中考数学专项训练（27）专题　模型　隐圆模型－－－－点圆、线圆最值含解析答案

中考数学专项训练（27）专题 　模型　隐圆模型－－－－点圆、线圆最值

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（    ）

A．1 B．1.2 C．3 D．5

二、填空题

2．已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为    ，OB长的最小值为    ，AC长的最大值为    ，AC长的最小值为    ，AB长的最大值为    ，AB长的最小值为    ．

3．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为      ．

4．如图，在平面直角坐标系中，P是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点Q，则线段的最小值为      ．

5．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点．

（1）如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大．

如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大．

（2）如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是　　　　（如图③），点P到直线l的最大距离是　　　　（如图④）．

三、解答题

6．（1）如图，木杆AB靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B也沿着水平方向向右滑动．你能用虚线画出木杆中点M 随之运动的轨迹吗？

（2）在（1）的基础上，若AB＝4，以AB为作等边△ABC，如图所示， 连接OC，当木杆AB在下滑过程中，试求OC的最大值．  

7．如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．

（1）点到直线距离的最大值为　　　　；

（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　．

参考答案：

1．B

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用三角函数的知识求解即可．

【详解】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，

故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，

在Rt△AFQ和Rt△ABC中，

∵sin∠A=，sin∠A=，

∴=，

∵AC＝6，BC＝8，CF＝2，

∴AB=10，

∴，

∴FQ=3.2，

∵FP0=2，

∴P0Q=3.2-2=1.2．

故选：B．

【点睛】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理、三角函数、圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

2．     8     2     9     1     12     0

【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可．

【详解】解：位于一条直线上时，

当点在点左侧时，最大，最大值为：，

当点在点右侧时，最小，最小值为：，

位于一条直线上时，

当点在点左侧时，最大，最大值为：，

当点在点右侧时，最小，最小值为：，

在一条直线上时，且位于点左侧，点位于点右侧，

此时，最大，最大值位：，

当点重合时，最小，最小值为：，

故答案为：8，2，9，1，12，0．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出相应的位置是解本题的关键．

3．

【分析】连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短，连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．

【详解】解：如图所示，连接OP．

∵PA⊥PB，OA=OB，

∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．

连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，

∴AB的最小值为2OP=6．

∵点、点关于原点对称，

∴OA=OB=3，

∴点A的坐标为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．

4．

【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．

【详解】解：连接PQ、OP，如图，

∵直线OQ切⊙P于点Q，

∴PQ⊥OQ，

在Rt△OPQ中，OQ==，

当OP最小时，OQ最小，

当OP⊥直线y=2时，OP有最小值2，

∴OQ的最小值为==．

故答案为：．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．

5．（2）d-r，d+r

【分析】（2）根据“点P到直线l的距离的最大值=圆心O到直线l的距离+⊙O的半径，最小值=圆心O到直线l的距离-⊙O的半径”即可解决问题．

【详解】解：（2）点P到直线l的距离的最小值=圆心O到直线l的距离-⊙O的半径

=d-r；

点P到直线l的距离的最大值=圆心O到直线l的距离+⊙O的半径

=d+r；

故答案为：d-r，d+r．

【点睛】本题考查了圆心到直线的距离，本题也是求最值问题，利用数形结合是解题的关键．

6．（1）M的运动轨迹是以O为圆心，OM为半径的圆弧，作图见详解；（2）OC取得最大值为．

【分析】（1）根据题意可得：M是AB的中点，为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得为定值，运动轨迹为以O为圆心，OM为半径的圆弧；

（2）作于点M，连接OM，根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理得，由此确定为定值，然后根据三角形中三边关系即可确定当点O、M、C三点共线时，OC取得最大值，求出即可．

【详解】解：（1）如图虚线为点M的运动轨迹，理由如下：

∵M是AB的中点，为直角三角形，

∴为定值，

∴M的运动轨迹是以O为圆心，OM为半径的圆弧；

（2）如图中所示：作于点M，连接OM，

∵为等边三角形，

∴M为AB的中点，

∴，

在中，

，

∴，为定值，

∵在中，两边之和大于第三边，

∴，

∴当点O、M、C三点共线时，即点M在OC上时，OC取得最大值，最大值为．

【点睛】题目主要考查直角三角形中斜边上的中线性质、等边三角形性质、勾股定理、三角形三边关系、点、线、圆的位置关系等，熟练掌握综合运用这些知识点是解题关键．

7．（1）7；（2）．

【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得；

（2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得．

【详解】解：（1）如图1，，

当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，

此时最大值为，

故答案为：7；

（2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径，

，

，

，，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．