2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）

2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是　　

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为　　

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8

3．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为　　

A． B． C． D．

4．双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

5．已知直线，，若，则实数的值为　　

A．3 B．0或3 C．1 D．或1

6．圆与圆的位置关系为　　

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于　　

A．8.60 B．8.80 C．9.25 D．9.52

8．执行如图所示的程序框图，如果输入的，，那么输出的的最大值为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

9．已知实数，满足上，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为　　

A．9 B．25 C．16 D．12

10．设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的值为　　

A． B．5 C． D．10

11．已知在菱形中，，，把沿折起到△位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是　　

A． B． C． D．

12．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率　　

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　　名学生．

14．设；．若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 　　．

15．在，上随机取一个实数，则“”发生的概率为 　　．

16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，则该双曲线离心率为 　　时，△为等边三角形．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17．（10分）已知函数．

（1）当时，函数在上单调，求的取值范围；

（2）若的解集为，求关于的不等式的解集．

18．（12分）微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数．小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．

（1）若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人？

（2）某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到．

19．（12分）已知关于，的方程．

（1）若方程表示圆，求的取值范围；

（2）当时，曲线与直线相交于，两点，求的值．

20．（12分）如图，点，，，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点．

（1）求抛物线的方程和的坐标；

（2）求的坐标及所在的直线方程．

21．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．

（1）设平面平面，证明：；

（2）若二面角的余弦值为，求长．

22．（12分）已知椭圆的离心率为，设，是上的动点，以为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆交于点、，若存在圆与两坐标轴都相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；

（3）证明：为定值？并求的最大值．

2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是　　

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

【解析】：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，

系统抽样的分段间隔为，

号学生被抽到，

则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，

设其数列为，则，

当时，，即在第62组抽到616．

故选：．

2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为　　

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8

【解析】：乙组数据平均数；

；

甲组数据可排列成：9，12，，24，27．所以中位数为：，

．

故选：．

3．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：因为直线的倾斜角为，

所以该直线斜率不存在，与轴垂直，

又因为直线过点，

所以直线的方程为．

故选：．

4．双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

【解析】：双曲线的渐近线方程是，整理可得．

故选：．

5．已知直线，，若，则实数的值为　　

A．3 B．0或3 C．1 D．或1

【解析】：因为，

所以，解得或3．

故选：．

6．圆与圆的位置关系为　　

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【解析】：根据题意，圆，其圆心为，半径，

圆，其圆心为，半径，

圆心距，有，

两圆外切，

故选：．

7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于　　

A．8.60 B．8.80 C．9.25 D．9.52

【解析】：由题意可知：，，

所以，解得．

故选：．

8．执行如图所示的程序框图，如果输入的，，那么输出的的最大值为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是的最大值，

画出可行域如图：

当时，的值最大，且最大值为3．

故选：．

9．已知实数，满足上，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为　　

A．9 B．25 C．16 D．12

【解析】：因为，

所以，

又因为，

所以，，

又因为恒成立，

即恒成立，

所以，

又因为，

当且仅当，即，时，等号成立．

所以，

所以的最大值为：25．

故选：．

10．设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的值为　　

A． B．5 C． D．10

【解析】：抛物线的焦点为，

设，，以为直径的圆过点，

，

，，，

，

解得，

，；

．

故选：．

11．已知在菱形中，，，把沿折起到△位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是　　

A． B． C． D．

【解析】：过球心作平面，则为等边三角形的中心，

四边形是菱形，，是等边三角形，

设，交于点，则，

△和是全等的正三角形，

；

，，，，，

球的半径．

外接球的体积．

故选：．

12．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率　　

A． B． C． D．

【解析】：设椭圆的右焦点为，焦距为．连接，．

根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，

所以，，则，

由余弦定理可得：，

所以，

所以椭圆的离心率．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　15　名学生．

【解析】：高一、高二、高三年级的学生人数之比为，

高二在总体中所占的比例是，

用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，

要从高二抽取，

故答案为：15

14．设；．若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 　，　．

【解析】：：由，两边平方得，解得：．

，化为：，解得．

若非是非的必要而不充分条件，则是的充分不必要条件．

，解得．

则实数的取值范围为，．

故答案为：，．

15．在，上随机取一个实数，则“”发生的概率为 　　．

【解析】：由题意知，在，上满足事件“”的范围是，，，

由几何概型的公式得到所求概率为．

故答案为：．

16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，则该双曲线离心率为 　　时，△为等边三角形．

【解析】：连结，

是圆的直径，

，即，

又△是等边三角形，，

，

因此，在△中，，，

．

根据双曲线的定义，得，

解得，

双曲线的离心率为．

故答案为：．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17．（10分）已知函数．

（1）当时，函数在上单调，求的取值范围；

（2）若的解集为，求关于的不等式的解集．

【解析】：（1）当时，的对称轴为，

由于函数在上单调，

所以或，

解得或，

所以的取值范围是，，．

（2）由于的解集为，

所以，所以，

所以不等式，即，

所以，，

解得或，

所以不等式的解集为．

18．（12分）微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数．小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．

（1）若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人？

（2）某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到．

【解析】：（1）由题意得好友中男性有72人，女性有48人，

选取30人的样本，则应选取女性人；

（2）由解得，

则运动平均步数（万步），

运动步数在，的频率为0.35，在，的频率为0.8，

则位数位于，间，小王的运动步数为（万步）．

19．（12分）已知关于，的方程．

（1）若方程表示圆，求的取值范围；

（2）当时，曲线与直线相交于，两点，求的值．

【解析】：（1）方程可化为，

显然，时，方程表示圆．

（2）圆的圆心，圆心到直线的距离为，

圆的半径，

又，．

20．（12分）如图，点，，，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点．

（1）求抛物线的方程和的坐标；

（2）求的坐标及所在的直线方程．

【解析】：（1）由点在抛物线上，

则，

则，

即抛物线的方程为，的坐标为；

（2）由点，，，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，

则，

即，

即的坐标为，

又，

则，

即所在的直线方程为，

即．

21．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．

（1）设平面平面，证明：；

（2）若二面角的余弦值为，求长．

【解答】（1）证明：因为，平面，平面，

所以平面，

因为平面平面，平面，

所以，于是．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，0，，，0，，，2，，，2，，

，0，1，，

，1，，，0，，，2，，

设平面和平面的法向量分别为，，和，，，

，令，，，，

，令，，，．

所以二面角的余弦值为，

整理得，解得或，

因为二面角是锐角，所以舍去，

故长为．

22．（12分）已知椭圆的离心率为，设，是上的动点，以为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆交于点、，若存在圆与两坐标轴都相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；

（3）证明：为定值？并求的最大值．

【解析】：（1）由椭圆的离心率，则，

又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，

代入，解得：，则，

椭圆方程：．

（2）证明：因为直线，与圆相切，

由直线与圆联立，

可得，

同理，

由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，，

因为点，在椭圆上，所以，所以．

（3）证明：当直线，不落在坐标轴上时，设，，，，

因为，所以，

因为，，，在椭圆上，所以，整理得，

所以，所以．

当直线落在坐标轴上时，显然有，

综上，，所以，

所以的最大值为．、