重庆市第八中学2023-2024学年高一数学上学期9月检测试卷（一）（Word版附解析）

重庆八中高2026级高一（上）数学检测试题（一）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设命题，，则为

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即：

故选

2. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对集合B求补集，应用集合并运算求结果；

【详解】由，而，

所以.

故选：A

3. 已知集合，且，则m等于（    ）

A. 0或3 B. 0或

C. 1或 D. 1或3或0

【答案】A

【解析】

【分析】因为，可得，列出条件，结合元素的互异性，即可求解.

【详解】由题意，集合

因为，可得，则满足或且，

解得或.

故选：A.

4. 下列说法中正确的个数为（    ）

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】由集合与集合，元素与集合以及空集的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于①，正确；

对于②，是元素，是没有元素的集合，故②错误；

对于③⑤，正确，即③对，错误，即⑤错；

对于④，表示集合中有一个元素，表示集合中有一个元素，研究对象不同，故④错误；

对于⑥，，故⑥错误；

对于⑦，正确；

水域⑧，表示不同的集合，错误.

①③⑦正确.

故选：B

5. 已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④的正确性即可.

【详解】因为是的的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，，

因为是必要条件，所以.因为是的必要条件，所以，

所以由，，可得，

则是的充要条件，命题①错误；

则是的充要条件，命题②错误；

因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确；

易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误，

故选：C.

6. 若，则的值是（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】由可得①或②，解出，再由集合的互异性检验即可得出答案.

【详解】因为，

所以①或②，

由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，

由②得，符合题意，两种情况代入，答案相同.

故选：B.

7. 已知全集，集合，或之间关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素共有（    ）

A. 8个 B. 6个 C. 5个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】由韦恩图的意义，得到阴影部分表示的集合为，利用集合的基本运算求得后即可得答案.

【详解】因为或，所以.

题图中阴影部分表示的集合为，

因为，

所以，

所以该集合中共有6个元素，

故选：B.

【点睛】本题考查韦恩图的意义和集合的基本运算，属基础题.

8. 对于集合，定义，，设，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.

【详解】集合，，

则，，

由定义可得：且，

且，

所以，选项 ABD错误，选项C正确.

故选：C．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（   ）

A. 是的充分不必要条件

B. 是的必要不充分条件

C. 是的充分不必要条件

D. 是的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】分别利用充分不必要条件和必要不充分条件的定义进行判断即可．

【详解】对于A，是的充分不必要条件，正确；

对于B，等价于是的必要不充分条件，正确；

对于C，等价于或是的必要不充分条件，错误；

对于D，是的必要不充分条件，正确；

故选：ABD

10. 下列命题正确的是（    ）

A. ， B. ，

C. ，是有理数 D. ，

【答案】AD

【解析】

【分析】根据全称命题和特称命题的意义，结合反例依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，当时，，A正确；

对于B，当时，，B错误；

对于C，当时，是无理数，C错误；

对于D，当，时，成立，D正确.

故选：AD.

11. 下列命题为真命题的是（    ）.

A. 若，则 B. 若，则

C. 如果，那么 D. ，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.

【详解】对于A，令，，则，故A错误.

对于B，因为，所以，故B正确.

对于C，由于 ，同乘以，

得，又，所以，故C正确.

对于D，若，则，所以，所以，故D正确

故选：BCD.

12. （多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）

A. 是优集 B. 是优集

C. 若是优集，则或 D. 若是优集，则是优集

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.

【详解】对于A中，任取，

因为集合是优集，则，则 ，

，则，所以A正确；

对于B中，取，

则或，

令，则，所以B不正确；

对于C中，任取，可得，

因为是优集，则，

若，则，此时 ；

若，则，此时 ，

所以C正确；

对于D中，是优集，可得，则为优集；

或，则为优集，所以是优集，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知实数满足，则的取值范围是_________________．

【答案】

【解析】

【分析】利用不等式的性质即可求得答案

【详解】解：因为，所以，

因为所以，

所以的取值范围是，

故答案为：

14. 已知，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据交集定义可联立构造方程组求得的值，从而得到结果.

【详解】由得：或或，.

故答案为：.

15. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.

【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，

所以当即时，恒成立，满足题意；

当即时，只需，

解得：.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

16. 若集合⫋ ，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是______.

【答案】87

【解析】

【分析】先考虑反面的两种情况，即中不含有奇数和中只含有一个奇数时集合的个数，再求出不考虑奇数条件时集合的个数，相减即可得出答案.

【详解】考虑反面的两种情况：

若中不含有奇数，则集合的个数等价于集合的子集的个数，即.

若中只含有一个奇数，则有4种可能，集合的个数等价于集合的子集的个数的4倍，即.

不考虑奇数条件时集合共，故共有个

故答案为：87.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设集合，，.

（1），求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）先利用补集运算求出，再利用集合的交集求解即可；

（2）由，分类讨论和两种情况，列出不等式组，求解即可．

【小问1详解】

当时，，故或，

又，故

【小问2详解】

当时，，∴，符合题意；

当时，需满足或，解得，

综上所述，的取值范围为或

18. 新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A，B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元.

（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？

（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资.其中A，B两种消毒液准备购买共50桶.如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？

【答案】（1）购买一桶 A 种消毒液需 50 元，购买一桶 B 种消毒液需 80 元   

（2）25 桶

【解析】

【分析】（1）先设购买一桶种消毒液元，购买一桶种消毒液元，然后利用题目信息建立方程组求解即可；（2）先购买种消毒液桶，购买种消毒液桶，然后建立等式与不等式求解即可.

【小问1详解】

设购买一桶种消毒液元，购买一桶种消毒液元

则有，解得

所以，购买一桶 A 种消毒液需 50 元，购买一桶 B 种消毒液需 80 元.

【小问2详解】

设购买种消毒液桶，购买种消毒液桶

则有 ，得，解得，所以最多可以购买25桶种消毒液

19. 现有，，，四个长方体容器，，的底面积均为，高分别为，；，的底面积均为，高分别为，（其中．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？

【答案】在不知道，的大小的情况下，取，能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有种，即取，．

【解析】

【分析】当时可得；当时可得，分情况讨论，最终有，故可得到答案.

【详解】设，，，的体积分别为，，，，

①当时，则，即，

在此种条件下取，能够稳操胜券．

②当时，则，即，

在此种条件下取，能够稳操胜券．

若甲先取、，.

若甲先取、，

因为，的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；

若甲先取、，，

因为，的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；

在不知道，的大小的情况下，取，能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．

故可能有种，就是取，．

20. 设，，已知，且“”是“”的充分条件，求的值.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】由题意可得，因为，分别讨论，和，分别求解即可求出，即可求出的值.

【详解】详解：因为“”是“”的充分条件，

所以，，则

①当时，则，

所以，

②当时，则，

所以

③当时，则，

所以，

综述：①当即时，，

当即时，，

当即时，.

21. 已知，是实数，求证：成立的充要条件是.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．

【详解】解：先证明充分性：

若，则成立．

所以“”是“”成立的充分条件；

再证明必要性：

若，则，

即，

，

，

，

，

即成立．

所以“”是“”成立的必要条件.

综上：成立的充要条件是．

22. 已知为正整数，集合具有性质：“对于集合A中的任意元素，，且，其中”.

（1）当时，写出满足条件集合A；

（2）当时，求的所有可能的取值.

【答案】（1）   

（2）所有可能取值为1，3，5，7，9

【解析】

【分析】（1）由已知可得出A中1和-1的个数，然后根据已知性质，即可得出答案；

（2）根据已知首先推得，且.进而根据已知性质，即可推导得出答案.

【小问1详解】

时，由题设，在中，有3个，3个

集合中的元素为，，，，

∴

【小问2详解】

时，首先证明，且，

在中，令，得，从而有，

在中，令，得.

又，故，从而有.

考虑，即，

此时为最大值，

现交换与，使得，，此时，

现将逐项前移，直至，在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次“移位”，依此类推，每次“移位”，的值依次递减2，经过有限次移位，一定可以调整为1，交替出现.注意到为奇数，所以为最小值，

所以的所有可能取值为1，3，5，7，9.