【期中单元重点题型】（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册 第2章 一元二次方程（压轴题专练）-讲义

第2章 一元二次方程（压轴题专练）

题型01：公式法解一元二次方程

1．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为        ．

2．阅读下面的例题：分解因式：．

解：令得到一个关于的一元二次方程，

，

．

解得，；

．

这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：

(1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　；

(2)将代数式分解因式．

题型02：换元法解一元二次方程

3．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设，那么，于是原方程可变为，

解这个方程得：，．

当时，，∴；当时，，∴

所以原方程有四个根：，，，．

在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．

(2)若，求的值．

(3)利用换元法解方程：．

4．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2  已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：解方程：．

(2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值．

(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，求的值．

5．阅读材料，解答问题：

材料一：已知实数a，满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根．

材料二：已知实数a，满足，，将两边同除以，得，即，则可将a，看作一元二次方程的两个不相等的实数根．

请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：

(1)已知实数a，满足，，求的值；

(2)已知实数a，b满足，，且，求的值．

6．阅读材料，解答问题：

【材料1】

为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

【材料2】

已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程的解为 ；

(2)间接应用：

已知实数，满足：，且，求的值．

题型03：一元二次方程根与系数的关系的综合应用

7．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．

(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．

(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．

(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．

8．对于一元二次方程，下列说法：

①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ）

A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④

9．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．

（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．

根据以上信息，解答下列问题：

①直接写出，的值．

②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．

10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．

请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；

(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．

题型04：一元二次方程有关的新定义题型

11．根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法：

①化简一共有8种不同的结果；

②化简一共有8种不同的结果；

③若，（为正整数），则当时，．

以上说法中正确的个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

12．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（    ）

①化简一共有8种不同的结果；

②的最大值是5；

③若，（为正整数），则当时，；

④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

13．定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：

（1）代数式：的“同心式”为；

（2）若与互为“同心式”，则的值为1；

（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；

（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．

其中，正确的结论有（    ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型05：存在性问题

14．如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：

(1)当x为何值时，为等腰三角形；

(2)当x为何值时，的面积为；

(3)当x为何值时，为等腰三角形．

15．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．

(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．

(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

(3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．

16．如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒．

(1) ；（用t的代数式表示）

(2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）；

(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；

(4)当t为何值时，为直角三角形．

题型06：一元二次方程的几何应用

17．在凸四边形中，，．

(1)如图1，将绕点A旋转得到，画出图形，并写出的度数；

(2)如图2，已知．

①求证：；

②若，求的面积．

18．已知，在中，，，点D是边上一点（点D不与点A，C重合），连接，将绕着点D顺时针旋转，得到，连接．

(1)①如图1，当，点D是的中点时，请猜想：与数量关系是 ；

②如图2，当，点D是边上任意一点时，①中的结论是否依然成立？说明理由．

(2)如图3，若，，直接写出的面积的最大值．

题型07：一元二次方程与平面直角坐标系

19．如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．

(1)求出__________；

(2)若平分，求点的坐标；

(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.

20．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为．点E的坐标为，直线经过点F和点E，直线与直线相交于点P．

(1)求直线的表达式和点P的坐标；

(2)矩形的边在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段上，边平行于x轴，且，将矩形沿射线的方向平移，边始终与x轴平行，已知矩形以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒．

①当时，A点坐标是_________，移动t秒时，D点坐标为_________，

②矩形在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线或上时，矩形会发出红光，请直接写出矩形发出红光时t的值；

③若矩形在移动的过程中，直线交直线于点N，交直线于点M．当的面积等于18时，请直接写出此时t的值．

题型08：一元二次方程的实际应用

21．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．

(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？

(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？

22．“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：

为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，．已知该纪念品成本价为20元/件．

(1)求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；

(2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；

(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第10天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．