人教版初中数学九年级上册期中测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第二十一 二十二章 二十三章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.若是方程 的根，则的值为
(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.某蔬菜种植基地年的蔬菜产量为吨，年的蔬菜产量为吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为，则年平均增长率应满足的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5.抛物线的对称轴是直线(    )

A.  B.  C.  D.

6.抛物线与坐标轴的交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位下降时，水面的宽度为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是(    )

 

A.  B.  C.  D. 不能确定

9.如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是(    )

A. ，
B. ，
C.
D. ≌

10.如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

11.已知抛物线经过和两点，则的值为
   (    )

A.   B.   C.   D.  

12.如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面图中阴影部分面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为(    )
 

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如果一元二次方程经过配方后，得，那么______．

14.一名男生推铅球，铅球行进高度单位：米关于水平距离单位：米的函数解析式是，则该男生铅球推出的距离是          米．

15.如图，在平面直角坐标系内，边长为的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则的坐标为______ ．

 

16.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，当时，求的值．

18.本小题分
随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东基站的数量约万座，计划到年底，全省基站数是目前的倍，到年底，全省基站数量将达到万座．
计划到年底，全省基站的数量是多少万座？
按照计划，求年底到年底，全省基站数量的年平均增长率．

19.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．
求的值及、满足的关系式；
若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；
结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．

20.本小题分

已知抛物线与轴有两个不同的交点．

求的取值范围；

若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由．

21.本小题分

阅读理解：

某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：

自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应数值如下表：

其中______；

在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

根据函数图象，回答下列问题：

当时，则的取值范围为______．

直线经过点，若关于的方程有个互不相等的实数根，则的取值范围是______．

22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
平移，使得点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______；
将绕原点旋转得到，在图中画出；
、为轴上的两个动点，点在点的左侧，连接，若，点为轴上的一点，连接、，则的最小值为______．
 

23.本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得．
请判断的形状，并说明理由．
求的度数．
 

24.本小题分
如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．
试判定四边形的形状，并说明理由；
已知，，求的长．
 

25.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．


写出点，点的坐标
求
求出抛物线的对称轴
在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的定义，注意一定是一个正数．找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，系数不为的整式方程即可．
【解答】
解：、不是整式方程，不合题意；
B、含有个未知数，不合题意；
C、当时，不合题意；
D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，二次项系数不为的整式方程，符合题意．

2.【答案】 

【解析】【分析】直接将 代入方程，即可得出答案．

【详解】 是方程  的根，

  ，

 ，故答案为：．

3.【答案】 

【解析】【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
【解答】
解：
解得：或，
当等腰三角形的三边为，，时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为，，时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据该种植基地年及年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：
，
对称轴是直线．
故选：．
把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．
本题考查了二次函数的性质，把二次函数解析式配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再求解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，即，解得，则抛物线与轴的交点坐标为．
所以抛物线与坐标轴有个交点．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：以拱顶所在的直线为轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为轴，建立直角坐标系，

设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
抛物线解析式为，
水位下降时，
拱顶到水面的距离为
把代入得：，
则水面的宽度是米，
故选：．
根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
【解答】
解：

四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．

9.【答案】 

【解析】【分析】
直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
此题主要考查了中心对称的性质，正确把握相关性质是解题关键．
【解答】解：与是成中心对称的两个图形，
，，，，，
无法得到：≌．
故选：．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
连接，易证≌，利用全等三角形的性质可得出，进而可得出，选项A正确；由三角形内角和定理结合，可得出，选项B正确；由≌可得出，结合图形可得出，选项D正确．综上，此题得解．
【解答】
解：连接，如图所示，


为等腰直角三角形，点为的中点，
，，．
，，
．
在和中，，
≌，
，
，选项A正确；
，，，
，选项B正确；
≌，
，
，选项D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查二次函数图象上点的坐标，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴是即可求解，最后代入坐标求出．
【解答】
解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．

12.【答案】 

【解析】【分析】
设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据纸盒的底面图中阴影部分面积是，得出关于的一元二次方程，从而得到答案．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
纸盒的底面图中阴影部分面积是，
，
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：，即，
则．
故答案为：．
利用完全平方公式化简后，即可确定出的值．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
解之得，不合题意，舍去，
所以推铅球的水平距离是米，
故答案为：．
令，解一元二次方程即可．
本题考查了二次函数的应用，难度适中，关键是掌握利用二次函数的性质解决实际问题的能力．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是图形的规律，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，旋转的性质有关知识，过点作轴于点，根据等边三角形的性质可求出，的长度，进而可得出点的坐标，再由旋转的性质可得出四边形是平行四边形，结合点的坐标及的值，即可得出点的坐标；根据平移的性质可找出点，，的坐标，根据规律可得出点的坐标．
【解答】
解：边长为的等边的顶点与原点重合，
，．
如图，过点作轴于点，

，，
点的坐标为
将绕顶点顺时针旋转得到，
四边形是平行四边形，
，，
点的坐标为，即
将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
由规律可得：点的坐标为，即

16.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有且只有一个公共点，
当时，，，
解得，，
故答案为：．
根据抛物线与轴有且只有一个公共点，可以得到当时，，，从而可以得到的值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

17.【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，，

．

，

，

，，

又方程有两个实数根，

，即，

解得，

．

【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程根的判别式．
首先根据根与系数的关系，得出，，再代入，根据，得到关于的一元二次方程，解得的值，再根据根的判别式求出的取值范围，进而得到的值即可．

18.【答案】解：万座．
答：计划到年底，全省基站的数量是万座．
设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，舍去．
答：年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
年全省基站的数量目前广东基站的数量，即可求出结论；
设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为，根据年底及年底全省基站数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

19.【答案】解：抛物线经过点和．
，
，．
由可得：，对称轴为直线，
抛物线在、两点间从左到右上升，且，

所以，解得：，
，此时、两点间从左到右上升，
抛物线不能同时经过点、．
理由如下：
若抛物线同时经过点、．
则对称轴为：，
由抛物线经过点，可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，
故：抛物线不能同时经过点、． 

【解析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，灵活利用抛物线对称轴的公式是解题的关键．
直接将，两点代入解析式可求，以及之间的关系式．
根据抛物线的性质可知，当时，抛物线对称轴右边的随增大而增大，结合抛物线对称轴和，两点位置列出不等式即可求解．，
用反证法，先假设抛物线能同时经过点、得出抛物线对称轴是，由抛物线对称性质可知，经过点也必经过这样与已知在抛物线上矛盾，从而命题得到证明．

20.【答案】解：抛物线与轴有两个不同的交点，
，
；
抛物线的对称轴为直线，
和点都在对称轴的右侧，
当时，随的增大而增大，
． 

【解析】由二次函数与轴交点情况，可知；
求出抛物线对称轴为直线，由于和点都在对称轴的右侧，即可求解；
本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．

21.【答案】将代入函数得：

．

故答案为：

根据表格：

描点法作出函数的图象如下图所示：

根据函数图象可知：

当时，的取值范围是；

故答案为：；

由函数图象知：关于的方程有个互不相等的实数根，

的取值范围是．

故答案为：；．

【解析】【分析】
把代入函数解析式即可得的值；

描点、连线即可得到函数的图象；

根据画出的函数图象得到函数的图象关于轴对称；当时，根据函数图象可得到 ；根据函数的图象即可得到的取值范围是．

【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．

22.【答案】解：；
如图，即为所求；

． 

【解析】【分析】
本题考查作图旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
作出平移后的三角形，可得结论；
利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
取点，连接交轴于点，此时的值最小，利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：如图，观察图象可知，；
故答案为：；

见答案；
取点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值，
故答案为：．

23.【答案】解：是等腰三角形，理由如下：
将绕点逆时针旋转到的位置，
，
是等腰三角形；
，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转到的位置，
． 

【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得，可得结论；
由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可求解．

24.【答案】解：四边形是正方形，理由如下：
绕点逆时针方向旋转得到，
≌，，
，
，
在四边形中，，，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
设．
则由以及题意可知：，，，
在中，，
即，解得：，
，
，
又，
． 

【解析】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形基本性质以及旋转性质是解题的关键．
根据旋转角的概念以及旋转的性质，先判定四边形是矩形，再根据邻边相等可判断该四边形是正方形；
设，则，，利用勾股定理即可求出，进而可求出的长．

25.【答案】解：在中，令，得；
令，得，   
点，的坐标分别为，；
点，的坐标分别为，，   
，，
；
抛物线的对称轴为；
存在，以和为邻边可作平行四边形，易求得；
以和为邻边可作平行四边形，易求得． 

【解析】本题考查的是二次函数的图象及性质，三角形的面积有关知识．
根据题意令，得；令，得，即可解答；
先求出点，点的坐标，然后再利用三角形的面积进行计算即可；
根据函数解析式直接求出对称轴即可；
存在，然后分情况进行讨论即可．