新高考数学一轮复习精选讲练专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示（含解析），共21页。

1．（5分）（2022·河南·高三阶段练习（文））若向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用向量坐标的加法运算，把向量的坐标代入计算即可.
【解答过程】，.
故选：A.
2．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】建立直角坐标系，得到的坐标，设，联立解方程组，求出得出结论.
【解答过程】建立如图直角坐标系，则，
，
设，则
所以
解得：，
故，
故选：D.
3．（5分）在正方形中， 分别为，的中点，则不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.
【解答过程】由题意可得,A正确；
,故B正确；
由 , ,
可得,
故,故C错误，D正确；
故选：C.
4．（5分）（2022·四川省高一阶段练习（理））设，向量，且，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
【解题思路】由向量共线定理及垂直的坐标表示求得、，应用向量线性运算、模长的坐标表示求结果.
【解答过程】由知：且，则，可得，即，
由知：，可得，即，
所以，故.
故选：B.
5．（5分）（2022·江西赣州·高三期中（文））向量，，，若，且，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．
【解题思路】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出，再利用向量的坐标表示得到关于、的方程组进行求解.
【解答过程】由题意，得 ，，
因为，所以，解得，
则，
即，解得，故.
故选：C.
6．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意得到与不共线，从而列出不等式，求出答案.
【解答过程】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
∵，，，
∴，，
∴，解得.
故选：B．
7．（5分）（2022·江苏南通·高三开学考试）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】求得，外接圆的半径，设，，，根据，结合和
三点共线，得到，进而求得，利用基本不等式和函数的性质，即可求得取值范围.
【解答过程】因为中，，
由余弦定理可得，
即，且，
设，
则，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因为，，所以，
因为三点共线，可得，
因为，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
设，可得，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为；
又由，，可得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是.
故选：B.
8．（5分）（2022·北京市高一阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
【解题思路】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【解答过程】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，
因为，
所以，设，则，则，，
则，即，解得：或（舍去），
则，，
，A说法正确；
若为线段的中点，则，
所以，
则，解得：，则，B说法正确；
设，
则，
故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；
，则，
因为，则，所以，
解得：，，
所以的最大值比最小值大，D说法正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·贵州·高二阶段练习）已知向量，，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解题思路】根据向量的坐标运算即可求解平行垂直以及模长，根据选项即可逐一判断.
【解答过程】对于选项A，，则，则，即选项A错误；
对于选项B，，则，则，即选项B正确；
对于选项C，，则，解得，即选项C错误；
对于选项D，，即，则，即选项D正确，
故选：AC．
10．（5分）（2022·江苏·高二期中）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（ ）
A．B． C．3D．4
【解题思路】建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用坐标表示，用同角三角函数的平方关系换元，转化为三角函数的最值问题.
【解答过程】以为圆点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则由已知有：，，，，即在圆上，
所以有，则．
故选：AC.
11．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知中，O是边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据向量基本定理，用表达出，用向量共线基本定理的推论结合题干信息进行求解得到.
【解答过程】，A正确，B错误；
因为，，所以，
又因为三点共线，
所以，故，C正确，D错误.
故选：AC.
12．（5分）（2022·浙江温州·高一期末）如图， 已知均为等边三角形， 分别为的中点，为内一点 (含边界)． ， 下列说法正确的是（ ）
A．延长交于， 则
B．若， 则为的重心
C．若，则点的轨迹是一条线段
D．的最小值是
【解题思路】A选项，作出辅助线，根据面积比求出，判断A选项；
B选项，建立平面直角坐标系，设出边长为1，写出各点的坐标，然后写出直线CN，BM，AG的方程，联立后求出的坐标，求出与的重心坐标，两者重合；C选项，设出点的坐标，利用向量关系及求出，得出C正确；D选项，利用C选项，得到，结合，求出的最小值.
【解答过程】A选项，因为已知均为等边三角形，分别为的中点，
连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M，
则，
所以，则，，A正确；
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
延长AD交BC于点G，延长CF交AB于点N，由A选项可知：，
设边长为1，则，
则直线 ，直线BM：，
联立直线CN与BM，求得：，所以，
直线AG：，联立直线AG与BM，求得：，所以，
联立直线AG与CN，求得：，所以，
因为， 则为的重心，
则，即，
而的重心为，即，
故为的重心，B正确；
设，，结合B选项中建立的坐标系，可知：
，即，解得：
若， 则，整理得：，
因为为内一点 (含边界)，所以点的轨迹是一条线段，C正确；
结合C选项，可知，
其中，
当时，取得最小值，
最小值为，故D错误.
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则 6 ．
【解题思路】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答.
【解答过程】因，，则，
又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得，
所以.
故答案为：6.
14．（5分）（2022·四川·高二阶段练习（理））在中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且若，则 .
【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理将用，表示，从而可求出x，y的值，进而可求得.
【解答过程】因为，，
所以，，
所以
，
所以，，所以.
故答案为：.
15．（5分）（2022·辽宁大连·高三期中）在中，CA＝CB＝1，，若CM与线段AB交于点P，且满足，（,），且，则的最大值为 2 ．
【解题思路】利用平面坐标系可得点M坐标满足，从而得到，利用基本不等式即可求得的最大值.
【解答过程】如图所示：
设，，因为，CB＝1，则 ，
，，设，则，
因为，所以，
因为，则，
所以有，
即，即，
又（,），
所以，
解得，当且仅当时不等式取等号.
则的最大值为2.
故答案为：2.
16．（5分）（2022·江苏·高一期末）如图，正八边形中，若 ，则的值为 ．
【解题思路】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得 轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据
的坐标运算可得答案.
【解答过程】
如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，
，所以，
，所以，
即 轴，为等腰直角三角形，
设，则，，
所以，所以，，与关于轴对称，
所以，
，，，
由得，
即，解得，
所以.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高一课时练习）已知向量，，为坐标原点．若向量，，求向量的坐标．
【解题思路】由向量线性运算可得，由向量坐标运算可求得结果.
【解答过程】，又，，
.
18．（12分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知向量，.
(1)求；
(2)若向量，试以向量，为基底表示向量.
【解题思路】（1）根据向量坐标运算及模的坐标表示求解；
（2）根据平面向量基本定理，利用待定系数法求解.
【解答过程】(1)
∵，
∴.
(2)
设.
则,
∴,解得,
∴.
19．（12分）（2022·全国·高一课时练习）已知向量．
(1)求；
(2)求满足的实数m和n的值；
(3)若，求实数k的值．
【解题思路】（1）利用平面向量的坐标运算求解；
（2）利用平面向量相等求解；
（3）利用平面向量共线定理求解.
【解答过程】（1）
解：；
（2）
因为．
所以，
则，解得．
（3）
，
因为，
所以，
解得．
20．（12分）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
【解题思路】（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；
（2）设，利用向量的减法运算可得出，结合可建立等式，即得.
【解答过程】（1）
设，
由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
因为，所以，
由平面向量基本定理得，即，①
同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
又，所以，
由平面向量基本定理得 即，②
由①②得，，
故；
（2）
由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，
于是，
又，，
所以，
由平面向量基本定理得，消去，
得，
故为定值，该定值为5.
21．（12分）（2022·上海市高一期末）如图，在平行四边形中，，交于点.
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围.
【解题思路】（1）由平面向量基本定理化简计算可得；
（2）以A为原点建立坐标系，表示出 ，根据单调性求取值范围.
【解答过程】（1）
因为
又
所以，解得.
（2）
以A为原点建立如图坐标系，，
因为
，
因为
，

令，则对称轴为，，
所以在单调递增，
所以当时，，
时，，
的取值范围为.
22．（12分）（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知向量．
(1)若，求的值；
(2)若，函数，求的值域．
【解题思路】（1）根据向量平行的坐标运算公式，结合两角和的余弦公式化简即可；
（2）根据向量数量积的坐标运算公式，运用三角函数相关知识化简原函数后，换元求解即可.
【解答过程】(1)
因为，
所以，
整理得，
所以，
即，
则．
(2)
因为，
所以
．
令，则．
设函数，
则在区间上单调递增，
所以，
所以的值域为．