新高考数学二轮复习导数培优专题23 导数之凹凸反转（含解析）

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【知识拓展】一般地，对于函数的定义域内某个区间 SKIPIF 1 < 0 上的不同
的任意两个自变量的值，
①总有（当且仅当时，取等号），
则函数在 SKIPIF 1 < 0 上是凸函数，其几何意义：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的上方. SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调
递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为凸函数；
②总有（当且仅当时，取等号），
则函数在 SKIPIF 1 < 0 上是凹函数，其几何意义：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的下方. SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为凹函数.
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）有（1）知 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
＝ 1 \* GB3 ①要证 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
＝ 2 \* GB3 ②要证 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 ，
易证 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 .
2．设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值 SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无极小值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，下面证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是减函数；在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是增函数．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是增函数；在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
3．设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 零点的个数，并说明理由；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增；
又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （e） SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内存在零点，
SKIPIF 1 < 0 的零点个数是1；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍取负值），
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
综上， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增；
（3）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，问题等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，若记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立时，必有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
故 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
故 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证明 SKIPIF 1 < 0 成立即可，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以该切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，得证.
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：要证 SKIPIF 1 < 0 成立，只需证 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又由（1）可得在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故不等式得证．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 为常数）是实数集 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅱ）讨论关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的根的个数．
【解答】（Ⅰ） 因为函数 SKIPIF 1 < 0 为常数）是实数集 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是实数集 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0 ，方程可转化为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，方程无解，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，方程有一个根，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，方程有两个根，
综上得：
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程无解，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程有一个根，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程有两个根．
8．设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 零点的个数，并说明理由；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增；又 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （e） SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内存在零点， SKIPIF 1 < 0 的零点个数是1；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍取负值），
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
综上， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增；
（3）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
问题等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，设 SKIPIF 1 < 0 ，
若记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立时，必有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
故 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，故 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
综上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是增函数，于是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值1， SKIPIF 1 < 0 无极大值． SKIPIF 1 < 0 （6分）
（2）方法一：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故只需证明当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
从而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值．由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：先证不等式 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单减，在 SKIPIF 1 < 0 上单增，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单增，在 SKIPIF 1 < 0 上单减， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
于是，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
注意到以上三个不等号的取等条件分别为： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，它们无法同时取等，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
10．设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数；
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，无极小值点
（2）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上最多有一个零点，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 （c） SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，从而 SKIPIF 1 < 0 （c） SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 （c） SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （c） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （c） SKIPIF 1 < 0 ，从而证得 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 不恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
再者，设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
令，，
当时， SKIPIF 1 < 0 ，
当时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设的根为，则， 又函数单调递增，故，故，
又，所.