山东省泰安市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

高一年级考试

数学试题 2023.01

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件可得，然后可得答案.

【详解】因为，，所以

所以

故选：A

2. 在下列函数中，函数表示同一函数的（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.

【详解】由题意，函数，其定义域为，其解析式为，

对于A，函数，其定义域为，故A错误；

对于B，函数，其定义域为，对应法则不同，故B错误；

对于C，与题目中的函数一致，故C正确；

对于D，函数，其定义域为，故D错误，

故选：C.

3. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用全称命题的否定的概念求解即可.

【详解】命题“”的否定为“”

故选：D

4. 角为第一或第四象限角的充要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据角所在的象限，可判断出三角函数值的符号，从而可判断出选项.

【详解】若角为第一象限角，则，

若角为第四象限角，则，

所以若角为第一或第四象限角，则；

若，则或，所以角为第一或第四象限角.

故选：C.

5. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.

【详解】由题设，，

所以.

故选：B.

6. 设，，，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

比较、的大小关系，并比较、、三个数与的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.

【详解】且，即，

又，因此，.

故选：B.

7. 人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（    ）倍.

A.  B.  C.  D. 1000

【答案】C

【解析】

【分析】

解出、可得答案.

【详解】由可得

由可得

所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的倍

故选：C

8. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由题意：，

且：，

据此：，

结合函数的单调性有：，

即.

本题选择C选项.

【考点】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BD

【解析】

【分析】利用不等式的性质及特例法判断ABC，利用指数函数的单调性判断D即可.

【详解】选项A：当时，，故A错误；

选项B：若，则，移项可得，故B正确；

选项C：当，时，满足，此时，故C错误；

选项D：因为函数在上单调递增，所以当时，，故D正确；

故选：BD

10. 关于函数，下列命题正确的是（    ）

A. 是以为最小正周期的周期函数

B. 的表达式可改写为

C. 的图象关于点对称

D. 的图象关于直线对称

【答案】BC

【解析】

【分析】利用余弦函数的图象和性质判断ACD，利用诱导公式判断B即可.

【详解】的最小正周期，A错误；

，B正确；

因为，所以的图象关于点对称，C正确；

因为，所以图象不关于直线对称，D错误；

故选：BC

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 是偶函数

C. 的值域为

D. ，且，恒成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，结合函数的奇偶性以及单调性的定义，以及指数函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】函数的定义域为，，故A正确；

因为，故B错误；

由于，则，，所以，

即函数的值域为，故C正确；

由于在定义域上为增函数，故在定义域上为增函数，

即有时，，

将式子中的换为，

可得当时，，

故D正确.

故选:ACD

12. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数的最小值为2

B. 若，，，则最小值为4

C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2

D. 若，则的最大值是

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式逐项分析判断，注意基本不等式成立的条件.

【详解】对A：当时，则，当且仅当，即时等号成立；

当时，则，当且仅当，即时等号成立，

则；

综上所述：函数的值域为，无最小值，A错误；

对B：若，，则，

当且仅当，即时等号成立，B正确；

对C：当，则，当且仅当，即时等号成立，

若对，恒成立，则，即实数m的最大值为2，C正确；

对D：∵，则，

∴，当且仅当，即时等号成立，

即，故的最大值是，D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知幂函数经过点，则______

【答案】##0.5

【解析】

【分析】将点代入函数解得，再计算得到答案.

【详解】，故，.

故答案：

14. 若，，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】先由，求出，即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

所以

故答案为：

15. 当时，使成立的x的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正切函数的图象，进行求解即可．

【详解】由正切函数的图象知，当时，

若，

则，

即实数x的取值范围是，

故答案为

【点睛】本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键．

16. 对于函数、，设，，若存在、使得，则称与互为“友好函数”.已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出函数的零点为，由题意可求得函数零点的取值范围是，由可得出，令，，则实数的取值范围即为函数在的值域，利用二次函数的基本性质求出为函数在的值域，即为实数的取值范围.

【详解】由于函数为增函数，函数为减函数，则函数为增函数，

因为，.

由于与互为“友好函数”，

则，可得，解得，

所以，函数的零点的取值范围是，

由可得，

令，，则实数的取值范围即为函数在的值域.

当时，.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在上的最值．

【答案】（1）   

（2）最小值是1，最大值是2．

【解析】

【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可；

（2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可.

【小问1详解】

由函数图象可得，解得，

又，所以，

所以，

令，

解得，

所以的单调递增区间为．

【小问2详解】

当时，，

所以，所以，

所以当或即或时，取得最小值，最小值是1，

当即时，取得最大值，最大值是2．

18. 已知，集合，．

（1）求的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】（1）根据指数和对数的运算法则化简求解即可；

（2）先化简集合，在利用集合交集的概念求解即可.

【小问1详解】

由题知

【小问2详解】

由解得，所以，

因为，所以，

当时，，解得；

当时，，即，要使则，解得，所以，

综上综实数的取值范围是．

19. 已知．

（1）求；

（2）若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角关系求解即可；

（2）根据三角函数的定义求解即可.

【小问1详解】

因

所以，

所以.

【小问2详解】

由正切函数的定义知，

又因为，所以，，所以．

20. 已知关于x的不等式．

（1）若不等式的解集为，求a，b的值：

（2）若，解不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析．

【解析】

【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系求解；

（2）根据相应方程两根的大小分类讨论求解．

【小问1详解】

原不等式可化为，

由题知，，是方程的两根，

由根与系数的关系得，解得．

【小问2详解】

原不等式可化为，

因为，所以原不等式化为，

当，即时，解得；当，即时，解得；

当，即时，解得；

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．

21. 近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而，这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求出2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

（2）2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大?最大利润是多少?

【答案】（1）   

（2）当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元

【解析】

【分析】（1）由利润=销售额-成本，讨论x的范围，得出函数关系式；

（2）利用二次函数和不等式分别得出函数的最值，即可得出最大利润．

【小问1详解】

当时，

，

当时，

，

所以.

小问2详解】

当时，

，当时，；

当时，

，

当且仅当时等号成立，

所以当时，，

所以当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元．

22. 已知函数．

（1）已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式；

（2）若函数有且只有一个零点，求a的值；

（3）设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）或；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）由奇函数定义求解；

（2）化简方程然后分类讨论得方程根的情况，注意检验；

（3）由定义确定函数的单调性，得函数最大值与最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解．

【小问1详解】

由题知，当，，

设．则，所以，

因为是奇函数，所以，

又因为

所以；

【小问2详解】

令，整理得，

因为有且只有一个零点，

所以方程有且只有一根或两相等根，

当时，，符合题意，

当时，只需

所以，此时，符合题意

综上，或．

【小问3详解】

在上任取，且，则，．

所以，所以在上单调递减．

所以函数在上的最大值与最小值分别为，．

所以，

即，对任意成立．

因为，所以函数的图象开口向上，对称轴，

所以函数在上单调递增，

所以当时，y有最小值，所以，解得．

所以a的取值范围为．