高考数学三轮冲刺卷：空间向量的概念与表示（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：空间向量的概念与表示（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 下列有关空间向量的命题是真命题的是
A. 单位向量的模都为 ，且共线
B. 若 ，则 ， 的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量 ， 满足 ，且 与 同向，则
D. 若两个非零向量 与 满足 ，则

2. 下列说法中正确的是
A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 基底 ，， 中基向量与基底 ，， 中基向量对应相等

3. 对于空间任意一点 和不共线的三点 ，，，且有 ，则 ，， 是 ，，， 四点共面的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件

4. 下列各组向量共面的是
A.
B.
C.
D.

5. 已知空间四边形 ，， 分别是 ， 的中点，连接 ，，，则 等于
A. B. C. D.

6. 为空间四个点，一定使得 ，， 为空间的一个基底的条件是
A. 四点共面，但不共线
B. 四点不共线
C. 四点中任意三点不共线
D. 四点不共面

7. 已知空间向量 ， 满足 ，且 ， 的夹角为 ， 为空间直角坐标系的原点，点 ， 满足 ，，则 的面积为
A. B. C. D.

8. 已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角是
A. B. C. D.

9. 在正方体 - 中，若 ，则
A. B. C. D.

10. 在空间四边形 中， 等于
A. B. C. D.

11. 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ，，，则下列向量中与 相等的向量是
A. B. C. D.

12. 在棱长为 的正四面体 中，， 分别是 ， 的中点，则
A. B. C. D.

13. 如图，在四面体 中，设 是 的中点，则 等于
A. B. C. D.

14. 已知 ，，则 的最小值为
A. B. C. D.

15. 如图， 是四面体， 是 的重心， 是 上一点，且 ，则
A. B.
C. D.

16. 已知矩形 中，，，将矩形 沿对角线 折起，使平面 与平面 垂直，则
A. B. C. D.

17. 如图，在空间四边形 中，，，，点 为 的中点，点 为 的中点，则 等于
A. B.
C. D.

18. 下列命题正确的是
A. 若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
B. 向量 、 、 共面就是它们所在的直线共面
C. 零向量没有确定的方向
D. 若 ，则存在惟一的实数 使得

19. 对于空间一点 和不共线的三点 ，，，有 ，则
A. ，，， 四点共面B. ，，， 四点共面
C. ，，， 四点共面D. ，，，， 五点共面

20. 已知两非零向量 ，，且 与 不共线，设 （，且 ），则
A. B.
C. 与 ， 共面D. 以上三种情况均有可能

二、填空题（共5小题；）
21. 巳知 ，， 三点不共线， 是平面 外任意一点，若由 确定的点 与 ，， 三点共面，则 ．

22. 已知 ，， 是空间中两两垂直的单位向量，，，则 与 的夹角为 ．

23. 在平面内若一直线 垂直于 轴，则 的单位方向向量可表示为 ．在空间若一直线 垂直于平面 ，则 的单位方向向量可表示为 ．

24. 有下列命题：
在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确命题的序号是 ．

25. 设平行四边形 的对角线 和 交于 ， 为空间任意一点，如图所示，若 ，则 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 设 ，，，且 ，，，求向量 的模．

27. 已知 、 、 是空间中不共面的三个向量，，，，求证：向量 ，， 共面．

28. 已知 ，， 三点不共线，对平面 外的任一点 ，若点 满足 ．
（1）判断 ，， 三个向量是否共面；
（2）判断点 是否在平面 内．

29. 如图所示，空间四边形 中，， 分别是 ， 的重心，设 ，，，试用向量 ，， 表示向量 ，．

30. 如图，设 是平行四边形 所在平面外一点， 是平行四边形对角线 和 的交点， 是 的中点，求下列各式中 ， 的值．
（1）；
（2）．
答案
1. D【解析】选项 A 中，单位向量模为 ，但不一定共线；
选项 B 中，模相等，但方向不一定相同或相反；
选项 C 中，两个向量只能说相等或不相等，不能比较大小；
选项 D 中，，则 ，所以 ．
2. C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；
B 项，空间基底有无数个；
D 项中因为基底不惟一，所以 D 错．
3. A【解析】对于空间任意以定点 ，使得点 ，，， 共面时有 ，所以 ，， 是 ，，， 四点不必要条件．
4. A
5. A
【解析】因为 是 的中点，所以 ．
所以
6. D
7. B【解析】，同理 ，
则 ，
从而有 ，
所以 的面积 ．
8. B【解析】因为 ，


所以 ，
所以 ．
9. C【解析】．
10. C
【解析】．
11. A【解析】提示：．
12. D【解析】因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以

13. D
14. C【解析】因为 ，，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ．
15. D
【解析】因为 是 的重心，
所以

所以

，
所以

16. A【解析】过点 ， 分别向 作垂线，垂足分别为 ，，则可得 ，，，，．
由于 ，
所以

所以 ．
故选A．
17. B【解析】
18. C
19. B【解析】由 得 ，
即 ，
因为 ，， 共面，又它们有公共点 ，
所以 ，，， 四点共面．
20. C
【解析】假设 与 共线，则设 ，
所以 可变为 ，
所以 与 共线，这与 与 不共线相矛盾，故假设不成立，
即 A 项不正确，同理 B 项不正确，则 D 项也错误，故选 C．
21.
【解析】提示： 时，，，， 四点共面．
22.
【解析】因为 ，， 是空间中两两垂直的单位向量，所以 ，，，
所以 ，故 ．
23.
24.
【解析】如图， 连起来并不是圆柱的母线，所以 不对，同理 不对．
都正确．
25.
【解析】 为 ， 的中点，
由中点公式，得 ，．
，从而 ．
26.
所以 ．
27. 设 ，则 ，
所以 解得
所以 ，
所以向量 ，， 共面．
28. （1） 由题意知 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，， 共面．
（2） 由（）知 ，， 共面且过同一点 ，
所以 ，，， 四点共面．
所以点 在平面 内．
29. 设 中点为 ，连接 ，，，，则 在 上， 在 上．
因为 ，而 ，，，

30. （1） 因为
，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
即 ，
所以 ，．