山东省淄博市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

高一教学质量阶段检测

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设，，．则集合（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.

【详解】，，，

，.

故选：D.

2. 已知，则函数的最小值为

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，可得，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以函数的最小值为.

故选：C.

3. 已知，则函数的零点所在区间为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；

【详解】因为在上单调递增，

又，，，，

所以，

所以函数的零点所在区间为

故选：C

4. 在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可．

【详解】当时，函数在上单调递减；

函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误；

当时，函数在上单调递增；

函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误．

故选：A．

5. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解.

【详解】由已知得，解得.

所以函数的定义域为.

故选：D.

6. 函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令可得定点.

【详解】令，即，得，

函数（其中，）的图象恒过的定点是.

故选：B.

7. 设函数，则（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.

【详解】∵，

∴，

故选：C．

8. 设函数，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于，解得即可.

【详解】解：因为定义域为，

又，

所以为偶函数，

当时，在上单调递增，

在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，

所以在上单调递增，

则不等式等价于，等价于，

所以，解得或，

所以不等式的解集为.

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若a，b，，且，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】通过举反例来判断AD，利用不等式的性质判断BC.

【详解】对于A：若，此时，A错误；

对于B：，，B正确；

对于C：，，C正确；

对于D：，若，则，D错误.

故选：BC.

10. 与表示同一个函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样来得答案.

【详解】定义域为，且

对于A：，定义域也为，A正确；

对于B：定义域为，定义域不一样，B错误；

对于C：的定义域为，定义域不一样，C错误；

对于D：的定义域为，定义域不一样，D错误；

故选：A.

11. 已知，，则下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题有：.

A选项，由对数函数单调性可判断；

B选项，由对数运算公式可判断选项；

C选项，，利用基本不等式可判断选项；

D选项，，注意到，后利用基本不等式推论可判断选项

【详解】由题有：.

A选项，因函数在上单调递增，则，

故A正确.

B选项，，故B正确.

C选项，，由基本不等式，当，

，故C错误.

D选项，，，由C分析，

，故D正确.

故选：ABD.

12. 已知函数是定义域为的奇函数，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A.

B. 函数在上的最大值为

C. 函数在上是减函数

D. 存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根

【答案】AC

【解析】

【分析】根据奇函数的性质，求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断C，求出函数的值域，即可判断B，根据单调性判断D.

【详解】解：因为函数是定义域为的奇函数，

所以，解得，此时，

则

，符合题意，故A正确；

又，

因为，所以，则，所以，即，故B错误；

因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减，

所以在定义域上单调递减，故C正确；

因为在上是减函数，则与最多有个交点，故最多有一个实数根，

即不存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，故D错误.

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数的图象过点，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先设出幂函数的解析式，然后代入已知点可求出，进而可得的值.

【详解】设幂函数，

则，得.

，

.

故答案为：.

14. ______．

【答案】

【解析】

【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可.

【详解】.

故答案为：.

15. 若命题p：“，”为假命题，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】原题转化为方程有解，求出的范围，然后在中的补集即为所求.

【详解】因为“，”

所以方程有解，

当时，方程无根；

当时，，即

又因为命题是假命题，则

综上：

故答案为：

16. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：）

【答案】

【解析】

【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案.

【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则，

整理可得.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知非空集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由交集，补集的概念求解，

（2）转化为集合间关系后列式求解，

【小问1详解】

当时，，，则,，

【小问2详解】

由题意得是的真子集，而是非空集合，

则且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是

18. 已知一元二次函数，．

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）求关于x不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）直接解二次不等式即可；

（2）变形得，分，，讨论，通过确定的大小来解二次不等式.

【小问1详解】

由已知得，

解得或.

实数a的取值范围；

【小问2详解】

，

令，得，

当，即时，的解集为，

当，即时，的解集为，

当，即时，的解集为，

综上所述：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

19. 已知函数．

（1）求函数的值域；

（2）已知实数a满足，求a的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）分类讨论去绝对值画图可得值域；

（2）分，和三种情况讨论.

【小问1详解】

函数

画图为：

从图像可得值域为；

【小问2详解】

当时，即，函数在单调递增，

又因为，所以与矛盾，所以舍去；

当时，即，函数在单调递减，

又因为，所以与矛盾，所以舍去；

当，，所以

，所以

又因为，即，所以；

综上：.

20. 已知函数．

（1）求函数的解析式；

（2）证明函数为减函数．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）令，得，代入条件即可；

（2）任取，然后通过计算判断的正负来证明单调性.

【小问1详解】

令，得，

，

因为，解得，

；

【小问2详解】

任取，

，

，

，，

，

，

，即，

所以函数为上的减函数.

21. 已知函数，其中且．

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）为偶函数   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域；

（2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性；

（3）由为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，由此求解出的取值范围.

小问1详解】

解：由，解得，

∴函数的定义域为；

【小问2详解】

解：为偶函数，

的定义域为关于原点对称，

且

，

∴函数为偶函数；

【小问3详解】

解：因为为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，

即在上恒成立，

∴在上恒成立，∴，

故实数的取值范围是.

22. 设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β（α < β）.

（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：；

（2）设，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】

【详解】（1）由条件得，.

不妨设，则

.

故.

（2）依据题意，.

所以，.

故.

又任取，且，则.

由（1）知，，即，在区间上是增函数.

故.

.

当且仅，即，亦即t = 0时取等号.

故的最小值为4.