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新高考数学二轮复习导数培优专题09 导数新定义问题（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习导数培优专题09 导数新定义问题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．给出以下新定义：若函数 SKIPIF 1 < 0 在D上可导，即 SKIPIF 1 < 0 存在，且导函数 SKIPIF 1 < 0 在D上也可导，则称 SKIPIF 1 < 0 在D上存在二阶导函数，记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在D上恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不是凸函数；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不是凸函数；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在R上不恒成立，不是凸函数；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在定义域上恒成立，是凸函数.
故选：D.
2．对于三次函数 SKIPIF 1 < 0 ，现给出定义：设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，若方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解 SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得x＝1，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 SKIPIF 1 < 0 型，比如：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极限即为 SKIPIF 1 < 0 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
4．定义方程 SKIPIF 1 < 0 的实根 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”，若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的根，即为函数
SKIPIF 1 < 0 的零点，可解得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧值点”．下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有零点，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 没有“巧值点”；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”.
故选：C.
6．定义满足方程 SKIPIF 1 < 0 的解 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，即函数 SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，C选项满足条件；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，方程 SKIPIF 1 < 0 无实解，D选项不满足条件.故选：D.
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象连续不间断，在开区间 SKIPIF 1 < 0 内的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，那么在区间 SKIPIF 1 < 0 内至少存在一点c，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，其中c叫做 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，则称 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数”．若函数 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数"，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数”，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以令 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 。故选：A
二、多选题
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴该方程无解，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 无“巧值点”，故A符合题意；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”－1，故B不符合题意；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 无解，∴函数 SKIPIF 1 < 0 无“巧值点”，故C符合题意；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，易知函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象在第一象限内有一个交点，
∴方程 SKIPIF 1 < 0 有一个解，∴函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”，故D不符合题意．
故选：AC．
10．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上连续，对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上任意二点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 时，我们称函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即 SKIPIF 1 < 0 .下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足 SKIPIF 1 < 0 在定义域内恒成立．
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
不符合题意，故选项A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，符合题意，故选项B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
符合题意，故选项C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，不符合题意，故选项D错误.
故选：BC.
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 有青山点，所以A正确，
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解，所以函数 SKIPIF 1 < 0 不存在青山点，所以B错误，
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），由于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像有交点，所以方程 SKIPIF 1 < 0 有解，所以函数 SKIPIF 1 < 0 有青山点，所以C正确，
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有青山点，所以D正确，
故选：ACD
12．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上是减函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上也是减函数，其中 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间中，是函数 SKIPIF 1 < 0 的“缓减函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即f（x）的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
由“缓减区间”的定义可得f（x）的“缓减区间”为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．故选：AD
13．定义在区间 SKIPIF 1 < 0 上的连续函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为区间 SKIPIF 1 < 0 上的“中值点”.下列在区间 SKIPIF 1 < 0 上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 成立，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A符合.
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以B符合.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以D符合.
故选：ABD.
14．对于定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数，若同时满足：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“偏对称函数”.
下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不满足②，A选项中的函数不满足条件；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足③，B选项中的函数满足条件；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，不满足③，C选项中的函数不满足条件；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足③，D选项中的函数满足条件.
故选：BD.
三、填空题
15．函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于定义域内任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 为恒均变函数．给出下列函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．其中为恒均变函数的序号是__________________．（写出所有满足条件的函数的序号）
【解析】对于①f（x）=2x+3，满足 SKIPIF 1 < 0 ，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，
，，故满足 SKIPIF 1 < 0 ，为恒均变函数；
对于；③f(x)＝，，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故不是恒均变函数；对于④f（x）=ex ，
，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故不是恒均变函数；对于⑤f（x）=lnx，，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故不是恒均变函数．故应填入： ①②．
16．我们把形如 SKIPIF 1 < 0 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，两边对x求导数，得 SKIPIF 1 < 0 于是 SKIPIF 1 < 0 ，
运用此方法可以求得函数 SKIPIF 1 < 0 在(1,1)处的切线方程是_________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两边对 SKIPIF 1 < 0 求导， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
17．若 SKIPIF 1 < 0 可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数 SKIPIF 1 < 0 是区间D上的“稳定函数”．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是区间 SKIPIF 1 < 0 上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由“稳定函数”定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
18．设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ．则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”，已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”则实数m的取值范围为__________．
【解析】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
19．对于函数 SKIPIF 1 < 0 可以采用下列方法求导数：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .根据这一方法，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为___________.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
20．设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是定义在同一区间 SKIPIF 1 < 0 上的两个函数，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的零点，则称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象有两个交点，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，列表如下：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
由上图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象有两个交点，
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
21．对于函数f（x），若存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数f（x）的一个不动点.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在 SKIPIF 1 < 0 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
(2)若f（x）有两个相异的极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在a，b使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为f（x）的不动点？证明你的结论.
【解析】(1)（i）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，没有极值点.
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 递增；在区间 SKIPIF 1 < 0 递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值点为 SKIPIF 1 < 0 .
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，又是 SKIPIF 1 < 0 的不动点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有两个相异的极值点，也即 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 .
依题意，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的不动点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这与①矛盾，
所以不存在符合题意的 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)定义：若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内也单调递增，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”.
已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
23．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数．若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的“凸函数”．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的凸函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
若函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的凸函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有变号零点，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ；
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 无零点，不合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，且在零点左右两侧 SKIPIF 1 < 0 符号相反，即该零点为 SKIPIF 1 < 0 的变号零点，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值；综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
24．设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，我们把使 SKIPIF 1 < 0 的实数x叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的好点.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）若0是函数 SKIPIF 1 < 0 的好点，求a；
（2）若当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 无好点，求a的取值范围.
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵0是函数 SKIPIF 1 < 0 的好点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，将问题转化为讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点问题，
∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 不存在好点，
等价于 SKIPIF 1 < 0 没有零点，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于零，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 无零点， SKIPIF 1 < 0 无好点；a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
25．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由题意得函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数；
②因为函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
从而 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
26．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
（3）对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的不同两点 SKIPIF 1 < 0 ，如果在函数 SKIPIF 1 < 0 图象上存在点 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）使得点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 ，则称直线 SKIPIF 1 < 0 存在“伴侣切线”．特别地，当 SKIPIF 1 < 0 时，又称直线 SKIPIF 1 < 0 存在“中值伴侣切线”．试问：当 SKIPIF 1 < 0 时，对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
显然有 SKIPIF 1 < 0 恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设函数 SKIPIF 1 < 0 存在“中值伴侣切线”.
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的不同两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . 故直线AB的斜率：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
曲线在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率：
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
依题意得 SKIPIF 1 < 0
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，上式化为 SKIPIF 1 < 0 ,由（2）知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以在 SKIPIF 1 < 0 内不存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立.
综上所述，假设不成立. 所以函数 SKIPIF 1 < 0 不存在“中值伴侣切线” .
27．如果 SKIPIF 1 < 0 是定义在区间D上的函数，且同时满足：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的单调性相同，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上是“链式函数”.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“链式函数”.
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“链式函数”.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
28．设函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值4.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在两个不等正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则把区间 SKIPIF 1 < 0 叫函数 SKIPIF 1 < 0 的“正保值区间”.问函数 SKIPIF 1 < 0 是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，依题意则有： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的递增区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 的“正保值区间”是 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故极值点 SKIPIF 1 < 0 不在区间 SKIPIF 1 < 0 上；
①若极值点 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，在此区间上 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 4，不可能等于 SKIPIF 1 < 0 ；
故在区间 SKIPIF 1 < 0 上没有极值点；
②若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 不符合要求；
③若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调减，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减并除 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， ①
两式相除可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理并除以 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，②
由①、②可得 SKIPIF 1 < 0 ，即s，t是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不合要求.
综上可得不存在满足条件的s、t，即函数 SKIPIF 1 < 0 不存在“正保值区间” SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极大值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1．给出以下新定义：若函数 SKIPIF 1 < 0 在D上可导，即 SKIPIF 1 < 0 存在，且导函数 SKIPIF 1 < 0 在D上也可导，则称 SKIPIF 1 < 0 在D上存在二阶导函数，记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在D上恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不是凸函数；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不是凸函数；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在R上不恒成立，不是凸函数；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在定义域上恒成立，是凸函数.
故选：D.
2．对于三次函数 SKIPIF 1 < 0 ，现给出定义：设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，若方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解 SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得x＝1，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴函数 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 SKIPIF 1 < 0 型，比如：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极限即为 SKIPIF 1 < 0 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
4．定义方程 SKIPIF 1 < 0 的实根 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”，若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的根，即为函数
SKIPIF 1 < 0 的零点，可解得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧值点”．下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有零点，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 没有“巧值点”；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”.
故选：C.
6．定义满足方程 SKIPIF 1 < 0 的解 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，即函数 SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 存在“自足点”，C选项满足条件；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，方程 SKIPIF 1 < 0 无实解，D选项不满足条件.故选：D.
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象连续不间断，在开区间 SKIPIF 1 < 0 内的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，那么在区间 SKIPIF 1 < 0 内至少存在一点c，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，其中c叫做 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，则称 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数”．若函数 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数"，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数”，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以令 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 。故选：A
二、多选题
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴该方程无解，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 无“巧值点”，故A符合题意；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”－1，故B不符合题意；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 无解，∴函数 SKIPIF 1 < 0 无“巧值点”，故C符合题意；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，易知函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象在第一象限内有一个交点，
∴方程 SKIPIF 1 < 0 有一个解，∴函数 SKIPIF 1 < 0 有“巧值点”，故D不符合题意．
故选：AC．
10．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上连续，对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上任意二点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 时，我们称函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即 SKIPIF 1 < 0 .下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足 SKIPIF 1 < 0 在定义域内恒成立．
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
不符合题意，故选项A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，符合题意，故选项B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
符合题意，故选项C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，不符合题意，故选项D错误.
故选：BC.
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 有青山点，所以A正确，
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解，所以函数 SKIPIF 1 < 0 不存在青山点，所以B错误，
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），由于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像有交点，所以方程 SKIPIF 1 < 0 有解，所以函数 SKIPIF 1 < 0 有青山点，所以C正确，
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有青山点，所以D正确，
故选：ACD
12．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上是减函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上也是减函数，其中 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间中，是函数 SKIPIF 1 < 0 的“缓减函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即f（x）的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
由“缓减区间”的定义可得f（x）的“缓减区间”为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．故选：AD
13．定义在区间 SKIPIF 1 < 0 上的连续函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为区间 SKIPIF 1 < 0 上的“中值点”.下列在区间 SKIPIF 1 < 0 上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 成立，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A符合.
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以B符合.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以D符合.
故选：ABD.
14．对于定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数，若同时满足：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“偏对称函数”.
下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不满足②，A选项中的函数不满足条件；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足③，B选项中的函数满足条件；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，不满足③，C选项中的函数不满足条件；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足③，D选项中的函数满足条件.
故选：BD.
三、填空题
15．函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于定义域内任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 为恒均变函数．给出下列函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．其中为恒均变函数的序号是__________________．（写出所有满足条件的函数的序号）
【解析】对于①f（x）=2x+3，满足 SKIPIF 1 < 0 ，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，
，，故满足 SKIPIF 1 < 0 ，为恒均变函数；
对于；③f(x)＝，，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故不是恒均变函数；对于④f（x）=ex ，
，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故不是恒均变函数；对于⑤f（x）=lnx，，显然不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故不是恒均变函数．故应填入： ①②．
16．我们把形如 SKIPIF 1 < 0 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，两边对x求导数，得 SKIPIF 1 < 0 于是 SKIPIF 1 < 0 ，
运用此方法可以求得函数 SKIPIF 1 < 0 在(1,1)处的切线方程是_________.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两边对 SKIPIF 1 < 0 求导， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
17．若 SKIPIF 1 < 0 可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数 SKIPIF 1 < 0 是区间D上的“稳定函数”．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是区间 SKIPIF 1 < 0 上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由“稳定函数”定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
18．设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ．则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”，已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”则实数m的取值范围为__________．
【解析】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
19．对于函数 SKIPIF 1 < 0 可以采用下列方法求导数：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .根据这一方法，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为___________.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
20．设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是定义在同一区间 SKIPIF 1 < 0 上的两个函数，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的零点，则称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象有两个交点，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，列表如下：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
由上图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象有两个交点，
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
21．对于函数f（x），若存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数f（x）的一个不动点.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在 SKIPIF 1 < 0 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
(2)若f（x）有两个相异的极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在a，b使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为f（x）的不动点？证明你的结论.
【解析】(1)（i）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，没有极值点.
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 递增；在区间 SKIPIF 1 < 0 递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值点为 SKIPIF 1 < 0 .
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，又是 SKIPIF 1 < 0 的不动点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有两个相异的极值点，也即 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 .
依题意，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的不动点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这与①矛盾，
所以不存在符合题意的 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)定义：若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内也单调递增，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”.
已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
23．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数．若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的“凸函数”．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的凸函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
若函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的凸函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有变号零点，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ；
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 无零点，不合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，且在零点左右两侧 SKIPIF 1 < 0 符号相反，即该零点为 SKIPIF 1 < 0 的变号零点，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值；综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
24．设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，我们把使 SKIPIF 1 < 0 的实数x叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的好点.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）若0是函数 SKIPIF 1 < 0 的好点，求a；
（2）若当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 无好点，求a的取值范围.
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵0是函数 SKIPIF 1 < 0 的好点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，将问题转化为讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点问题，
∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 不存在好点，
等价于 SKIPIF 1 < 0 没有零点，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于零，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 无零点， SKIPIF 1 < 0 无好点；a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
25．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由题意得函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数；
②因为函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
从而 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
26．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
（3）对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的不同两点 SKIPIF 1 < 0 ，如果在函数 SKIPIF 1 < 0 图象上存在点 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）使得点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 ，则称直线 SKIPIF 1 < 0 存在“伴侣切线”．特别地，当 SKIPIF 1 < 0 时，又称直线 SKIPIF 1 < 0 存在“中值伴侣切线”．试问：当 SKIPIF 1 < 0 时，对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
显然有 SKIPIF 1 < 0 恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设函数 SKIPIF 1 < 0 存在“中值伴侣切线”.
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的不同两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . 故直线AB的斜率：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
曲线在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率：
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
依题意得 SKIPIF 1 < 0
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，上式化为 SKIPIF 1 < 0 ,由（2）知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以在 SKIPIF 1 < 0 内不存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立.
综上所述，假设不成立. 所以函数 SKIPIF 1 < 0 不存在“中值伴侣切线” .
27．如果 SKIPIF 1 < 0 是定义在区间D上的函数，且同时满足：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的单调性相同，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上是“链式函数”.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“链式函数”.
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“链式函数”.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
28．设函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值4.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在两个不等正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则把区间 SKIPIF 1 < 0 叫函数 SKIPIF 1 < 0 的“正保值区间”.问函数 SKIPIF 1 < 0 是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，依题意则有： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的递增区间是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 的“正保值区间”是 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故极值点 SKIPIF 1 < 0 不在区间 SKIPIF 1 < 0 上；
①若极值点 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，在此区间上 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 4，不可能等于 SKIPIF 1 < 0 ；
故在区间 SKIPIF 1 < 0 上没有极值点；
②若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 不符合要求；
③若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调减，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减并除 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， ①
两式相除可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理并除以 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，②
由①、②可得 SKIPIF 1 < 0 ，即s，t是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不合要求.
综上可得不存在满足条件的s、t，即函数 SKIPIF 1 < 0 不存在“正保值区间” SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极大值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
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