新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的坐标运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 平面向量的坐标运算（含解析），共32页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2. 平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)线性运算的坐标表示
【题型归纳】
题型一：平面向量线性运算的坐标表示
1．已知向量，，2，则（ ）
A．（0，3，-6）B．（0，6，-20）
C．（0，6，-6）D．（6，6，-6）
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，，，则等于（ ）
A．B．0C．D．
题型二：由向量线性运算结果求参数
4．已知向量，满足，，，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
5．已知向量，， 且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，，且，则x的值为（ ）
A．B．C．-2D．2

题型三：向量坐标的线性运算解决几何问题
7．顺次连接点，，，所构成的图形是（ ）
A．等腰梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形
8．已知，，，下列点的坐标中不能使点、、、构成四边形的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，A、B分别在轴和轴上运动，为原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．

题型四：由向量线性运算解决最值和范围问题
10．在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
11．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
12．在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
13．已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0)B．(0，4)C．(3，－6)D．(－3，6)
14．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A．B．C．D．
15．已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
16．已知向量，，则（ ）
A．B．5C．7D．25
17．已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
18．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
19．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
20．下列命题正确的是（ ）
A．复数是关于的方程的一个根，则实数
B．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合
C．若，则复数对应的点在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若（是虚数单位，为复平面坐标原点，，），则
21．，，若，则( )
A．B．C．6D．8
22．已知边长为2的正方形，设为平面内任一点，则“”是“点在正方形及内部”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
23．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
24．已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（ ）
A．B．C．D．
25．已知向量，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．与可以作为一组基底
C．D．与方向相反
26．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
27．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
28．设向量，，．若，则与的夹角为（ ）
A．0°B．30°C．60°D．90°
29．向量，，则（ ）
A．2B．C．3D．5
30．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4)B．(4，6)
C．(－6，－2)D．(－1，9)
【高分突破】
单选题
31．是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A．B．C．D．
32．已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
33．在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
34．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
35．已知向量， ，若则（ ）
A．B．5C．D．
36．已知向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
37．正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
38．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影为
39．已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（ ）
A．B．
C．D．点的坐标为
40．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
41．已知向量，．若向量与平行，则＝________.
42．已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为_______________．
43．已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
44．已知等边三角形的边长为6，点P满足，则_________．
45．在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．
46．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
四、解答题
47．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)，分别对该质点做的功；
(2)，的合力对该质点做的功.
48．已知平面向量.
(1)若，求；
(2)若，求与夹角的余弦值.
49．在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足
(1)求的值；
(2)若为线段上的任意一点，若，
①用向量表示向量；
②求证：为定值；
(3)若为线段上任意一点，求的最小值.
50．如图，矩形与矩形全等，且.
(1)用向量与表示；
(2)用向量与表示.
51．已知，，．
（1）求的坐标；
（2）求满足条件的实数，．
文字叙述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2).
两点构
成的向
量坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1).
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy).
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先推导出4，利用向量坐标运算法则直接求解．
【详解】
解：∵向量，，2，
∴4（8，12，-16）+（-8，-6，-4）＝（0，6，-20）．
故选：B．
2．B
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
由题意，向量，可得.
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
先求出的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可
【详解】
因为，，
所以，
因为，
所以，
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数
【详解】
设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故.
故选：B
5．A
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，， 且，
所以，所以，解得.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，解得.
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
由题可得，利用共线及数量积即得.
【详解】
因为，，，,
所以，，
∴，且,与不垂直，
所以四边形是平行四边形.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
利用对边平行且相等逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为，所以，所以，∥，所以四边形是平行四边形，所以A不合题意，
对于B，因为，所以，所以，∥，所以四边形是平行四边形，所以B不合题意，
对于C，因为，所以，因为有公共端点，所以三点共线，所以、、、四点不能构成平行四边形，所以D正确，
对于D，因为，所以，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以D不合题意，
故选：C
9．C
【解析】
【分析】
设出P,A,B三点的坐标，通过得到等式，再由得到三点坐标间的关系，最后用代入法即可得到答案.
【详解】
由题意，设，，则，因为，所以……①，
又因为，所以……②
将②代入③得，，即点的轨迹方程是.
故选：C.
10．C
【解析】
【分析】
构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】
构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，
则且，
所以当时，的最大值为.
故选：C
11．A
【解析】
【分析】
由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
则△ABC为等腰直角三角形.
设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，
则，，，设，，
则， ，，
因为，即，
所以，
所以，
所以当，即时；
故选：A
12．B
【解析】
【分析】
先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.
【详解】
由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B．
13．C
【解析】
【分析】
根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
解析 ∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故选：C
14．D
【解析】
【分析】
由两定点满足，说明三点构成边长为2的等边三角形，设出两定点的坐标，再设出点的坐标，由平面向量基本定理，把点的坐标用的坐标及表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求出点所表示区域的面积
【详解】
由两定点满足，而，则，所以，则三点构成边长为2的等边三角形，不妨设，设，
由，得，
所以，解得，
由，得
，或，或，或，
可行域如图中矩形及其内部区域，则区域面积为，
故选：D
15．D
【解析】
【分析】
先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
16．B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算求解模长即可.
【详解】
根据题意，向量，，
则，故.
故选：B．
17．D
【解析】
【分析】
法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围
【详解】
法一：因为在上，不妨设，
则（其中）
所以
，
因为，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，
其中，，
∴
∵
∴
故选：D.
18．B
【解析】
【分析】
计算出和的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量，，则，，
由可得，解得.
故选：B.
19．C
【解析】
【分析】
根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】
因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
20．C
【解析】
【分析】
结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A：复数是关于的方程的一个根，所以：，
，故A错误；
对于B：设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，
即这两个向量的模长相等，但是与不一定重合，故B错误；
对于C：若，设，故：，整理得：，故，故C正确；
对于D：已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
若，所以，
，
，
解得：，，故，故D错误．
故选：C．
21．D
【解析】
【分析】
求出的坐标，根据可知，结合向量数量积的坐标表示即可求出x的值．
【详解】
，
．
故选：D．
22．B
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算可证明必要不充分性.
【详解】
解：必要性证明：边长为2的正方形，设为正方形及内部任意一点，以A为原点建立直角坐标系如图：
由题意可知（）
则
，
故
“”是“点在正方形及内部”的必要条件；
充分性证明：
若，则，但是可以为任意值，故点P不一定在正方形及内部.
所以“”是“点在正方形及内部”的不充分条件.
故“”是“点在正方形及内部”的必要非充分条件.
故选：B
23．D
【解析】
【分析】
以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，问题得以解决
【详解】
以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，
，，，
设点为，，，
，
，，，，，
，
，①
直线的方程为，②，
联立①②，解得，
此时最大，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题
24．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出等比数列公比q，再结合向量坐标运算及共线向量即可判断作答.
【详解】
等比数列公比为q，而，则，解得，
，，则，
对于A，，因，则A不是；
对于B，，因，则B不是；
对于C，，因，则C不是；
对于D，，因，则D是.
故选：D
25．B
【解析】
【分析】
由条件可得，然后逐一判断即可.
【详解】
因为，，所以；
所以，，A、C正确；
与不可以作为一组基底，B错误；
，所以与方向相反，D正确；
故选：B
26．C
【解析】
【分析】
由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】
由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
27．B
【解析】
由点A、B关于原点对称，设，则，利用，得，再利用得到关系式，再用点C、B在双曲线上，三个式子联立求解得到，化简得到，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
由点A、B关于原点对称，设，则
，设，，
，，即
，
利用向量数量积公式得：，即①
又点C、B均在双曲线上，
②，③
由①②③可得：
两边同时除以可得：
两边同时平方得；，即
又双曲线的离心率，则，即
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中利用得到点C坐标，利用点C、B均在双曲线上，得到关系式，再利用得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
28．D
【解析】
【分析】
根据题意，求出x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，即可求解．
【详解】
根据题意，设与的夹角为，
，，，
则，解得，
则，，
则，
所以，
故，
故选：D．
29．D
【解析】
【分析】
先求出，再计算模长即可.
【详解】
由题意知：，则.
故选：D.
30．A
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.
【详解】
在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.
故选:A.
31．A
【解析】
【分析】
可设，可得，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到，最后求得
【详解】
由已知得，因为点M为直线上一动点，所以，可设，
得到，则，，
则，当且仅当时，取得最小值，此时，可得，所以，，得到.
故选：A
32．D
【解析】
【分析】
先根据已知条件确定三点的位置关系并得到，再设，根据坐标运算代入坐标求解即可.
【详解】
点在线段的延长线上，又，.
设,则,,
.选D.
33．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算求得向量，再根据，将用表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：，
则，
由，得，则，
所以，
则，
当时，.
故选：D.
34．B
【解析】
【分析】
先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意得：，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.
35．B
【解析】
【分析】
由向量的数量积可得，再利用向量的坐标运算即得.
【详解】
由向量，，
∴，所以，
∴，∴，即.
故选：B
36．A
【解析】
【分析】
利用向量减法、模的坐标运算列方程，化简求得的值.
【详解】
，
，，
，
.
故选：A
37．BCD
【解析】
【分析】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
38．BCD
【解析】
【分析】
以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设，∥，
所以，解得：，
即O是CE中点，，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为，，所以选项A错误；
，，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
故选：BCD
【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
39．ABD
【解析】
【分析】
利用题目中的新定义和向量的坐标运算可得到各个点的坐标，以及各个向量的坐标，然后对各个选项进行计算检验即可.
【详解】
点，点，,把点B绕点A沿顺时针方向旋转(即按逆时针方向旋转 ) 后得到点，,可得，故D正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,可得
，故A正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,
即，故B正确；
C. ,
，即，故C错误；
故选：ABD
40．BCD
【解析】
【分析】
根据求出的值，可得，的坐标，由向量的坐标运算，以及模长的坐标表示逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】
因为向量，，，
所以，可得，故选项A不正确；
所以，，
所以，，，
故选项BCD正确；
故选：BCD.
41．
【解析】
运用向量加法公式和向量平行公式即可.
【详解】
向量， ，所以，
若向量与平行，可得 ，解得.
故答案为:
42．
【解析】
【分析】
利用向量线性运算的几何意义可求诸模之和的最小值.
【详解】
如图，设，，，，
则，且，
要求的最小值即求的最小值.
作出关于的对称点，再作出关于的对称点，
连接，设与射线交于，连接，与射线交于，
则，且，
设，则，而，故，
所以.
则，
当且仅当重合，重合时等号成立，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：向量的模的最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.
43．
【解析】
【分析】
由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.
【详解】
∵点P在延长线上，且，
∴，
∴即，又，，
∴.
故答案为：.
44．
【解析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示可求得P点坐标求得答案.
【详解】
建立如图所示坐标系，其中O为BC的中点，所以，
设，则，，，
又因为，所以，
，
即，，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量模的计算，本题的关键点是建立坐标系，根据已知条件计算出P点坐标，再计算向量的模长，这种几何图形中的向量运算，转换成坐标比较容易得到答案.
45．
【解析】
【分析】
根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.
【详解】
由题意知，
直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
则，又，
所以，
有，
则
，其中，
当时，取得最大值，
且最大值为.
故答案为：
46．30
【解析】
【分析】
先证明四边形ABCD为矩形，然后即可求出面积.
【详解】
，又因为
所以四边形ABCD为矩形，所以
所以.
故答案为：30.
47．(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；
(2)（）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.
(1)
根据题意，，，，
故对该质点做的功（）；
对该质点做的功（）.
(2)
根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功（）.
48．(1)5；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用垂直的坐标表示求出m，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.
（2）利用向量夹角的坐标表示计算作答.
(1)
向量，由得：，解得，即，
则，所以.
(2)
当时，，，则，
所以与夹角的余弦值是.
49．(1)
(2)①；②证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求得.
（2）①利用向量的坐标运算，用向量表示出向量.
②利用向量的坐标运算求得为定值.
（3）设，计算出的表达式，结合二次函数的性质求得的最小值.
(1)
依题意可知，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系.
则，
则，
由于，所以，所以，
设，则，
由于，所以，
所以，
所以.
(2)
①，
，
设，
则，
所以.
②，
为定值.
(3)
由于，故可设 ，
，
，
当时，的最小值为.
50．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答.
(1)
.
(2)
以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，因为矩形与矩形全等，且，
所以，则，，，，，
所以，，，故.
51．（1），；（2）.
【解析】
（1）利用向量的坐标运算即可求的坐标.
（2）由已知线性关系，结合坐标表示得到，解方程组即可.
【详解】
（1）根据题意，，，，
则,,,,，
（2）根据题意，若，即,,,，
则有，解可得，
故.