浙江省杭州市S9联盟2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第二学期S9联盟期中联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题纸．

第I卷（选择题）

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解无理不等式确定集合，解指数不等式确定集合，然后由交集定义求解．

【详解】，，

所以．

故选：C．

2. 设复数，则在复平面内复数z对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的四则运算化简，得到复数z对应的点，即可判断所在象限.

【详解】由题意可知：，

则在复平面内复数z对应的点为，位于第三象限，

故选：C.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对展开化简可得，再对等式两边平方化简后结合二倍角公式可求出的值.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

所以，

故选：A

4. 已知a，b为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项.

【详解】因为，如果b是负数，则是虚数，与无法比较大小，即由不可推出，

因为，取，，则，即由不可推出，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

5. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇环的面积公式求出母线长，利用勾股定理求高，在根据圆台体积公式计算即可.

【详解】解：圆台的侧面展开图是个扇环，，

所以圆台的高，

则，

故选：B.

6. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】因为，所以，

而，

所以.

故选：C.

7. 若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解.

【详解】当时，，

由，得，

因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，

所以，解得，

当时，由，得，

因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，

所以，解得，

综上所述.

故选：A.

8. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（    ）

①        ②        ③        ④

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性可得函数的周期性、对称性，然后逐一分析即可.

【详解】因为是奇函数，

所以，故，，

又因为是偶函数，则， ，

所以，，

所以，即函数的周期为8，

由可得，

由可得，

对于①，，正确；

对于②，，正确；

对于③，，错误；

对于④，，正确；

故选：C.

二、多选题（每题5分，共20分．多选错选不得分，少选得2分）

9. 已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（    ）

A. 曲线可表示为焦点在轴椭圆

B. 曲线可表示为焦距是4的双曲线

C. 曲线可表示为离心率是的椭圆

D. 曲线可表示为渐近线方程是的双曲线

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可

【详解】由为3与5的等差中项，得，即，

由为4与16等比中项，得，即，

则曲线的方程为或．

其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；

其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．

故选:ACD．

10. 已知函数，则（    ）

A. 的最小正周期为

B. 在上单调递增

C. 的图象关于点中心对称

D. 在上有4个零点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据周期的计算公式可判断A，根据整体法即可验证是否单调，判断B,计算，由此可判断C,将函数零点转化为方程的根，即可求解D.

【详解】对于A;周期,故A正确；

对于B;当时，，故在上不单调递增，B错误；

对于C;，故是的一个对称中心，故C正确；

对于D;令,解得，

故当时，

取分别得

故在上有5个零点，D错误,

故选：AC

11. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两老鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列说法中正硆的有（    ）

A. 大鼠与小鼠在第三天相逢 B. 大鼠与小鼠在第四天相逢

C. 大鼠一共穿墙尺 D. 大鼠和小鼠穿墙的长度比为

【答案】AC

【解析】

【分析】对A和B构造等比数列，利用等比数列求和公式即可求出的值，对C，首先求出前两天每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的长度，最后即可判断C和D.

【详解】对A和B，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由题得大鼠和小鼠每一天的穿墙长度成等比数列，

分别设大鼠和小鼠每日穿墙长度所成的数列为，

则大鼠第日穿墙，小鼠第n日穿墙，

则，

整理得，解得，则，

，，故大鼠与小鼠在第三天相逢，故A正确，B错误；

对C，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；

第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺.第三天按道理应是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺，

可是总长度只剩0.5尺没有打通，所以在第三天肯定可以打通.

设第三天大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，则打洞时间相等：，解方程得大老鼠在第三天打了尺，

小老鼠打了，三天总的来说：大老鼠打了尺，故C正确；

对D，大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故D错误.

故选：AC.

12. 已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是的中点.下列命题正确的是（    ）

A. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形

B. P在直线上运动时，

C. Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变

D. M是正方体的面内到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段

【答案】BCD

【解析】

【分析】

画出正方体图形，

：以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；作出反例否定；

；根据线面垂直判定可得判断；

：根据底面积不变，高不变，则体积不变，即可判断；

：根据线段满足可判断．

【详解】画出图形，如图（1）四个面都是直角三角形，,所以不正确．

对于，在直线上运动时，；如图（2），因为平面，所以平面，所以,所以正确．

对于，Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变；如图（2）三角形面积不变，到平面距离不变，所以体积为定值．所以正确；

对于，是正方体的面内到点和距离相等的点，则点的轨迹是一条线段．线段满足题意．

故选：BCD

【点睛】方法点睛：求空间几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择解答.

第II卷（非选择题部分）

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 已知向量，，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标表示进行求解.

【详解】由题意，得，解得.

故答案为：.

14. 设函数，则在处的切线方程为_________．

【答案】

【解析】

【分析】利用函数解析式求得切点坐标，利用导数求切线斜率，可得切线方程.

【详解】函数，在处的切点坐标为，

，则在处的切点斜率为，

所以切线方程为，即.

故答案为：.

15. 已知数列满足，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解.

【详解】由，得，

当时，

，

当时，上式也成立，

所以.

故答案为：.

16. 已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解.

【详解】由题意可设直线的方程为，，

联立，消得，

则，

，

因为，所以，

即，

即，

所以，所以，

又，所以，

所以直线的方程为，

所以直线l经过定点.

故答案为：.

  【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

四、解答题（第17题10分，其余5题每题12分．共70分）

17. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）这一组的频数､频率分别是多少？

（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.

（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

【答案】（1），   

（2），，   

（3）

【解析】

【分析】（1）先求得，，，，各组的频率，再利用对立事件的概率求解，进而得到频数；

（2）根据频率分布直方图，利用平均数的平均数､众数､中位数的定义求解；

（3）易得和之间的人数分别为4人和2人，然后利用古典概型的概率求解.

【小问1详解】

根据题意，的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

则这一组的频率为，

其频数为；

【小问2详解】

这次竞赛的平均数为，

一组的频率最大，人数最多，则众数为，

分左右两侧频率均为，则中位数为；

【小问3详解】

记“取出的人在同一分数段”为事件，

因为之间的人数为，设为､､､，

之间有人，设为､，

从这人中选出人，有

、、、､、、、

、、、､、、、

，共个基本事件，

其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，

则.

18. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意求出数列的首项根公差，再根据等差数列的通项即可得解；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【小问1详解】

设公差为，

由成等比数列，

得，解得，

所以；

【小问2详解】

由（1）得，

所以.

19. 如图，与所在平面相互垂直，是边长为2的等边三角形，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取BD的中点，根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，

结合，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明；

（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值．

【小问1详解】

取BD的中点M，连接AM．

因为为等边三角形，所以．

因为平面平面BCD，平面平面，平面，

所以平面．因为平面，

所以．

因为，，平面，平面，

所以平面．

因为平面，

所以．

【小问2详解】

过点作的平行线交于点，以为原点，，，

所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，，，，，

所以为平面的一个法向量．

设平面法向量为，，，

由，可得，

令，则，，

所以为平面的一个法向量，

所以，

由图可知二面角为锐角，

则二面角的余弦值为．

20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求A；

（2）若，求中BC边中线AD长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式化简即可得解；

（2）先利用余弦定理求出，再利用向量化即可得解.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得，

即，

即，

所以，

又，所以，

又，所以；

小问2详解】

由余弦定理得，

即，所以，

因为为中BC边的中线，

所以，

则

，

所以

21. 在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．

【答案】（1）   

（2）点在直线上

【解析】

【分析】（1）设，由斜率公式得到方程，整理即可得解；

（2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，即可得到直线，的交点的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出，从而得解.

【小问1详解】

解：设，则，得，即，

故轨迹的方程为：．

【小问2详解】

解：根据题意，直线的斜率不为，

设直线的方程为，

由，消去并整理得，

其中，则或．

设，，则，．

显然，

从而可设直线的方程为①，

直线的方程为②，

所以直线，的交点的坐标满足：．

而

，

因此，，即点在直线上．

22. 已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）函数，若方程在上有解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用函数导数，求得函数的单调区间.

（2）利用导数，求得的单调区间和值域，根据在有解列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，，

令解得：，

时，，此时函数是减少的．

时，，此时函数是增加的．

函数的增区间为，减区间为．

（2），则，

由（1）知，在为增函数，，

在为增函数，即．

在有解，只需满足即

实数a的取值范围为．

【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中档题.