福建省厦门市第一中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

福建省厦门第一中学2023—2024学年度

第一学期入学考高二年数学试卷

2023.09.01

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

I卷（预习检测）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.

C.  D. 1

3. 已知双曲线的渐近线方程为，则

A.  B.  C.  D.

4 若直线与圆相切，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（    ）

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

6. 已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A. 4 B. 9 C. 10 D. 18

7. 椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.

A.  B.  C.  D.

8. 已知A．B．C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．

9. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________．

10. 已知点，，若直线与线段（含端点）相交，则k的取值范围为________．

三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11. 已知是等差数列的前项和，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的最小值.

12. 圆的圆心为，且过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）直线与圆交两点，且，求.

13. 已知顶点、、．

（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；

（2）求边BC的垂直平分线l的方程

（3）求面积．

14. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4．

求椭圆的方程；

若求直线AB的方程．

Ⅱ卷（巩固检测）

四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

15 已知，，且与平行，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 已知向量，，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

17. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

18. 已知为的外心，，，，则的面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．

19. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．

20. 在三棱锥中，，平面，，，则与所成角为__________.

六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21. 在矩形中，，，是中点，是边上的三等分点（靠近点），与交于点.

（1）设，，请用，表示和；

（2）求与夹角的余弦值.

22. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.

（1）试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）

（2）已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值.

福建省厦门第一中学2023—2024学年度

第一学期入学考高二年数学试卷

2023.09.01

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

I卷（预习检测）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.

【详解】由题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即.

故选：D.

2. 已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.

C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.

【详解】由已知可得，，

则，

所以，

则离心率．

故选：C.

3. 已知双曲线的渐近线方程为，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由双曲线的渐近线方程为，结合渐近线方程为，从而可得结果.

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，

又渐近线方程为，所以，故选A．

【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.

4. 若直线与圆相切，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求的值.

【详解】圆化成标准方程为，则且圆心坐标为，半径为，

直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，

即：，解得.

故选：A

5. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（    ）

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的性质，设出基本量和，列出方程，可求解.

【详解】设正数的等比数列的公比为，

则，解得（负值舍去），

.

故选：B.

6. 已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A. 4 B. 9 C. 10 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，即可得结果.

【详解】由题意可得：的焦点坐标为，准线为，

设抛物线上横坐标为4点为，

则，解得，

故该抛物线的焦点到准线的距离为.

故选：C.

7. 椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.

【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.

【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.

8. 已知A．B．C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得的关系，进而求出离心率．

【详解】设左焦点为，，连接，

则 ， ，，，

因为，且经过原点，

所以四边形为矩形，

在Rt△中，，

将边长代入得，

化简得，

所以在Rt△中，，代入边长得

化简得，即，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.

二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．

9. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________．

【答案】

【解析】

【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.

【详解】圆经过点和，，AB中点为，
所以线段AB的垂直平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为，半径，
所以，此圆的标准方程是．

故答案为：

10. 已知点，，若直线与线段（含端点）相交，则k的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．

【详解】由可得，可知直线为过定点，斜率为的直线，

可得，

若直线与线段（含端点）相交，则或，

所以k的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11. 已知是等差数列的前项和，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）12

【解析】

【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；

（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.

【小问1详解】

设数列的公差为，因为，

所以.

解得.

所以.

【小问2详解】

，

所以.

令，得，

解得：（舍去）.

因为，所以的最小值是12.

12. 圆的圆心为，且过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）直线与圆交两点，且，求.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；

（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.

【小问1详解】

设圆的半径为，则，

故圆的标准方程为：；

【小问2详解】

设圆心到直线的距离为，

则，

由垂径定理得：，

即，解得：或.

13. 已知顶点、、．

（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；

（2）求边BC的垂直平分线l的方程

（3）求的面积．

【答案】（1）；；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由题可得直线的斜率，然后根据点斜式即得；

（2）由题可知的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得；

（3）根据两点间距离，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得.

【小问1详解】

因为、，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即，

令，得，即直线的方程在y轴上的截距为；

小问2详解】

由题可知的中点为，直线的斜率为，

线段的垂直平分线的斜率为，

所以线段的垂直平分线的方程为，即；

【小问3详解】

因为直线的方程为，又，

所以到的距离为，

又，

所以的面积为.

14. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4．

求椭圆的方程；

若求直线AB的方程．

【答案】（1）（2）或

【解析】

【分析】，，又，解得：，即可求出椭圆的方程；

分类讨论，将直线AB，CD方程代入椭圆方程中，求出，，利用，求出k，即可求直线AB的方程．

【详解】由题意知，，又，解得：，所以椭圆方程为：

当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，不满足条件；

当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，

则直线CD的方程为．

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得，

则，所以．

同理，．

所以

解得，所以直线AB方程为或

【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，熟练计算弦长公式是关键，属于中档题．

Ⅱ卷（巩固检测）

四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

15. 已知，，且与平行，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出向量与的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.

【详解】因为，，所以，，

若与平行，则，得x＝2.

故选：C.

16. 已知向量，，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解法1：根据向量坐标表示与运算求解；解法2：结合图形处理问题.

【详解】解法1：因为，，

则在上的投影向量为.

解法2：因为，

由图可得，在轴上的投影数量为，则在上的投影向量.

故选：B.

17. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】先找出平面截球面的截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线.

【详解】如图所示：

由已知，连接，则

因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，，

所以为等边三角形.

且平面，取的中点，连接,则,

又平面，所以，

又，所以平面，

故平面截球面的截面圆的圆心是点，

取和的中点，连接,则，

故在球面上，,，

所以为直角三角形，,

球面与侧面交线是侧面上以为圆心，

为半径的圆弧.

故选：B.

18. 已知为的外心，，，，则的面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案.

【详解】设的中点为D，由为的外心可得，，

，

又，

所以，

又，可得，

故，则的面积为，

故选：D.

五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．

19. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正四棱台的体积公式，梯形的面积公式，即可求解

【详解】 

设该正四棱台的的高为,则根据题意可得：

，∴，

又易知对角面为上下底分别为与，且高为的等腰梯形，

∴该棱台的对角面面积为．

故答案为：.

20. 在三棱锥中，，平面，，，则与所成的角为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】如图，以，为邻边将补成矩形，连接，则（或其补角）为与所成的角，由线面垂直的判定定理证得平面，则，所以，代入求解即可得出答案.

【详解】如图，以，邻边将补成矩形，连接，

则（或其补角）为与所成的角.

由平面，平面，得，

又，，平面，所以平面.

因为平面，所以.

又，所以.

故与所成的角为.

故答案为：.

六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21. 在矩形中，，，是的中点，是边上的三等分点（靠近点），与交于点.

（1）设，，请用，表示和；

（2）求与夹角的余弦值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可得解；

（2）法一：利用平角向量的数量积运算求得，，，从而得解；

法二：建立直角坐标系，得到各点坐标，从而求得，，，由此得解.

【小问1详解】

依题意，作出图形如下，

因为是的中点，是边上的三等分点（靠近点），

所以，

.

【小问2详解】

法一：

依题意得，，，则，，

所以，，

，

由于与的夹角等于与的夹角，

所以与夹角的余弦值为，

即与夹角的余弦值为.

法二：

建立直角坐标系，如图，则，，，，，，

故，，，，

则，

由于与的夹角等于与的夹角

所以与夹角的余弦值为，

即与夹角的余弦值为.

22. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.

（1）试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）

（2）已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）延长至点，使，点即所求的点，然后证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出结论；

（2）分别延长、，所得交点即点，连接，则二面角即二面角，推导出，可知，当最大时，最大，利用基本不等式求出的最大值，及其等号成立的条件，分析可知为等腰直角三角形，取的中点，则，在平面内过点作，垂足为，连接，分析可知为二面角的平面角，计算出三边边长，即可求得的余弦值，即为所求.

【小问1详解】

解：延长至点，使，点即所求的点，图形如下：

证明如下：连接、，

在正三棱柱中，且，所以，，

又因为，所以，，所以，，

则，故，

因为平面，平面，所以，平面，

因为，则，

因为为的中点，，则，故，

所以，，所以，，

因平面，平面，所以，平面，

又因为，、平面，所以，平面平面，

当点在线段上运动时，平面，故平面.

【小问2详解】

解：分别延长、，所得交点即点，连接，

则二面角即二面角.

因为、直线，且，则，

因为平面，平面，所以，平面，合乎题意，

因为，且，所以，所以.

所以，所以当最大时，最大.

由基本不等式可得，

当且仅当时等号成立.

此时，且为等腰直角三角形.

取的中点，则，在平面内过点作，垂足为，连接.

因为平面，平面，所以，

又，平面，平面，所以平面.

因为平面，所以，

又，平面，平面，所以平面.

因为平面，所以.

所以为二面角的平面角.

因为，所以，

，

因为平面，平面，则，

所以，所以.

即二面角的余弦值为.

【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：

（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：

①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；

（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.