四川省泸县第四中学2023-2024学年高三文科数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

泸县四中高2021级高三上学期开学考试

文科数学

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据共轭复数的定义可得出复数.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：A.

2. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（    ）

A. 64 B. 65 C. 64.5 D. 66

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断中位数位于之间，设中位数为，依题意可得，解得即可.

【详解】解：因为，所以中位数位于之间，

设中位数为，则，解得，

即中位数为.

故选：B

3. 成立的充要条件是（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

解分式不等式即可得解；

【详解】解：因为，，，即，解得或，即，

故成立的充要条件是“或”.

故选：

【点睛】本题考查分式不等式解法及充要条件的理解，属于基础题.

4. 曲线在处的切线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．

【详解】解：的导数为，

可得在处的切线斜率为，

切点为，

即有在处的切线方程为，

即为．

故选：．

【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．

5. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.

【详解】，函数定义域为，

，函数为奇函数，排除BD；

，，故，排除A.

故选：C

6. 直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ）

A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，得到圆心到直线的距离为，求得，结合点与圆的位置关系，即可求解.

【详解】因为直线与圆O：相交，

可得圆心到直线的距离为，解得，

所以点在圆外.

故选：C.

7. 很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.

【详解】输入，不成立，是偶数成立，则，；

不成立，是偶数不成立，则，；

不成立，是偶数成立，则，；

不成立，是偶数成立，则，；

不成立，是偶数成立，则，；

不成立，是偶数成立，则，；

成立，跳出循环，输出i的值为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

8. 设为正数，若，则的最小值为（    ）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用基本不等式，结合已知代数式的形式进行求解即可.

【详解】，，则

，当且仅当，即时取等号.

故选：B

9. 经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（    ）米．

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知数据可得，再根据即可求出值.

【详解】由题知：当，时，，

代入得：

，

当，时，

，

即，

而，

解得：或（舍）

故选：D.

10. 若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】用对数函数的单调性和比较，用指数函数的单调性和比较，用对数函数的单调性和比较，即可判断大小关系.

【详解】因为,所以为减函数，

所以，即

因为,所以为增函数，

所以，即.

因为,所以为增函数，

所以，即，

所以．

故选：D

11. 在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，

设球的半径为，则，设，，

则，，

则在△中，，

当且仅当时，等号成立，

所以，所以，所以，

所以该三棱柱的侧面积为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用不等式求解棱柱的外接球面积最小值与侧面积问题，属于中档题

12. 若函数在区间上有零点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设为函数的零点，则，转化为在直线上，根据表示点到原点的距离的平方，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由题意，函数，

设为函数在上的零点，则，

即，即点在直线上，

又表示点到原点的距离的平方，则，即，

令，则，

因为，所以，在单调递增.

所以最小值为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：设零点有，换主元化为点在直线上，结合的几何意义及点线距离公式得为关键.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，且满足，则_______.

【答案】4

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示求解.

【详解】由已知，又，

所以，．

故答案为：4.

14. 若实数、满足，则目标函数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】画出约束条件的可行域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可求解．

【详解】作出图象，如图所示阴影区域为可行域：

作直线的平行线，

因为，越往上移，越大，越往下移，越小，

当目标函数经过可行域的时，目标函数取得最大值2，

目标函数经过时，目标函数取得最小值．

所以目标函数的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】本题考查简单线性规划问题的解法应用，准确画出可行域是解题的关键，属于基础题．

15. 将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为，圆心角为，则圆锥的体积是_________.

【答案】

【解析】

【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为，高为，

则，，

所以圆锥的体积为.

故答案为：

16. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为___________________．

【答案】

【解析】

【分析】根据条件求出a，b，c即可.

【详解】∵渐近线的方程为 ， ，又 ，

由点到直线的距离公式知： ，

，∴双曲线C的方程为： ；

故答案为： .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17. 为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）试估计这100人的竞赛成绩的平均数；

（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.

【答案】（1）73.5   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率的性质求a，再根据平均数运算求解；

（2）先根据分层抽样求每组抽取的人数，再结合古典概型运算求解.

【小问1详解】

依题意可得：，解得：，

根据频率分布直方图知：每组的频率依次为，

则平均数的估计值为，

所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.

【小问2详解】

由题意可知：竞赛成绩在，两个组的人数之比为，

若采用分层抽样从中抽取6人，所以每组各抽学生人数分别为，

分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5，中所抽取的1人编号为A，

所以从6人中随机抽取2人的情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种结果，

其中这2人来自同一组（记为事件）的有10种，则

所以这2人来自不同组的概率为.

18. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.

（1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）线段中点为，证明即可；

（2）利用等体积法求三棱锥的体积.

【小问1详解】

在图2中取线段中点H，连接，如图所示：

由图1可知，四边形是矩形，且，

∴O是线段与的中点，∴且，

图1中且，而且.

所以在图2中，且，

∴且，

∴四边形是平行四边形，则，

由于平面，平面，

∴平面.

【小问2详解】

∵，面，，∴面，

，

所以，

即三棱锥的体积为.

19. 高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：

数据表明与之间有较强的线性关系.

（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；

（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

参考公式及数据：回归直线的系数，，，，.， .

【答案】（Ⅰ），估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．

【解析】

【分析】（Ⅰ）由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值即可；

（Ⅱ）由题意填写列联表，求得的值，结合临界值表得结论．

【详解】解：（Ⅰ），

．

，

．

关于的线性回归方程为，

取，得．

估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；

（Ⅱ）由题意填写列联表：

，

能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．

【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．

20. 已知

（1）若的单调递减区间是，求实数a的值

（2）若，且对任意，都有，求实数a的取值范围

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据的单调递减区间是得到在上的解集为，然后求即可；

（2）根据得到是上的递减函数，然后分和两种情况求解即可.

【小问1详解】

由题意得，则，

因为的单调递减区间是，所以在上的解集为，

所以，解得.

【小问2详解】

设，，

令，则是上的递减函数，

当时，，，函数是上的增函数，

故，

当时，，，函数是上增函数，

故，

所以实数的取值范围是.

21. 已知椭圆C：的离心率，短轴长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）由已知结合椭圆的性质可求a，b，进而可求椭圆方程；

（2）先对直线l的斜率是否存在分类讨论，然后联立直线l与已知椭圆方程，结合方程的根与系数关系及向量的线性坐标表示可求．

【小问1详解】

由题意得，

解得，，

故椭圆C的方程为；

【小问2详解】

当直线l斜率不存在时，，，，,

则，，，，

此时，，；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为，

联立可得，

设，，

联立可得，

则，，

因为，，

所以，，

所以，

  【点睛】圆锥曲线中的范围或最值以及定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程；

（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）曲线的参数方程消去参数即可求出曲线的普通方程；

（2）首先曲线的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线是圆，要使曲线上恰有三个点到曲线的距离为，圆心到直线的距离，求解方程即可.

【小问1详解】

由已知得代入，消去参数t得

曲线的普通方程为．

【小问2详解】

由曲线的极坐标方程得，

又，，，

所以，即，

所以曲线是圆心为，半径等于的圆．

因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为，

所以圆心到直线的距离，

即，解得．

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知，．

（1）解不等式；

（2）若方程有一个解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）对分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;

（2）.作出函数的图象， 当直线与函数的图象有一个公共点时，方程有一个解，由图可得结果.

【详解】（1）不等式，即为.

当时，即化为，得，此时不等式的解集为，

当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.

综上，不等式的解集为.

（2）,即.

作出函数的图象如图所示，

当直线与函数的图象有一个公共点时，方程有一个解，所以或.

所以实数取值范围是.