甘肃省张掖市某重点校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共4页，总分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由渐近线上点的坐标得出，然后结合可求得离心率．

【详解】由题意，∴

故选：D.

【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线的斜率与离心率的关系，属于基础题．

2. 已知直线：与直线：平行，则（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组即可求解.

【详解】因为直线：与直线：平行，

所以，解得：或，

故选：D.

3. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes  Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，再由地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，列出方程，即可得出答案.

【详解】解：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，

根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，

则，解得，

即C的离心率为.

故选：C

4. 设为坐标原点，，是抛物线与圆关于轴对称的两个交点，若，则（    ）

A. 4 B. 2

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】不妨设点A在第一象限，由题设可得为等边三角形，故可用表示，结合在圆上可求的值，从而可求的值.

【详解】不妨设点A在第一象限，则为等边三角形，故.

代入中，解得，则，

代入抛物线方程，解得，

故选：D.

5. 在抛物线上有一点P，P到椭圆左顶点的距离最小，这个最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，由两点间的距离公式即可得到P到椭圆左顶点的距离，再根据二次函数的性质即可解出．

【详解】设，椭圆左顶点为，所以P到椭圆左顶点的距离为，而，

所以，当且仅当时取等号，即P到椭圆左顶点的距离最小值为．

故选：A．

6. 已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线的定义与性质解三角形求对应线段夹角及直线倾斜角即可.

【详解】如图所示，易知，

所以，

故,

又由抛物线定义可知，

故直线的倾斜角为.

故选：B.

7. 已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据斜率及点在双曲线上可得，利用基本不等式可求的最小值.

【详解】由题设可设，，

则，故，

因为双曲线的离心率为2，故，故，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

故选：D.

8. 抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：

①点必在抛物线的准线上；②．

若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可.

【详解】设抛物线的焦点为，

由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，

所以点必在抛物线的准线上，

所以点，

直线的斜率为．

又因为，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即，

故选：A．

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 4

【答案】AB

【解析】

【分析】根据直线过定点求出点P到直线的最大距离即可判断选项.

【详解】由，

解方程组，

即直线过定点，则，

显然，即C、D错误，A、B正确.

故选：AB

10. （多选）已知椭圆的左，右焦点分别为直线与椭圆相交于，则（    ）

A. 当时，的面积为

B. 不存在使为直角三角形

C. 存使四边形面积最大

D. 存在使周长最大

【答案】AC

【解析】

【分析】对A，当时，解出相应点的坐标，进而解得三角形面积；

对B，考虑和两种极端情况，进而结合椭圆的性质判断答案；

对C，点A,B位于短轴上时四边形的面积最大，进而判断答案；

对D，结合椭圆的定义，进而考虑点A,B,E三点共线时取得最大值，然后判断答案.

【详解】对于A选项，当时，直线为，代入椭圆方程得，所以，故A正确.

对于选项B，当时，结合A，，，当时，将代入椭圆解得：，所以，则，根据椭圆的性质可知：存在使为直角三角形，故B错误.

对于C选项，容易判断，当即点A,B位于短轴上时，四边形的面积最大，故C正确.

对于D选项，由椭圆的定义得的周长当且仅当过点时取等号，，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，此时，又，所以不存在使得周长最大，故D错误.

故选：AC

11. 已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ）

A. 周长的最小值为

B. 若，则最小值为4

C. 若直线过点F，则直线的斜率之积恒为

D. 若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据F到准线的距离为2，求出，可得焦点和准线方程，利用抛物线的定义可求出周长的最小值为，故A不正确；利用抛物线的定义将弦长转化为弦的中点到准线的距离可得最小值为4。故B正确；设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，计算可知C不正确；利用外接圆与抛物线C的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积为，故D正确.

【详解】因为F到准线的距离为2，所以，所以抛物线，，，准线，

对于A，过作，垂足为，则，

所以周长的最小值为，故A不正确；

对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，则，即最小值为4，故B正确；

对于C，若直线过点F，设直线，

联立，消去得，

设、，则，，

所以，故C不正确；

对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，

因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为，

所以该圆面积为，故D正确.

故选：BD

12. 十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（    ）

A. M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B. M的值与Р点在椭圆上的位置无关

C. M的值越大，椭圆的离心率越大 D. M的值越大，椭圆的离心率越小

【答案】BD

【解析】

【分析】不妨设椭圆方程为，设，，求出和椭圆的离心率后，可得答案.

【详解】不妨设椭圆方程为，

设，，则，

所以，，，

所以，

因为为定值，所以M的值与Р点在椭圆上的位置无关，故A不正确，B正确；

椭圆的离心率，

所以M的值越大，椭圆的离心率越小，故C不正确，D正确.

故选：BD

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知点P(－2，0)，AB是圆x2＋y2＝1的直径，则＝____________.

【答案】3

【解析】

【分析】设，则根据向量数量积坐标公式即可求解．

【详解】设，则，且．又，，

∴．

故答案为：3

14. 抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）

【答案】

【解析】

【分析】可设，由已知可得即计算即可得出结果.

【详解】由题意可知，，准线方程为，，不妨设，

四边形PMNF为平行四边形，

点P到x轴的距离为.

故答案为：

15. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2，则___________．

【答案】##0.25

【解析】

【分析】结合双曲线的性质和余弦定理,即可求解.

【详解】由双曲线的定义知，，∵，

∴，即，

∴，

在中，由余弦定理知，，

∵.

故答案为：．

16. 已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接､，是的内心，所以､分别是和的角平分线，

由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，

则为的角平分线，则到直线､的距离相等，

所以，同理可得，，

由比例关系性质可知.

又椭圆的离心率.所以，所以，故，

故答案为：4.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的弦AB．求：

（1）AB的长；

（2）的周长．

【答案】（1）3    （2）

【解析】

【分析】（1）设，，，，求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解；

（2）求出，的坐标，由两点的距离，即可得到△的周长．

【小问1详解】

解：双曲线的左焦点为，设，，，，

则直线的方程为，

代入方程得，，

，，

；

【小问2详解】

解：，不妨设，

由（1）可得，，，，

则的周长为．

18. 设曲线上一点到焦点的距离为3．

（1）求曲线C方程；

（2）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．

【答案】（1）（2）直线恒过定点，详见解析

【解析】

【分析】

(1) 由抛物线定义得，可解得的值，从而得到抛物线的方程.
(2) 以为直径的圆过原点，有,设直线的方程为,与曲线C方程联立,得到点 的坐标,同理得到点 的坐标,写出的方程，从而得到答案.

【详解】解：（1）由抛物线定义得，

解得，所以曲线C方程为

（2）以为直径圆过原点，

设直线的方程为,

与曲线C方程联立，得

解得（舍去）或，则.

又直线的方程为，同理：.

又直线斜率存在，

的直线方程为

即

直线恒过定点.

【点睛】本题考查根据抛物线的定义求抛物线的方程，求直线过定点问题，属于难题.

19. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于两点，且.

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于两点，求证：为定值.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由题意知，解方程组求得的值，即可求解；

（2）设，则，写出圆和圆的方程，两个圆的方程相减可得直线的方程，计算点到直线的距离为，再利用计算弦长即可.

【详解】（1）由椭圆方程得焦点为：，

抛物线的焦点为 ，…①，

由可得：，解得：，

…②，

由①②可得：，，

椭圆的方程为：；抛物线的方程为：；

（2）设，则，圆的方程为：，

圆的方程为：，

两圆方程作差可得直线的方程为：，

设点到直线的距离为，

则，

.

为定值.

【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：

（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；

（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.

20. 椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）存在；，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）由点到直线的距离求出，可得的值，由离心率求出的值，再由可得的值，即可求解；

（2）设直线，，，，，联立直线与椭圆的方程，可得，，弦长，联立抛物线与直线方程，计算，再由是常数即可得的值.

【详解】（1）设椭圆与抛物线的公共焦点为

所以焦点到直线的距离为，可得：，

所以，，

由，可得：，所以，

所以椭圆，抛物线；

由（1）知：，设直线，，，，，

由可得：，

所以，，

所以

，

由可得：，

所以，

因为是焦点弦，所以，

所以

若为常数，则，所以.

21. 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.

【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.

所以，椭圆方程为.

(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，

又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，

整理得，可得，

代入得，

进而直线的斜率，

在中，令，得.

由题意得，所以直线的斜率为.

由，得，

化简得，从而.

所以，直线的斜率为或.

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.

22. 如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．

【答案】（1）椭圆，拋物线   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案；

（2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，再求直线在轴上截距的范围即可.

【小问1详解】

解：根据题意得：，解得，，，

所以，抛物线焦点，

所以，椭圆，拋物线

【小问2详解】

解：设，

联立与椭圆，

整理得：， 

判别式：

弦长公式：

点到直线的距离为

所以

联立与抛物线，整理得：，判别式：

弦长公式：，

点到直线的距离为

所以，

因为，即，解得： .

所以，直线轴上截距或，

所以，直线在轴上截距取值范

【点睛】.