初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.3 等腰三角形的性质定理当堂达标检测题

第2章　特殊三角形

2.3　等腰三角形的性质定理

第1课时　等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质

基础过关全练

知识点1　等边对等角

1.(2022黑龙江齐齐哈尔中考)如图所示,直线a∥b,点A在直线a上,点B在直线b上,AC=BC,∠C=120°,∠1=43°,则∠2的度数为(　　)

A.57°　　　　B.63°　　　　C.67°　　　　D.73°

2.(2023浙江宁波鄞州期中)如图,在△ABC中,∠BAC=110°,AB=AC,AD⊥BC于点D,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连结AF,则∠FAD的度数为(　　)

A.20°　　　　B.30°　　　　C.35°　　　　D.70°

3.【易错题】(2022云南中考)已知△ABC是等腰三角形,若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是　　　　.

4.【教材变式·P58课内练习T2】如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC的中点,D,E分别为AB,AC上的点,且BD=PC,CE=BP,若∠DPE=44°,则∠A的度数为　　　. 

知识点2　等边三角形的性质

5.(2022海南中考)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　)

A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140°

6.(2023浙江金华东阳期中)如图,在四边形ABCD中,连结AC,BD,若△ABC是等边三角形,AB=BD,∠ABD=20°,则∠BDC的度数为(　　)

A.50°　　　　B.60°　　　　C.70°　　　　D.75°

能力提升全练

7.(2022湖北鄂州中考,5,★★☆)如图,直线l1∥l2,点C、A分别在l1、l2上,以点C为圆心,CA长为半径画弧,交l1于点B,连结AB.若∠BCA=150°,则∠1的度数为(　　)

A.10°　　　　B.15°　　　　C.20°　　　　D.30°

8.(2022山东烟台中考,7,★★☆)如图,某海域中有A,B,C三个小岛,其中A在B南偏西40°方向上,C在B南偏东35°方向上,且B,C到A的距离相等,则小岛C相对于小岛A的方向是(　　)

A.北偏东70°　　　　B.北偏东75°

C.南偏西70°　　　　D.南偏西20°

9.【截长补短法】(2023浙江杭州第十四中学附属学校期中,15,★★☆)如图,AD是△ABC的高,且AB+BD=DC,∠BAD=40°,则∠C的度数为　　　　.

10.【易错题】(2022浙江绍兴中考,11,★★★)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连结CD,则∠BCD的度数是　　　　.

11.(2023浙江杭州绿城育华学校期中改编,22,★★☆)如图,△ABC是等边三角形,P,Q分别是边AC,BC上的点,且AP=CQ,AQ,BP交于点O.

(1)求证:△BAP≌△ACQ;

(2)求∠BOQ的度数.

12.【分类讨论思想】(2023浙江杭州十五中教育集团期中,23,★★★)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A<90°,CD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分线,CD与BE交于点P.当∠A的大小变化时,△EPC的形状也随之改变.

(1)当∠A=36°时,求∠BPD的度数;

(2)设∠A=α,∠EPC=β,求β与α的关系式;

(3)在(2)的条件下,当△EPC是等腰三角形时,求∠ACB的度数.

素养探究全练

13.【抽象能力】如图,在等边△ABC中,AB=12 cm,现有M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边按顺时针方向运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达B点时,M,N同时停止运动,设运动时间为t s.

(1)当t为何值时,M,N两点重合?两点重合在什么位置?

(2)当点M,N在BC边(包含B,C)上运动时,是否存在AM=AN?若存在,请求出此时点M,N运动的时间;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

基础过关全练

1.D　∵AC=BC,∠C=120°,

∴∠ABC=(180°-∠C)=×(180°-120°)=30°,

∵a∥b,∴∠2=∠ABC+∠1=30°+43°=73°.故选D.

2.A　∵AB=AC,∠BAC=110°,∴∠B=(180°-110°)÷2=35°,

∵EF垂直平分AB,∴BF=AF,

∴∠BAF=∠B=35°,∴∠AFC=∠BAF+∠B=70°.

∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,

∴∠FAD=180°-90°-∠AFD=90°-70°=20°.故选A.

3.答案　40°或100°

解析　当∠A为顶角时,△ABC的顶角度数是40°;当∠A为底角时,△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°.所以△ABC的顶角度数是40°或100°.

4.答案　92°

解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵BD=PC,CE=BP,

∴△PBD≌△ECP,∴∠BPD=∠PEC,∵∠BPE=∠C+∠PEC,

∴∠BPD+∠DPE=∠C+∠PEC,

∴∠C=∠DPE=44°,∴∠A=180°-2×44°=92°.

5.B　∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,∵∠1=140°,

∴∠AEF=∠1-∠A=80°,∴∠BEF=180°-∠AEF=100°,

∵m∥n,∴∠2=∠BEF=100°.故选B.

6.C　∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,

∵∠ABD=20°,AB=BD,∴∠DBC=40°,BD=BC,

∴∠BDC=∠BCD==70°.故选C.

能力提升全练

7.B　由作图得,CA=CB,∴∠ABC=∠CAB,∵∠BCA=150°,

∴∠ABC=(180°-∠ACB)=×(180°-150°)=15°,∵l1∥l2,∴∠1=∠ABC=15°.故选B.

8.A　如图,由题意得,∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+35°=75°,

AD∥BE,AB=AC,∴∠C=∠ABC=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∵AD∥BE,∴∠DAB=∠ABE=40°,∴∠DAC=

∠DAB+∠BAC=40°+30°=70°,∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°.故选A.

9.答案　25°

解析　如图,在线段DC上取一点E,使DE=DB,连结AE，

∵AD是△ABC的高,∴AD⊥BC,∴AD垂直平分BE,∴AB=AE,

∴∠AEB=∠B=180°-90°-∠BAD=50°,∵AB+BD=DC,DE+CE=DC,

∴AB=CE,∴AE=CE,∴∠EAC=∠C,∴∠AEB=

∠EAC+∠C=2∠C,∴∠C=∠AEB=25°.

10.答案　10°或100°

解析　该题易忽略考虑点D在BA的延长线上的情况.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,∴∠ACB=180°-40°-80°=60°,由作图可知,AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=×(180°-80°)=50°,

∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°;

由作图可知,AC=AD',∴∠ACD'=∠AD'C,

∵∠ACD'+∠AD'C=∠BAC=80°,∴∠AD'C=40°,

∴∠BCD'=180°-∠ABC-∠AD'C=180°-40°-40°=100°.

综上所述,∠BCD的度数是10°或100°.

11.解析　(1)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,∠BAP=∠ACQ=60°,

在△BAP和△ACQ中,

∴△BAP≌△ACQ(SAS).

(2)∵△BAP≌△ACQ,

∴∠ABP=∠CAQ,

∴∠BOQ=∠ABO+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=∠BAC=60°.

12.解析　(1)∵AB=AC,∠A=36°,

∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°,

∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,

∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=36°,

∴∠BPD=180°-90°-36°=54°.

(2)∵∠A=α,AB=AC,∴∠ABC=(180°-α)÷2=90°-,

∴∠ABP=∠ABC=45°-,

∴β=∠EPC=∠BPD=180°-90°-=45°+.

即β与α的关系式为β=45°+.

(3)①若EP=EC,则∠ECP=∠EPC=β,

∵∠ABC=∠ACB=90°-,∠ABC+∠BCD=180°-90°=90°,

∴90°-=90°,

∴90°-+90°-=90°,解得α=36°,

∴∠ACB=90°-=72°;

②若PC=PE,则∠PCE=∠PEC=(180°-β)÷2=90°-,

∵∠ABC+∠BCD=180°-90°=90°,

∴90°-+90°-=90°,

∵β=45°+,∴90°-+90°-=90°,

解得α=°,∴∠ACB=90°-°;

③若CP=CE,则∠EPC=∠PEC=β,

∴∠PCE=180°-2β,

∵∠ABC+∠BCD=180°-90°=90°,

∴90°-+90°--(180°-2β)=90°,

∵β=45°+,

∴90°-+90°-=90°,

∴α=0°,不符合题意.

综上,当△EPC是等腰三角形时,∠ACB的度数为72°或°.

素养探究全练

13.解析　(1)由题意得,t×1+12=2t,解得t=12,

∴当t=12时,M,N两点重合,此时两点在点C处重合.

(2)当点M、N在BC边上运动时,存在AM=AN.

理由:由(1)知经过12 s,M、N两点在C处重合,此时AM=AN;

当点M、N都在BC上时,

如图,设△AMN是等腰三角形,∴AN=AM,

∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,

∵△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B,AC=AB,

在△ACM和△ABN中,

∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN,

∵CM=(t-12)cm,NB=(36-2t)cm,

∴t-12=36-2t,解得t=16.

∴当点M、N在BC边上运动时,存在AM=AN,此时运动时间为

12 s或16 s.