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新高考数学一轮复习精品教案第30讲 概率小题（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习精品教案第30讲 概率小题（含解析），共29页。教案主要包含了知识点总结，典型例题，技能提升训练等内容，欢迎下载使用。
第30讲 概率小题
【知识点总结】
一、必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下：
①必然要发生的事件叫必然事件；
②一定不发生的事件叫不可能事件；
③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率
在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作。对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0.
三、基本事件和基本事件空间
在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、古典概型
条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同
五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则 。
2、对立事件
事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作或..
3、互斥事件与对立事件的联系
对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。
六、条件概率与独立事件
（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件概率公式为 。
（2）若，即,称与为相互独立事件。 与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然。即相互独立，则有公式。
（3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为 ，则 .
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件 B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
【答案】C
【详解】
对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
【点睛】
本题考查事件类型的判断，属于基础题.
例2．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ）
A．72% B．74% C．75% D．76%
【答案】B
【详解】
该同学这两场投篮的命中率为.
故选：B.
例3．（2022·全国·高三专题练习）袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
基本事件总数为 (种)，此人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝60(种)，
故所求概率为 .
故选：D.
例4．（2021·河北衡水中学模拟预测）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我
国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件数量为
取出两种物质恰好相克的基本事件数量为
则取出两种物质恰好是相克关系的概率为
所以选B
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题错误的是（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，彼此互斥，则
D．若事件，满足，则A，是对立事件
【答案】BCD
【详解】
在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；
在B中，若，为两个互斥事件，则，若，不为两个互斥事件，则，故B错误；
在C中，若事件，，彼此互斥，则，故C错误；
在D中，若事件，满足，则，有可能不是对立事件，故D错误；
故选：BCD.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
【答案】
【详解】
由题意可知，
故答案为：
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据随机事件的定义判断即可
【详解】
①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习（理））在对口扶贫工作中，某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
组长甲被分到第一户，有两种情况，甲单独一人有种可能，甲两人一组有种可能，总共有可能，根据概率公式即可得解.
【详解】
分两种情况，甲一人一组和甲两人一组，
可得概率，
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ）
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
【答案】D
【分析】
由必然事件的含义：结果一定会出现，直接选择即可.
【详解】
因为12本书中只有2本英语书，从中任取3本，必然至少会有一本语文书，
故选：
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件的含义，属于基本概念的考查.
4．（2022·全国·高三专题练习）一个人有把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意的进行试开，若试开过的钥匙放在一边，试开次数为随机变量，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：，故选B.
考点：离散型随机变量及分布列.
5．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
第一场
第二场
第三场
投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.
【详解】
该同学3场投篮的命中率为，
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.9
【答案】D
【分析】
直接利用频率的公式求解.
【详解】
由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，
所以此人中靶的频率是.
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习（文））从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（ ）
A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件
C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件
【答案】A
【分析】
将取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，进而根据题意得到答案.
【详解】
取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.
于是A=M，B=Q，，
所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项
【详解】
对于A：事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为”一定不发生，故选项A不正确；
对于B：事件“向上的点数为或”发生，事件“向上的点数为”不一定发生，但事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为或” 一定发生，所以 ，故选项B不正确；
对于C：事件和事件不能同时发生，，故选项C不正确；
对于D：事件“向上的点数为”或事件“向上的点数为”发生，则事件“向上的点数为或”发生，故选项D正确；
故选：D
9．（2022·全国·高三专题练习）在一个掷骰子的试验中，事件A表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件B表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出事件后易得概率．
【详解】
由题意＝“向上的面的点数为2或4或5或6”，
所以其概率为．
故选：B．
10．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
写出事件包含的基本事件，可得概率．
【详解】
A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)=.
故选：B．
11．（2022·全国·高三专题练习）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【分析】
由事件的关系，可列式求解.
【详解】
设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为
所以
故选B.
【点睛】
本题主要考查了事件的基本关系，属于基础题.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合概率之和为求得乙获胜的概率.
【详解】
记“甲获胜”为事件，“和棋”为事件，“乙获胜”为事件，则，，所以
．
故选：D
13．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【详解】
因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
14．（2022·全国·高三专题练习）一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】C
【分析】
根据互斥事件定义依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B错误；
对于C，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D错误.
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件 D．B与C既是互斥事件也是对立事件
【答案】C
【分析】
利用事件必然事件，互斥事件，对立事件的概念判断各个选项是否正确.
【详解】
事件A，B，C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；A，B可能同时发生，故A，B不互斥，C选项正确，B与C既不是互斥事件也不是对立事件，D选项错误，因此选项A，B，D错，C正确.
16．（2022·全国·高三专题练习）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛取三局二胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
甲获得冠军有两种情况, 第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军, 第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，求出两种情况下的概率，相加即可.
【详解】
在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军有两种情况，
第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军，
第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，
故甲获得冠军的概率为.
故选：B.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
应用独立事件的乘法公式及对立事件概率的求法，求从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率.
【详解】
从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，
∴从两袋内各摸出1个球，2个球中至少有1个红球的概率为．
故选：C．
18．（2022·全国·高三专题练习）国庆节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用独立事件和对立事件的概率求解.
【详解】
因为甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，，且三人的行动相互之间没有影响，
所以这段时间内至少1人回老家过节的概率为，
故选：B
19．（2022·全国·高三专题练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件的概率公式即可求出的值.
【详解】
因为，，，
所以．
故选：C．
20．（2022·浙江·高三专题练习）对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解的概率．
【详解】
记事件 “方程有实根”．
由，得：
又基本事件共个，
其中事件包含19个基本事件，列举如下：
，，，，，，,,，，，，
，，，，，，，
所以，
故选：C.
21．（2022·全国·高三专题练习）一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据古典概型的概念及计算公式直接计算即可.
【详解】
一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，
基本事件总数，
摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数，
则摸出白球个数多于黑球个数的概率为，
故选：C.
22．（2022·全国·高三专题练习（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球，第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次.则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先分析第二次摸球时袋子里小球情况，直接求概率即可.
【详解】
第一次从袋子里随机取出一只蓝球，不放回，还剩下9个小球，其中蓝球3个，红球6个，
所以第二次取到红色小球的概率，
故选：C
23．（2022·全国·高三专题练习（理））中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（ ）
A．25本 B．30本 C．35本 D．40本
【答案】C
【分析】
设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案.
【详解】
设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后
该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法.
《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法.
从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为
根据题意可得，解得，
即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本.
故选：C
24．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据互斥事件概率计算公式直接计算.
【详解】
事件为掷出向上为偶数点，所以，
事件为掷出向上为3点，所以，
又事件，是互斥事件，
所以，
故选：B.
25．（2022·全国·高三专题练习）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设甲获得冠军为事件A，比赛进行了三局为事件B，分别求出P(AB)和P(A)，利用条件概率的计算公式求概率即可.
【详解】
设甲获得冠军为事件A，比赛进行了三局为事件B，
则P(AB)=，
P(A)=，
所以
故选：A.
26．（2022·全国·高三专题练习）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（ ）
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【分析】
利用条件概率的概率公式求解即可.
【详解】
设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，
由题意知：，，，
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为.
故选：A.
27．（2022·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.
【详解】
解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；
所以，
故选：C.
28．（2022·全国·高三专题练习（理））从一副52张的扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，则（ ）
A．事件与事件相互独立，事件与事件相互独立
B．事件与事件相互独立，事件与事件不相互独立
C．事件与事件不相互独立，事件与事件相互独立
D．事件与事件不相互独立，事件与事件不相互独立
【答案】C
【分析】
根据相互独立事件的判定方法，分别判定事件与，与之间的关系，即可求解.
【详解】
由题意，从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，
可得，所以，又由，
则，所以事件与事件不是独立事件；
又由，所以，又由，
所以，所以事件与事件是独立事件.
故选：C.
29．（2022·全国·高三专题练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
【答案】A
【分析】
根据相互独立事件的定义进行判断即可.
【详解】
有放回地摸球，第一次摸球与第二次摸球之间没有影响，即A与B，A与C均相互独立
故选：A
30．（2022·全国·高三专题练习（理））某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（ ）
A．0.49 B．0.73 C．0.79. D．0.91
【答案】C
【分析】
生产得到合格零件分为第一次就得到合格零件和第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件，从而可得答案.
【详解】
设事件: “第一次就得到合格零件”，设事件: “第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件”
所以,
所以生产时得到合格零件的概率是
故选：C
31．（2022·全国·高三专题练习）掷一枚硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，则有
A．与相互独立 B．
C．与互斥 D．
【答案】A
【分析】
根据独立事件和互斥事件的定义对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
对于选项A，由题意得事件的发生与否对事件的发生没有影响，所以与相互独立，所以A正确．
对于选项B，C，由于事件与可以同时发生，所以事件与不互斥，故选项B,C不正确．
对于选项D，由于与相互独立，因此，所以D不正确．
故选A．
【点睛】
“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
①“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．②“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．③“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥．
32．（2022·全国·高三专题练习）一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
机床停机分为加工零件时停机和加工零件时停机，分别求出加工零件时停机的概率和加工零件时停机的概率，两者的和即为这台机床停机的概率.
【详解】
由已知得一台机床有的时间加工零件A，的时间加工零件B，
则加工零件A停机的概率是，加工零件B停机的概率是，
即这台机床停机的概率是.
故选:.
33．（2022·全国·高三专题练习）一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球､2个黑球.现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出摸一次摸出白球的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意从袋子中摸1个球，摸出的是白球的概率，现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率为
故选：C
34．（2022·全国·高三专题练习）某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“
电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用独立事件的概率公式可得关于的方程组，从而可求的值.
【详解】
设该新生“进入篮球社团”为事件，“进入电子竞技社团”为事件，
“进入国学社团”为事件，
则：“三个社团他都能进入”的概率为，
“至少进入一个社团”的概率为，
整理得到 ，故，
故选：A.
35．（2022·全国·高三专题练习）箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
说明前次都是黑球，最后一次是白球，故概率为.
二、多选题
36．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】BCD
【分析】
根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错.
【详解】
由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，
某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，
掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，
某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，
故选：BCD.
37．（2022·全国·高三专题练习）设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
由B发生A必定发生，可知，依次判断即得解
【详解】
∵B发生A必定发生，∴，，，故A，D不正确；，故B正确；，故C正确．
故选：BC
38．（2022·江苏·高三专题练习）设，，为三个事件，下列各式意义表述正确的是（ ）
A．表示事件不发生且事件和事件同时发生
B．表示事件，，中至少有一个没发生
C．表示事件，至少有一个发生
D．表示事件，，恰有一个发生
【答案】ACD
【分析】
根据对立事件、互斥事件的概念对选项进行判断，即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于，表示事件不发生且事件和事件同时发生，正确；
对于，表示事件、、至少一个发生，则表示事件都没有发生，错误；
对于，表示事件，至少有一个发生，正确；
对于，表示事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，则表示事件，，恰有一个发生，正确，
故选：．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】ACD
【分析】
利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可．
【详解】
解：A中：，故A正确；
B中：设A，B独立，则，而显然不一定为，故B错误；
C中：A，B独立，则，则，故C正确；
D中：A，B互斥，，则根据条件概率公式，故D正确.
故选：ACD．
40．（2022·全国·高三专题练习）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】
,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
三、双空题
41．（2022·全国·高三专题练习）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3
个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．
【答案】
【分析】
“取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率； “至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．
【详解】
取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球故取得两个同颜色的玻璃球的概率；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”
故至少取得一个红玻璃球的概率
故答案为：；
【点睛】
本题考查互斥事件的概率公式；对立事件的概率公式，属于基础题．
42．（2022·全国·高三专题练习）某射击运动员每次击中目标的概率为，现连续射击两次．
（1）已知第一次击中，则第二次击中的概率是_________ ；
（2）在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_________ ．
【答案】
【分析】
（1）根据独立事件的概率即可直接求出结果；
（2）求出仅击中一次的概率，进而结合条件概率公式即可求出结果.
【详解】
设第一次击中为事件，则，
第二次击中为事件，则，
（1）由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，因此已知第一次击中，则第二次击中的概率，
（2）仅击中一次的概率为
在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是,
故答案为：；.
四、填空题
43．（2022·浙江·高三专题练习）给出下列4个说法：
①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；
②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；
③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．
其中正确的说法是________．(填序号)
【答案】③
【分析】
对于①，由次品率为0.05，可知出现次品的概率是0.05，从而可对①进行判断；对于②，由题意可知出现正面向上的频率是；对于③，由频率的定义判断即可；对于④，由概率与频率的关系判断即可
【详解】
次品率为0.05，即出现次品的概率(可能性)是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①错；
在100次具体的试验中，正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故②错；
③由频率的定义可知出现1点的频率是，所以③正确；
由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故④错．
故答案为：③
44．（2022·全国·高三专题练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为
_______.
【答案】0.25
【分析】
找到质量在497.5～501.5 g之间的袋数由频率可得答案.
【详解】
质量在497.5～501.5 g之间的有498， 501， 500，501，499共5袋，
所以其频率为＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25.
故答案为：0.25.
45．（2022·全国·高三专题练习）现有，两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中每人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则___________.
【答案】
【分析】
事件表示“队得2分”，事件表示 “队得1分”，由次独立重复实验中事件A恰好发生次概率计算公式求出，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出.
【详解】
解：“队得2分”为事件，即队三人中有一人答错，其余两人答对，.
“队得1分”为事件，即队三人中有两人答错，剩余一人答对，
.
表示“队得2分，队得1分”，即事件，同时发生，则.
故答案为：
46．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20，0.25，0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为，，，
，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是___________.
【答案】0.034
【分析】
根据互斥事件与条件概率计算．
【详解】
不合格品可能来自四条生产线的任一条，因此所求概率为：
．
故答案为：．
47．（2022·浙江·高三专题练习）祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“”的概率为_______．
【答案】
【分析】
根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.
【详解】
依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a，b的不同结果是：
(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，
事件“”记为M，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，
于是得，
所以事件“”的概率为.
故答案为：
48．（2022·浙江·高三专题练习）袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黑球，现随机从中不放回地依次摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为_________________．
【答案】
【分析】
先由题中条件，确定总的情况个数，以及“第二次摸到红球”对应的情况个数，个数比即为所求概率.
【详解】
因为三个小球的大小质地完全相同，
所以从袋中不放回的依次摸出2个球，所包含的总的情况有：第一次红球第二次黑球，第一次黑球第二次红球，第一次和第二次都是黑球，共种情况；
满足第二次摸到红球的只有一种，
故所求的概率为．
故答案为：
49．（2022·上海·高三专题练习）盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．
【答案】
【详解】
试题分析：没有偶数的概率为，所以所求概率为
考点：古典概型概率
50．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
【答案】
【分析】
利用条件概率公式即可得到结果.
【详解】
设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.
故答案为：
51．（2022·全国·高三专题练习）抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设，，则______.
【答案】
【分析】
利用条件概率的公式直接求解即可
【详解】
因为抛掷骰子2次共有36种情况，其中和为10的有（4，6），（5，5），（6，4）三种情况，当和为10时，的有1种，
所以，，
所以.
故答案为：
第30讲 概率小题
【知识点总结】
一、必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下：
①必然要发生的事件叫必然事件；
②一定不发生的事件叫不可能事件；
③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率
在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作。对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0.
三、基本事件和基本事件空间
在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、古典概型
条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同
五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则 。
2、对立事件
事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作或..
3、互斥事件与对立事件的联系
对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。
六、条件概率与独立事件
（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件概率公式为 。
（2）若，即,称与为相互独立事件。 与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然。即相互独立，则有公式。
（3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为 ，则 .
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件 B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
【答案】C
【详解】
对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
【点睛】
本题考查事件类型的判断，属于基础题.
例2．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ）
A．72% B．74% C．75% D．76%
【答案】B
【详解】
该同学这两场投篮的命中率为.
故选：B.
例3．（2022·全国·高三专题练习）袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
基本事件总数为 (种)，此人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝60(种)，
故所求概率为 .
故选：D.
例4．（2021·河北衡水中学模拟预测）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我
国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件数量为
取出两种物质恰好相克的基本事件数量为
则取出两种物质恰好是相克关系的概率为
所以选B
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题错误的是（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，彼此互斥，则
D．若事件，满足，则A，是对立事件
【答案】BCD
【详解】
在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；
在B中，若，为两个互斥事件，则，若，不为两个互斥事件，则，故B错误；
在C中，若事件，，彼此互斥，则，故C错误；
在D中，若事件，满足，则，有可能不是对立事件，故D错误；
故选：BCD.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
【答案】
【详解】
由题意可知，
故答案为：
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据随机事件的定义判断即可
【详解】
①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习（理））在对口扶贫工作中，某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
组长甲被分到第一户，有两种情况，甲单独一人有种可能，甲两人一组有种可能，总共有可能，根据概率公式即可得解.
【详解】
分两种情况，甲一人一组和甲两人一组，
可得概率，
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ）
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
【答案】D
【分析】
由必然事件的含义：结果一定会出现，直接选择即可.
【详解】
因为12本书中只有2本英语书，从中任取3本，必然至少会有一本语文书，
故选：
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件的含义，属于基本概念的考查.
4．（2022·全国·高三专题练习）一个人有把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意的进行试开，若试开过的钥匙放在一边，试开次数为随机变量，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：，故选B.
考点：离散型随机变量及分布列.
5．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
第一场
第二场
第三场
投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.
【详解】
该同学3场投篮的命中率为，
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.9
【答案】D
【分析】
直接利用频率的公式求解.
【详解】
由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，
所以此人中靶的频率是.
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习（文））从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（ ）
A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件
C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件
【答案】A
【分析】
将取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，进而根据题意得到答案.
【详解】
取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.
于是A=M，B=Q，，
所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项
【详解】
对于A：事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为”一定不发生，故选项A不正确；
对于B：事件“向上的点数为或”发生，事件“向上的点数为”不一定发生，但事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为或” 一定发生，所以 ，故选项B不正确；
对于C：事件和事件不能同时发生，，故选项C不正确；
对于D：事件“向上的点数为”或事件“向上的点数为”发生，则事件“向上的点数为或”发生，故选项D正确；
故选：D
9．（2022·全国·高三专题练习）在一个掷骰子的试验中，事件A表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件B表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出事件后易得概率．
【详解】
由题意＝“向上的面的点数为2或4或5或6”，
所以其概率为．
故选：B．
10．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
写出事件包含的基本事件，可得概率．
【详解】
A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)=.
故选：B．
11．（2022·全国·高三专题练习）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【分析】
由事件的关系，可列式求解.
【详解】
设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为
所以
故选B.
【点睛】
本题主要考查了事件的基本关系，属于基础题.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合概率之和为求得乙获胜的概率.
【详解】
记“甲获胜”为事件，“和棋”为事件，“乙获胜”为事件，则，，所以
．
故选：D
13．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【详解】
因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
14．（2022·全国·高三专题练习）一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】C
【分析】
根据互斥事件定义依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B错误；
对于C，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C正确；
对于D，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D错误.
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件 D．B与C既是互斥事件也是对立事件
【答案】C
【分析】
利用事件必然事件，互斥事件，对立事件的概念判断各个选项是否正确.
【详解】
事件A，B，C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；A，B可能同时发生，故A，B不互斥，C选项正确，B与C既不是互斥事件也不是对立事件，D选项错误，因此选项A，B，D错，C正确.
16．（2022·全国·高三专题练习）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛取三局二胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
甲获得冠军有两种情况, 第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军, 第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，求出两种情况下的概率，相加即可.
【详解】
在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军有两种情况，
第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军，
第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，
故甲获得冠军的概率为.
故选：B.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
应用独立事件的乘法公式及对立事件概率的求法，求从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率.
【详解】
从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，
∴从两袋内各摸出1个球，2个球中至少有1个红球的概率为．
故选：C．
18．（2022·全国·高三专题练习）国庆节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用独立事件和对立事件的概率求解.
【详解】
因为甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，，且三人的行动相互之间没有影响，
所以这段时间内至少1人回老家过节的概率为，
故选：B
19．（2022·全国·高三专题练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件的概率公式即可求出的值.
【详解】
因为，，，
所以．
故选：C．
20．（2022·浙江·高三专题练习）对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解的概率．
【详解】
记事件 “方程有实根”．
由，得：
又基本事件共个，
其中事件包含19个基本事件，列举如下：
，，，，，，,,，，，，
，，，，，，，
所以，
故选：C.
21．（2022·全国·高三专题练习）一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据古典概型的概念及计算公式直接计算即可.
【详解】
一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，
基本事件总数，
摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数，
则摸出白球个数多于黑球个数的概率为，
故选：C.
22．（2022·全国·高三专题练习（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球，第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次.则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先分析第二次摸球时袋子里小球情况，直接求概率即可.
【详解】
第一次从袋子里随机取出一只蓝球，不放回，还剩下9个小球，其中蓝球3个，红球6个，
所以第二次取到红色小球的概率，
故选：C
23．（2022·全国·高三专题练习（理））中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（ ）
A．25本 B．30本 C．35本 D．40本
【答案】C
【分析】
设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案.
【详解】
设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后
该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法.
《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法.
从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为
根据题意可得，解得，
即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本.
故选：C
24．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据互斥事件概率计算公式直接计算.
【详解】
事件为掷出向上为偶数点，所以，
事件为掷出向上为3点，所以，
又事件，是互斥事件，
所以，
故选：B.
25．（2022·全国·高三专题练习）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设甲获得冠军为事件A，比赛进行了三局为事件B，分别求出P(AB)和P(A)，利用条件概率的计算公式求概率即可.
【详解】
设甲获得冠军为事件A，比赛进行了三局为事件B，
则P(AB)=，
P(A)=，
所以
故选：A.
26．（2022·全国·高三专题练习）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（ ）
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【分析】
利用条件概率的概率公式求解即可.
【详解】
设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，
由题意知：，，，
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为.
故选：A.
27．（2022·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.
【详解】
解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；
所以，
故选：C.
28．（2022·全国·高三专题练习（理））从一副52张的扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，则（ ）
A．事件与事件相互独立，事件与事件相互独立
B．事件与事件相互独立，事件与事件不相互独立
C．事件与事件不相互独立，事件与事件相互独立
D．事件与事件不相互独立，事件与事件不相互独立
【答案】C
【分析】
根据相互独立事件的判定方法，分别判定事件与，与之间的关系，即可求解.
【详解】
由题意，从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，
可得，所以，又由，
则，所以事件与事件不是独立事件；
又由，所以，又由，
所以，所以事件与事件是独立事件.
故选：C.
29．（2022·全国·高三专题练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
【答案】A
【分析】
根据相互独立事件的定义进行判断即可.
【详解】
有放回地摸球，第一次摸球与第二次摸球之间没有影响，即A与B，A与C均相互独立
故选：A
30．（2022·全国·高三专题练习（理））某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（ ）
A．0.49 B．0.73 C．0.79. D．0.91
【答案】C
【分析】
生产得到合格零件分为第一次就得到合格零件和第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件，从而可得答案.
【详解】
设事件: “第一次就得到合格零件”，设事件: “第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件”
所以,
所以生产时得到合格零件的概率是
故选：C
31．（2022·全国·高三专题练习）掷一枚硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，则有
A．与相互独立 B．
C．与互斥 D．
【答案】A
【分析】
根据独立事件和互斥事件的定义对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
对于选项A，由题意得事件的发生与否对事件的发生没有影响，所以与相互独立，所以A正确．
对于选项B，C，由于事件与可以同时发生，所以事件与不互斥，故选项B,C不正确．
对于选项D，由于与相互独立，因此，所以D不正确．
故选A．
【点睛】
“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
①“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．②“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．③“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥．
32．（2022·全国·高三专题练习）一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
机床停机分为加工零件时停机和加工零件时停机，分别求出加工零件时停机的概率和加工零件时停机的概率，两者的和即为这台机床停机的概率.
【详解】
由已知得一台机床有的时间加工零件A，的时间加工零件B，
则加工零件A停机的概率是，加工零件B停机的概率是，
即这台机床停机的概率是.
故选:.
33．（2022·全国·高三专题练习）一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球､2个黑球.现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出摸一次摸出白球的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意从袋子中摸1个球，摸出的是白球的概率，现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率为
故选：C
34．（2022·全国·高三专题练习）某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“
电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用独立事件的概率公式可得关于的方程组，从而可求的值.
【详解】
设该新生“进入篮球社团”为事件，“进入电子竞技社团”为事件，
“进入国学社团”为事件，
则：“三个社团他都能进入”的概率为，
“至少进入一个社团”的概率为，
整理得到 ，故，
故选：A.
35．（2022·全国·高三专题练习）箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
说明前次都是黑球，最后一次是白球，故概率为.
二、多选题
36．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【答案】BCD
【分析】
根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错.
【详解】
由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，
某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，
掷一枚硬币出现反面的概率为，C错误，
某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，
故选：BCD.
37．（2022·全国·高三专题练习）设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
由B发生A必定发生，可知，依次判断即得解
【详解】
∵B发生A必定发生，∴，，，故A，D不正确；，故B正确；，故C正确．
故选：BC
38．（2022·江苏·高三专题练习）设，，为三个事件，下列各式意义表述正确的是（ ）
A．表示事件不发生且事件和事件同时发生
B．表示事件，，中至少有一个没发生
C．表示事件，至少有一个发生
D．表示事件，，恰有一个发生
【答案】ACD
【分析】
根据对立事件、互斥事件的概念对选项进行判断，即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于，表示事件不发生且事件和事件同时发生，正确；
对于，表示事件、、至少一个发生，则表示事件都没有发生，错误；
对于，表示事件，至少有一个发生，正确；
对于，表示事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，则表示事件，，恰有一个发生，正确，
故选：．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】ACD
【分析】
利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可．
【详解】
解：A中：，故A正确；
B中：设A，B独立，则，而显然不一定为，故B错误；
C中：A，B独立，则，则，故C正确；
D中：A，B互斥，，则根据条件概率公式，故D正确.
故选：ACD．
40．（2022·全国·高三专题练习）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】
,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
三、双空题
41．（2022·全国·高三专题练习）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3
个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．
【答案】
【分析】
“取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率； “至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．
【详解】
取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球故取得两个同颜色的玻璃球的概率；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”
故至少取得一个红玻璃球的概率
故答案为：；
【点睛】
本题考查互斥事件的概率公式；对立事件的概率公式，属于基础题．
42．（2022·全国·高三专题练习）某射击运动员每次击中目标的概率为，现连续射击两次．
（1）已知第一次击中，则第二次击中的概率是_________ ；
（2）在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_________ ．
【答案】
【分析】
（1）根据独立事件的概率即可直接求出结果；
（2）求出仅击中一次的概率，进而结合条件概率公式即可求出结果.
【详解】
设第一次击中为事件，则，
第二次击中为事件，则，
（1）由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，因此已知第一次击中，则第二次击中的概率，
（2）仅击中一次的概率为
在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是,
故答案为：；.
四、填空题
43．（2022·浙江·高三专题练习）给出下列4个说法：
①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；
②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；
③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．
其中正确的说法是________．(填序号)
【答案】③
【分析】
对于①，由次品率为0.05，可知出现次品的概率是0.05，从而可对①进行判断；对于②，由题意可知出现正面向上的频率是；对于③，由频率的定义判断即可；对于④，由概率与频率的关系判断即可
【详解】
次品率为0.05，即出现次品的概率(可能性)是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①错；
在100次具体的试验中，正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故②错；
③由频率的定义可知出现1点的频率是，所以③正确；
由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故④错．
故答案为：③
44．（2022·全国·高三专题练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为
_______.
【答案】0.25
【分析】
找到质量在497.5～501.5 g之间的袋数由频率可得答案.
【详解】
质量在497.5～501.5 g之间的有498， 501， 500，501，499共5袋，
所以其频率为＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25.
故答案为：0.25.
45．（2022·全国·高三专题练习）现有，两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中每人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则___________.
【答案】
【分析】
事件表示“队得2分”，事件表示 “队得1分”，由次独立重复实验中事件A恰好发生次概率计算公式求出，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出.
【详解】
解：“队得2分”为事件，即队三人中有一人答错，其余两人答对，.
“队得1分”为事件，即队三人中有两人答错，剩余一人答对，
.
表示“队得2分，队得1分”，即事件，同时发生，则.
故答案为：
46．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20，0.25，0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为，，，
，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是___________.
【答案】0.034
【分析】
根据互斥事件与条件概率计算．
【详解】
不合格品可能来自四条生产线的任一条，因此所求概率为：
．
故答案为：．
47．（2022·浙江·高三专题练习）祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“”的概率为_______．
【答案】
【分析】
根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.
【详解】
依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a，b的不同结果是：
(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，
事件“”记为M，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，
于是得，
所以事件“”的概率为.
故答案为：
48．（2022·浙江·高三专题练习）袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黑球，现随机从中不放回地依次摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为_________________．
【答案】
【分析】
先由题中条件，确定总的情况个数，以及“第二次摸到红球”对应的情况个数，个数比即为所求概率.
【详解】
因为三个小球的大小质地完全相同，
所以从袋中不放回的依次摸出2个球，所包含的总的情况有：第一次红球第二次黑球，第一次黑球第二次红球，第一次和第二次都是黑球，共种情况；
满足第二次摸到红球的只有一种，
故所求的概率为．
故答案为：
49．（2022·上海·高三专题练习）盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．
【答案】
【详解】
试题分析：没有偶数的概率为，所以所求概率为
考点：古典概型概率
50．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
【答案】
【分析】
利用条件概率公式即可得到结果.
【详解】
设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.
故答案为：
51．（2022·全国·高三专题练习）抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设，，则______.
【答案】
【分析】
利用条件概率的公式直接求解即可
【详解】
因为抛掷骰子2次共有36种情况，其中和为10的有（4，6），（5，5），（6，4）三种情况，当和为10时，的有1种，
所以，，
所以.
故答案为：
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