则,即,
则,所以,故抛物线E的方程为.
（2）设,,,
则切线l的斜率,
则切线l的方程为：,即,
.
直线的方程为,化简得,
因为,所以,
由得,
则,即,
即.
由,则,,
所以.
故是定值,定值为3.
2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,直线l：经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面积的最小值．
【解析】（1）由题意,设抛物线C的方程为,
因为直线经过,即抛物线C的焦点,
所以,解得,
所以抛物线C的方程为.
（2）设､,联立方程组,整理得,
因为,且,,,
所以,
由,可得,则,
所以抛物线经过点的切线方程是,
将代入上式整理得,
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为,
联立方程组,解得,所以,
所以到直线的距离,
所以的面积,
因为,所以,
即当时,,所以面积的最小值为.
3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为．

（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：直线轴；
（3）以线段为直径作圆,交直线于,求 的取值范围．
【解析】（1）设抛物线的方程为,
由题意可得,所以,所以抛物线方程.
（2）由（1）,因为,设,
直线的方程为,直线的方程为,
联立上述两直线方程,得点坐标,
又因为点为线段的中点,所以点坐标,
因为,所以直线轴：
（3）因为点,所以,则,圆心,
直线的斜率为,直线方程为,
,得,,,
圆心到直线的距离为,半径,
,令,
在时单调递减,．
4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．
（1）求实数的值；
（2）若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线、,且、的交点为Q,、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．
【解析】（1）因为点到其焦点F的距离为2,由抛物线的定义知
解得
（2）由上问可知,抛物线方程E：
设,,（,）,
设l：,联立,得,
判别式,故R
,
设：
联立方程组,消x得,
所以
所以
则：,即,令,得,
同理：,,
联立,得交点Q的横坐标为,
∴
∴面积的取值范围是．
5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到,距离之和为,抛物线E：的焦点是点.
（1）求曲线C和抛物线E的方程；
（2）点是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求的面积的取值范围．
【解析】（1）依题意,曲线C是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,则短半轴长有,
曲线C的方程为：,即,在中,,即,
所以曲线C的方程为：,抛物线E的方程为：.
（2）显然,过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：,
由消去x并整理得：,
依题意,,设二切线斜率为,则,,
设斜率为的切线所对切点,斜率为的切线所对切点,
因此,,,于是得,,,
直线MN上任意点,,由得：
,化简整理得：,
则直线MN的方程为：,点Q到直线MN的距离,

,
则的面积,
而点在曲线C上,即,,
在上单调递减,当时,,当时,,
于是有,则,有
所以的面积的取值范围是.
6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点的动圆始终与直线：相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）动点在直线上,过点作曲线的两条切线分别交轴于B,D两点,当的面积是时,求点坐标.
【解析】（1）设动圆圆心坐标为,
因为过定点的动圆始终与直线：相切,
可得,化简得,
即动圆圆心的轨迹方程：.
（2）设动点,根据题意过点A作曲线C的切线斜率存在,
设为,所以切线方程为,
联立方程组,整理得,且,
因为有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为,,
所以,,
切线交轴于点,
切线交轴于点,
所以,
即,解得,
所以点坐标为或.
7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点在圆上,,是的两条切线.,是切点,求面积的最大值.
【解析】（1）抛物线的焦点为,,
所以,与圆上点的距离的最小值为,解得；
所以抛物线的方程为.
（2）抛物线的方程为,即,对该函数求导得,
设点,,,
直线的方程为,即,即,
同理可知,直线的方程为,
由于点为这两条直线的公共点,则,
所以,点、的坐标满足方程,
所以,直线的方程为,
联立,可得,
由韦达定理可得,,
所以
点到直线的距离为,
所以,,
,
由已知可得,所以,当时,的面积取最大值.
8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线：的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点点之间,连接,过点作直线的平行线,证明是抛物线的切线.
【解析】（1）解：设过点的直线方程为,,
联立,得,
则,
所以,
,
因为,
所以,
化简得,所以,
当过点的直线斜率不存在时,则,
故,
又因为,
则,所以,
综上所述,,
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限,
则,
设直线PQ的方程为,,
联立,消元整理得,
则,即故,即,
当时,,则,
又因,且点介于点点之间,则为的中点,
所以,
则直线的斜率为,
因为直线平行直线,
所以直线的斜率为,
故直线的方程为,即,
联立,消元整理得,
,
所以直线l与抛物线只有一个交点,
有直线l斜率不为0,
所以是抛物线的切线.
9.已知抛物线,点在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为,经过点的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB,EQ的斜率分别为,,,是否存在常数使得．若存在,求出的值,若不存在,请说明理由．
【解析】（1）因为在抛物线C上,所以,所以
所以抛物线C的方程为,即,则,
所以切线的斜率为,
所以过点M的切线方程为,即
联立,解得P点的坐标为
（2）由题意可知过点的直线的斜率存在,设为,线段所在的直线为,
联立,解得Q点坐标为,
所以
设,,联立,得,
所以,．
则

所以,即存在满足条件．
10．如图,已知为二次函数的图像上异于顶点的两个点,曲线在点处的切线相交于点.

(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：成等差数列,成等比数列；
(3)设抛物线焦点为,过作垂直准线,垂足为,求证：.
【解析】（1）证明：令,直线：,曲线上任意一点,又,
则点到直线的距离,
则
,
即曲线上任意一点到点的距离与到直线：的距离相等,
且点不在直线：上,
所以曲线上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为,焦点坐标为,准线方程为；
（2）解：对于,则,所以,,
即过点、的切线方程分别为、,
又,,所以、,
由,解得,即,
即,,又,
所以、、成等差数列,、、成等比数列；
（3）解：由（2）可知,,,所以,

如图,设,,与轴分别交于点、、,
则,,,
又,,
所以,


,
即,
所以；
11．已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求重心G的轨迹方程．
【解析】（1）由抛物线的定义可得,∴抛物线的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在,设其为k,设,则直线的方程为；代入抛物线方程得,则有,
∵,∴,∴,即①
同理可得②,①-②有,得,∴．∴
又,设,则,
消k得,所以G的轨迹方程为．
12．已知抛物线的焦点为F,点为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q,且的面积为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M,证明：为定值．
【解析】（1）将代入得,
设抛物线的切线方程为,代入整理得：

由题知,解得
又,所以
所以,解得
所以抛物线的方程为

（2）记AB中点为N,
设直线AB方程为,代入整理得：
,
则
所以
因为N为AB中点,所以,
所以直线MN的方程为
则
所以
所以
13．（2022届新未来4月联考）已知直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线轴时,．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求的最小值．
【解析】（1）当直线轴时,,代入解得,∴,得,∴抛物线C的标准方程为；
（2）设．联立得．∴①,
∵直线恒过点,且与抛物线有两个交点,点在抛物线上,∴,
当直线和直线斜率存在时,设直线,联立∴,,
∴,∴,同理,设直线,则,联立∴
由①可知,∴,即,∴点D在直线上．
当直线或直线斜率不存在时,即直线l过原点时,,过原点的切线方程为,易知另外一点为,
过点的切线方程设为,联立,得,
,解得,即切线方程．此时交点D的坐标为,在直线上,
故的最小值为原点到直线的距离,即．
14．过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A,线段OA的中点为M,又点,．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：
①,②；③的面积为．
（1）______,求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0,设其方程为,
由得或即,
所以线段OA的中点．
因为,所以直线PM的斜率存在,．
所以,解得,
所以直线OA的方程为,．
若选①,不妨令,
由,得,解得（舍去）,
所以抛物线C的方程为．
若选②,因为,,
所以点P到直线OA的距离为,即,
解得（舍去）,所以抛物线C的方程为．
若选③,不妨令,
因为,
点P到直线OA的距离,
所以,解得（舍去）,
所以抛物线C的方程为．
（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．
设,切线BQ的方程为,
由得,（*）
所以,解得,
所以方程（*）的根为,
代入得,所以切点,
于是,则,
所以直线l的方程为,即,
所以当b变化时,直线l恒过定点．
15．已知抛物线,其焦点为F,抛物线上有相异两点,．

（1）若轴,且经过点A的抛物线的切线经过点,求抛物线方程；
（2）若,且,线段AB的中垂线交x轴于点C,求面积的最大值．
【解析】（1）抛物线,焦点坐标为,因为,所以,所以,又,所以,所以过A点的切线的斜率,所以切线方程为,令得,所以,所以
（2）若,则抛物线为,焦点为,准线方程为,因为,所以,所以,设直线的方程为,联立得,
所以,,
所以,即,
所以,解得,
当时,直线方程为,则,,所以的中垂线恰为轴,则,所以,
当,且时,
又的中点坐标为,所以的中垂线的方程为,令得,所以,所以到的距离,又,
所以
令,则,,因为,所以当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,所以
所以
所以
16．设抛物线：（）的焦点为,点（）在抛物线上,且满足．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于,两点,分别以,为切点的抛物线的两条切线交于点,求三角形周长的最小值．
【解析】（1）由抛物线定义,得,得,
∴抛物线的标准方程为；
（2）设,,直线的方程为,
∴联立,消掉,得,,
∴,,
设,处的切线斜率分别为,,则,,
∴在点的切线方程为,即①,
同理,在的切线方程为②,
由①②得：,代入①或②中可得：,
∴,即在定直线上,
设点关于直线的对称点为,则,由（1）知,
∵,即三点共线时等号成立,
∴三角形周长最小值为．
17．已知圆与定直线,且动圆与圆外切并与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点是直线上一个动点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为、.
①求证：直线过定点；
②求证：.
【解析】（1）依题意知：到的距离等于到直线的距离,
动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,
设抛物线方程为,则,则,即抛物线的方程为,
故：动圆圆心的轨迹的方程为：；
（2）①由得：,,
设、,,其中,
则切线的方程为,即,
同理,切线的方程为,
由,解得,,即,
、,
直线的方程为,化简得,
即,
故直线过定点；
②由①知：直线的斜率为,
（i）当直线的斜率不存在时,直线的方程为,,；
（ii）当直线的斜率存在时,、,
直线的斜率,,
,.
综上所述：得证.
18.设抛物线：,其焦点为 ,准线为,点为上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,且,.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点为外的一点且点不在坐标轴上,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,过点作轴的垂线,垂足为,连接 ,,证明：直线与直线关于轴对称.
【解析】（1）,为等边三角形,,
又,
设直线交轴于点,则在中,,的方程为
（2）设点,,,又的方程为可化为,
所以过点且与相切的直线的斜率为,过点且与相切的直线的斜率为,所以直线的方程为,直线的方程为.
又直线与均过点,,,
又,,,,
所以直线的方程为,
联立方程和得方程组
消去得,
,,,
,
又,
则直线的斜率；直线的斜率,,
,
,
所以直线与直线关于轴对称.