湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列练习题

1.3.2　等比数列与指数函数

A级 必备知识基础练

1.已知等比数列{an},a2a9=8,a5=2,则公比q为(　　)

A. B.2 C. D.4

2.在等比数列{an}中,a4=24,a6=6,则a5=(　　)

A.12 B.-12 

C.±12 D.15

3.在等比数列{an}中,若a2a4a6a8=16,则a5=(　　)

A.-2 B.3 

C.-2或2 D.4

4.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)

A.a1,a3,a9成等比数列

B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列

D.a3,a6,a9成等比数列

5.(多选题)已知在等比数列{an}中,a1=1,q=2,则(　　)

A.数列{a2n}是等比数列

B.数列{}是递增数列

C.数列{log2an}是等差数列

D.数列{an}是递增数列

6.已知{an}是等比数列,a1=,a2=4,则a3=　　　　　,a1a2a3a4a5a6=　　　　　. 

B级 关键能力提升练

7.设无穷等比数列{an},则“0<a2<a1”是“{an}为递减数列”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

8.在正项等比数列{an}中,若a3a7a8=8,a2+a10=5,则公比q=(　　)

A. B.或(

C. D.或(

9.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn.若=2,则=(　　)

A.512 B.32 C.8 D.2

10.(多选题)设{an}是公比为2的等比数列,则下列四个选项正确的有(　　)

A.{}是公比为的等比数列

B.{a2n}是公比为4的等比数列

C.{2an}是公比为4的等比数列

D.{anan+1}是公比为2的等比数列

11.记Sn为数列{an}的前n项和,且满足a1<0,Sn=λan-1,若数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围为(　　)

A.(1,+∞) B.(-∞,0)

C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

12.已知在各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足anan+1an+2>的最大正整数n的值为　　　　　. 

13.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则=　　　　　. 

14.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an-2)=5an-1,求数列{an}的通项公式.

C级 学科素养创新练

15.在各项都为正数的等比数列{an}中,已知a1=512,其前n项积为Tn,且T13=T6,则Tn取得最大值时,n的值是(　　)

A.9 B.8或9

C.10或11 D.9或10

1.3.2　等比数列与指数函数

1.B　因为a2a9=8,所以a5a6=a2a9=8.

又因为a5=2,所以a6=4,所以公比q=2,故选B.

2.C　根据题意,可知=a4a6=24×6=144,解得a5=±12,故选C.

3.C　由等比数列的性质,知a2a4a6a8==16,可得a5=±2.

4.D　设等比数列{an}的公比为q,则a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,满足(a1q5)2=a1q2·a1q8,即(a6)2=a3a9.故D正确.

5.ACD　在等比数列{an}中,a1=1,q=2,所以an=2n-1.

a2n=22n-1,数列{a2n}依旧是等比数列,选项A正确;

=()n-1,显然数列{}是递减数列,选项B错误;

log2an=log22n-1=n-1,显然数列{log2an}是等差数列,选项C正确;

由于a1>0,q>1,因此选项D正确.

6.32　239　因为数列{an}是等比数列,且a1=,a2=4,

所以等比数列{an}的公比q==8,所以a3=a2q=4×8=32.所以a1a2a3a4a5a6=·a1q5=325××85=239.

7.A　{an}为无穷等比数列,若0<a2<a1,则公比q满足0<q=<1,所以{an}为递减数列;反之,若无穷等比数列{an}是递减数列,则它的第一项和第二项可以为负,

如-,-,-,-1,-2,…,所以不一定得到0<a2<a1.

故“0<a2<a1”是“{an}为递减数列”的充分而不必要条件,故选A.

8.D　由a3a7a8=8得a1q2·a1q6·a1q7=(a1q5)3==8,即a6=2.则a2a10==4,又a2+a10=5,解得

∵q>0,∴q=(或q=(=(=(.

9.A　因为A9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,

所以=()9=29=512.

10.AB　由于数列{an}是公比为2的等比数列,则对任意的n∈N+,an≠0,且公比为q==2.

,即数列{}是公比为的等比数列,A选项正确;

=q2=4,即数列{a2n}是公比为4的等比数列,B选项正确;

=q=2,即数列{2an}是公比为2的等比数列,C选项错误;

=q2=4,即数列{anan+1}是公比为4的等比数列,D选项错误.故选AB.

11.B　由Sn=λan-1,及Sn-1=λan-1-1(n≥2),作差可得an=λan-λan-1(n≥2),即(λ-1)an=λan-1(n≥2).

因为a1<0,所以λ≠1,所以(n≥2),所以{an}为等比数列.

若数列{an}为递增数列,则0<<1,解得λ<0.故选B.

12.4　∵a2a4=4=,且a3>0,∴a3=2.

又a1+a2+a3=+2=14,

∴=-3(舍去)或=2,即q=,a1=8.

又an=a1qn-1=8×()n-1=()n-4,

∴anan+1an+2=()3n-9>,即23n-9<9,

∴n的最大值为4.

13.-　因为,

又a8a9=a7a10,所以=-.

14.解设数列{an}的公比为q,首项为a1.

因为=a10,2(an+an-2)=5an-1,

所以

由①得a1=q,由②得q=2或q=.

又因为数列{an}为递增数列,所以a1=q=2,所以an=2n.

15.D　(方法1)∵a1=512,T13=T6,

∴a7a8a9a10a11a12a13=1,

∴=1,∴a10=a1q9=1,得q=.

∵a10=1,q=,∴T9=T10,

∴当n=9或10时,Tn有最大值.故选D.

(方法2)∵a1=512,q=,

∴an=a1·qn-1=512×()n-1=210-n.

解得9≤n≤10.

∴当n=9或10时,Tn有最大值.故选D.