奥数五年级下册秋季课程 第11讲《植树问题》教案

（ 五年级 ）                                      备课教员：××× 

第十一讲    植树问题

一、教学目标：

1. 通过探究一条路线上如何种树产生间距和棵数的关系，学

   习把植树问题建立数学模型的方法。

2. 通过植树问题的学习能够解决生活中的一些实际应用问

   题，培养学生解决问题的能力。

3. 体会建立数学模型解决抽象问题和实际问题的方法，感悟

   数学的价值。

二、教学重点：

1. 探索植树问题中棵数和间距的关系。

2. 学会用植树问题的模型解决一些生活实际问题。

三、教学难点：

1. 探索不同植树方式之间的差异。

2. 为实际问题建立数学模型。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分钟)

师：同学们还记得今年植树节的时候你们干了什么吗？

生：记得，种小树苗了。

师：很棒，同学们都是爱好大自然的好孩子。今年植树节的时候呢，阿博士就

叫上了阿派和欧拉去他的果园种果树。这可把小伙伴们高兴坏了，因为阿

博士每年都会种新的果树，这就意味着小伙伴们又能吃到新水果了。可是，

阿博士给阿派和欧拉出了一个难题。你们想知道吗？

生：想。

【课件演示阿博士的果园】

师：好，那么我们来看看阿博士给他们出了什么难题呢？原来啊，阿博士这个

果园快种满了，只有一条边上还有空地。而且阿博士还提出了要求，要求

每棵树都有足够的土地和阳光。等他们种完后，阿博士一看，表示很满意。

同学们想知道他们是怎么种的吗？

生：想。

师：好，看来同学们的求知欲望都很强。那我们今天要上课的内容就是“植树

    问题”，我相信上完这一课之后，同学们都能像阿派和欧拉一样会种树了。

【课件展示课题：植树问题】

二、探索发现授课（40分钟）

（一）例题一：（13分钟）

    阿派家门前有一条12.5米长的水沟，在沟的一侧每隔2.5米栽一棵苹果树，一共可栽几棵？（两端都栽树）

师：同学们，我们先来看第一个例题。同学们看到这道题之后，你知道了哪些

    信息呢？

生1：阿派家门口有条12.5米长的水沟。

师：嗯，不错，还有吗？

生2：在沟的一侧每隔2.5米栽一棵苹果树。

师：嗯，很棒同学们都已经帮老师找出了大部分关键的东西。那老师想问一个

    问题，每隔2.5米栽一棵苹果树的“每隔”是什么意思？

生：两棵树之间的距离是2.5米。

师：对了，每两棵树之间的距离是2.5米，我们又知道水沟长12.5米，那我们

    应该怎么算呢？

生：12.5除以2.5。

师：这位同学回答的对吗？有同学有不同的意见吗？

师：如果没有的话，那我们就按这个同学的来做咯。

【PPT展示解题和作图过程】

师：12.5除以2.5等于5，哪位同学告诉我“5”意味着什么呢？

生：“5”意味着一共可以种5苹果树。

师：这位同学抢答得很快，可是对不对呢？

生：老师不对，“5”应该是这段水沟可以分成5段，应该可以种6棵苹果树。

师：同学们听清楚了吗，这位同学提出了不同观点，有没有人可以证明他说的

    是对的呢？

生：老师，我发现题目最后写了“两端都栽树”。

师：没错，老师一开始问大家能在题目中看到哪些信息，大家都忽略了最后这

句话。所以这道题的最后结果是“5”还是“6”呢？我们来作图验证就可

以知道了。我们假设水沟一侧是一条线段，这条线段可以分成几份啊？

生：5份。

师：嗯，可以分成5份，然后我们一棵一棵地种树。同学们看到了吗？

生：看到了。

师：我们可以种6棵树。这道题到这里呢我们就基本完成了，但是我们还要归

纳，这样以后我们就知道遇到这样的题目该怎么做了。哪位同学帮我来归

纳呢？

【课件演示归纳过程，然后让同学们自己归纳】

师：那老师先帮同学们理一下，然后同学们自己来说。这是一道植树问题，植

树问题有三个部分组成，分别是间距，棵数和距离。如果两端都要种树的

话，棵数等于？

生：距离÷间距+1。

师：很棒嘛，都能帮老师归纳了。不过同学们需要注意的是，这道题的前提是

两端都种，如果不是都种的话，我们就得视情况而定了。同学们小组讨论

一下有哪些情况，然后我们来比比哪个小组归纳的最全。

【4人小组讨论，老师可以走动询问小组讨论情况并指导】

师：老师看到大家都基本讨论出结果来了，哪个小组自告奋勇？

生：如果两端都不种的话，棵数=距离÷间距-1；如果只种一端的话，棵数=距

    离÷间距。

师：其他小组说他们说得对不对？

生：对。

师：嗯，很不错，同学们已经基本会种树了。同学们在解题的时候，先看题目

的关键点——两端是否种树，然后列出公式，把题目中的数字代进去就可

以了。如果记不住公式，可以简单画个图。

板书：

    棵数＝距离÷间距+1

        ＝12.5÷2.5+1

        ＝5+1

        ＝6（棵）

答：一共可栽6棵。

练习一：（7分钟）

    如果每500米远架一根电线杆，则30.5千米需要架多少根电线杆？（两端都架电线杆）

分析：

    练习和例题都不是很难，但是容易出错。出错点在于同学容易遗忘两端种树的情况下最后结果要加上1。

【课件出示练习题，挑选两位学生上台板演，教师下去指导，重点指导比较容易粗心的学生。】

板书：

    500米＝0.5千米

    根数＝距离÷间距＋1

        ＝30.5÷0.5＋1

        ＝61+1

        ＝62（根）

答：需要架62根电线杆。

（二）例题二：（13分钟）

    在一条高速公路的两侧从头到尾竖立广告牌,共竖了广告牌372块,这条高速公路全长5550米。每两块广告牌相隔多少米？

师：同学们，在会做了例题一和练习一以后，对于植树问题大家是不是都会做

了呢？老师考考大家。和上题一样，老师还是想问这道题有哪些信息，同

学们能告诉老师吗？

生1：广告牌有372块。

生2：这条高速公路全长5550米。

师：还有一个很关键的信息哦，同学们能找到吗？

生3：这条告诉公路两侧从头到尾竖立广告牌。

师：嗯，很棒，同学们很仔细。那么从头到尾是什么意思呢？

生：就是头尾都要竖立广告牌。

师：嗯，对了。这道题和例一有什么相同点吗？

生1：我们都知道全长。

师：对，全长就是我们在例一讲的距离。还有呢？

生2：两边都有广告牌。

师：不错。那如果老师再问你，这道题和上面两道题有什么区别呢？

生：上面的题目我们不知道棵数和根数，这道题我们知道广告牌的数量。

师：嗯，那么我们知道了广告牌的数量，那有什么信息是不知道的呢？

生：老师，这道题没有告诉我们间距。

师：嗯，同学们观察都很仔细哦。如果说我们知道广告牌间距和公路全长的话，

    同学们是不是会算广告牌的块数了？

【配合课件，在题目中标亮相关字词】

生：是。

师：现在，我们只知道公路全长和广告牌数量的话，同学们知道怎么算吗？

师：那老师先提醒一下大家，间隔数有多少个？

生1：372个。

生2：371个。

师：到底哪个是对的呢？说“372”的同学又粗心了，忘了头尾都有广告和公路

两侧都竖立广告牌的。两侧都有广告牌，我们就要先求出一侧的数量，再

来算间隔，搞不清楚的同学可以自己先画个图，假如说只有一个间隔的话，

有几块广告牌？

【课件展示画图过程】

生：两块。

师：如果是两个呢？

生：三块。

师：对了，这样大家是不是一下子就理解了？

生：是。

师：同学们平时遇到一些没办法一下子理解的题目都可以先画画图，找找规律，

说不定啊，答案一下子就蹦出来了。在理清了思路之后，有同学可以告诉

老师和大家，接下来应该怎么做吗？

生：间距＝距离÷（广告牌数－1）。

师：哇，同学们真棒，已经能通过自己的思考把题目做出来了。现在呢，同学

们再跟着老师的课件来把这道题一点点地做一遍，如果刚才还有没听懂得

同学可以做一下笔记。

【课件展示解题过程】

师：做到这里呢，相信同学们不仅会种树了，还会算两个广告牌之间的距离了

吧。为了考考大家呢，老师还想问大家一个问题：如果说这条路只有一端

竖广告牌呢？

生：间距＝距离÷广告牌数。

师：那如果两边都不放广告牌呢？

生：间距＝距离÷（广告牌数＋1）。

【课件展示三种不同情况下的计算方法】

板书：

    间距＝距离÷（广告牌数－1）

        ＝5550÷（372÷2－1）

        ＝5550÷185

        ＝30（米）

答：每两块广告牌相隔30米。

【课件出示练习二，并且请同学自己来讲这道题怎么做】

练习二：（7分钟）

    街心公园一条通道长200米,在通道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距多少米？

分析：

    这道题对于已经掌握例题的同学来说没有难度，主要是锻炼同学们的细心，要注意题目中的信息是两端都种、一端种还是两端都不种，并且是两边种还是一边种。

板书：

    间距＝距离÷（单边棵数－1）

        ＝200÷（82÷2－1）

        ＝200÷（41－1）

        ＝200÷40

        ＝5（米）

答：每两棵美人蕉相距5米。

三、小结：（5分钟）

    两端都种：棵数=距离÷间距+1

    两侧两端都种：棵数=（距离÷间距+1）×2

第二课时（50分钟）

一、复习导入（3分钟）

师：同学们，回顾一下上节课我们学习了哪些知识？

生：上节课我们学习了植树问题。

师：恩，对。我们学习的就是植树问题，但是植树问题可不是只有上节课我们

学习的那些内容，还有更多有趣的其他问题呢！这节课我们就要来学习这

些内容，同学们想学习吗？

生：想。

二、探索发现授课（42分钟）

（一）例题三：（13分钟）

    一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?

师：同学们，看到这道题，大家发现与上节课遇到的问题有什么特别不同吗？

【课件展示题目和图画】

生：这个是水池边周围种树。

师：对，这个是水池，那水池有什么特点呢？

生：圆形的。

师：对，是圆形的。圆形是不是封闭的图形呢？

生：是。

师：这就意味着，圆是没有起点也没有终点的。我们假如在一个圆上种两棵树，

    这个圆分成几段？

生：2段。

师：那如果是三棵呢？

生：3段。

师：对，同学们反应很快。同学们发现了吗？种两棵树的话有两个间隔，种三

    棵树的话是三个间隔，也就是说如果我们在一个圆上种40棵数，有几个间

    隔呢？

生：40段。

师：同学们这和我们上节课分析的哪种情况是一样的？

【课件演示三种不同条件下的植树问题计算公式】

生：只在一端种树。

师：非常好。所以，我们是不是可以把在圆形水池的植树问题归纳为和一端种

    树是一样的呢？

生：是。

师：那现在我们知道了两棵树之间的间隔，又知道了一共有几个这样的间隔，

    我们能算这个水池的周长了吗？

生：能。

师：怎么算？

生：周长＝间距×棵数。

师：同学们真是太棒了。那我们试着把数字代进去，一起来看看这个水池究竟

    有多大呢？同学们口算一下。

生：80米。

师：我们一起来看一下同学们做的对不对呢？

【课件展示计算过程，在教学过程中，要配合课件一步步引导学生发现理解】

板书：

    周长＝间距×棵数

        ＝2×40

        ＝80（米）

答：水池的周长是80米。

师：同学们的口算能力不错哦。看来同学们掌握得不错。接下来老师让同学们

    自己来做练习题，看看同学们是不是能独立解决问题了呢？

【课件展示练习题，并请两位同学上台板演】

练习三：（8分钟）

在一个长方形水池边植树，长方形的长是40米，宽比长少10米，每隔2米植一棵树，共能植树多少棵？

分析：

    首先求出长方形水池的周长，长方形是封闭图形，运用封闭曲线上植树的公式求出植树棵数。

板书：

周长＝2（a＋b）=2×（40+40-10）=140（米）

棵数=周长÷间距

    =140÷2

    =70（棵）

答：共能植树70棵。

（二）例题四：（13分钟）

    一座桥长280米，两侧的栏杆每隔2米就有一根柱子，从两端开始每隔一根柱子都有一只石狮子的柱子，这座桥有石狮子的柱子有多少根？（从第二个石柱上有狮子）

师：同学们，你们能看懂这道题什么意思吗？

师：看来这道题有点把同学们难住了，那老师帮同学们理解一下这道题的意思。

    首先，我们先不考虑石狮子的话，有几根柱子怎么算？

生：桥长÷间距＋1。

师：其他同学有不同答案吗？

生：再乘2。

师：这位同学观察很仔细，大家要像他一样仔细读题。可以发现，题目中说，

    两侧的栏杆每隔2米就有一根柱子，说明两侧都是有柱子的对吗？

生：对。

师：所以我们可以先算一侧的柱子，然后再来算两侧的柱子。一侧的柱子就是

    刚才那位同学说的方法算，两侧的话我们再乘2就可以了，对吗？

生：对。

师：然后我们再来考虑一下，从两端开始每隔一根柱子都有一只石狮子的柱子

    是什么意思？

生：一根没有石狮子，一根有石狮子。

师：同学们同意他的说法吗？

生：同意。

师：非常好，那么有石狮子的柱子是从第一根开始的，还是从第二根开始的呢？

生：第二根。

师：恩，那我们要怎么算有几根石狮子的柱子呢？我们可以把每隔一根柱子看

    做间距吗？

生：可以。

师：我们可以把它看做哪种植树的情况呢？

【课件展示植树问题的三种情况：两端都种、一端种、两端都不种】

生：两端都不种树。

师：恩，同学们非常聪明，所以我们接下来都是我们之前学过的知识来解题了。

    我们一起来看PPT。

【讲解过程配合课件演示，做到语言与动画相统一，能更加深学生理解、记忆】

板书：

    总根数＝（桥长÷间距＋1）×2

      ＝（280÷2＋1）×2

      ＝（140＋1）×2

      ＝141×2

      ＝282（根）

一侧柱子的数量：根数＝总根数÷2

                    ＝282÷2

                    ＝141（根）

一侧石狮子柱子的数量：根数＝（141－1）÷2

                          ＝140÷2

                          ＝70（根）

两侧石狮子柱子的数量：根数＝70×2＝140（根）

答：有石狮子的柱子有140根。

练习四：（6分钟）

    有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每两株紧相邻的月季花相距多少米？

分析：

    首先花坛是一个封闭的曲线，即间隔数=棵数，在丁香花间种月季花，即月季花株数等于间隔数×2，每两株丁香花之间等距离地栽种2株月季花，相当于两株丁香花之间的这段距离被分成三等分，由此可求出紧相邻的两株月季花之间的距离。

板书：

间隔数=距离÷间距

      =120÷6

      =20（个）

丁香花株数=间隔数=20株

月季花株数=20×2=40（株）

紧相邻2株月季花之间距离为：6÷3=2（米）

答：可栽丁香花20株。月季花40株。每两株紧相邻的月季花相距2米。

（三）例题五（选讲）：

一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米。这个苹果园共种苹果树多少棵？

师：请一位同学将题目读一读，看看你从中得出了哪些有用的信息。

生：这个果园是一个长方形的，已知它的长是84厘米，宽54米。

生：苹果树的株距是2米，行距是3米。

师：是的。那么问题是让我们求苹果树的棵数，同学们想一想该怎么做呢？

生1：可以先求长可以种几行，宽可以种几列，然后相乘就可以求出棵数。

生2：可以先求出一棵苹果树的占地面积，再用长方形苹果园的面积除以苹果树

    的占地面积，就可以求出苹果树的棵数了。

师：嗯，同学们想出了两种不同的方法，那同学们就用这两种方法来算算吧，

    看看计算的结果是不是一样的？

生：……

【课件展示答案，和同学们校对，并帮助同学们归纳】

板书：

    84×54=4536（平方米）

    4536÷（2×3）=756（棵）

答：这个苹果园共种苹果树756棵。

【课件出示练习五，教师请两位中上的学生上台板演，教师下台巡视观察学生的解题情况。】

练习五：

    在一个长30分米，宽20分米的长方形花圃中种水仙花，每株花之间的株距是2分米，行距是5分米。这个花圃可以种多少株水仙花？

分析：

根据每株花的占地面积及花圃的面积，即可求出水仙花的株数了。

板书：

   30×20÷（2×5）=60（株）

答：这个花圃可以种60株水仙花。

三、总结：（7分）

植树问题的几种情况：

    1. 两端都种树：棵数＝距离÷间距＋1

    2. 一端种树：棵数＝距离÷间距

    3. 两端都不种树：棵数＝距离÷间距－1

    4. 封闭曲线植树：棵数＝距离÷间距

四、随堂练习：

1. 在一条长1440米的公路一侧架电线杆,每隔30米架一根,若公路两端都不

   架，共需电线杆多少根？

    根数＝距离÷间距－1

    ＝1440÷30－1

    ＝48－1

    ＝47（根）

答：共需电线杆47根。

2. 某工厂厂庆，在大门口的两边插彩旗，每两面彩旗中间相距3米，从头到尾

   共插了62面彩旗，这条路长多少米?

    距离＝（面数÷2－1）×3

    ＝（62÷2－1）×3

    ＝（31－1）×3

    ＝30×3

    ＝90（米）

答：这条路长90米。

3. 一个圆形水池周围每隔3米栽一棵杨树,共栽了50棵,水池的周长是多少

   米？

    距离＝棵数×间距

    ＝50×3

    ＝150（米）

答：水池的周长是150米。

4. 一圆形花坛，周长80米，每隔4米摆一盆兰花，每两盆兰花中摆一盆月季

   花，问：共需要多少盆花？

    盆数＝（距离÷间距）×2

    ＝（80÷4）×2

    ＝20×2

    ＝40（盆）

答：共需要40盆花。

5. 某公园南侧长500米，从两端每隔20米种一棵樱树，在每两棵樱树中间种3

   棵柳树。樱树一共种了多少棵？柳树一共种了多少棵？ 

    樱树棵数＝距离÷间距＋1

            ＝500÷20＋1

            ＝25＋1

            ＝26（棵）

柳树棵数＝（26－1）×3

        ＝25×3

        ＝75（棵）

答：樱树一共种了26棵，柳树一共种了75棵。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处