江苏省徐州市邳州市新世纪学校2024届高三上学期第一次月考数学试题

邳州市新世纪学校2023~2024学年度第一次月考

高三数学

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（）

A. 2 B. 4 C.  D.

3. 函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，则（）

A.  B.  C. 2 D. －2

5. 函数在的图象大致为（）

A.  B.  C.  D.

6. 若，则（）

A.  B.

C.  D.

7. 已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（）

A.  B.  C. 3 D. 4

8. 若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．下列命题正确的有（）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. ，则

10. 下列命题中正确的是（）

A. 的最小值是2

B. 当时，的最小值是3

C. 当时，的最大值是5

D. 若正数满足，则的最小值为3

11. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 的最大值为2

C. 在区间上单调递增

D. 为偶函数

12. 已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（）

A. 在上有极小值 B. 的最小值为

C. 在上单调递增 D. 的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设，若，则的取值范围是__．

14.已知，则___________.

15. 若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______.

16. 已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为_________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，，命题，命题.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18. 已知函数，记函数的最小正周期为，向量，，，且．

（1）求在区间上的最值；

（2）求的值．

19. 已知函数是定义域为R的偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围.

20.（本小题满分12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①；②；

③.

在中，内角，，的对边分别是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周长的取值范围.

21. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：对任意的.

22. 已知函数．

（1）若，求的最小值；

（2）若方程有解，求实数a的取值范围．

邳州市新世纪学校2023~2024学年度第一次月考

高三数学

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A【分析】解不等式得到，求出交集.

【详解】，或，故.

2. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（）

A. 2 B. 4 C.  D.

【答案】D

【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.【详解】设扇形的弧长为，半径为，

所以扇形的面积为，所以，

又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号.

故选：D.

3. 函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B【分析】根据函数解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，可得，，

可得，所以函数的零点所在的大致区间是．

【点睛】本题主要考查了零点的存在定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4. 已知，，则（）

A.  B.  C. 2 D. －2

【答案】B【分析】根据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.

【详解】因为所以由得，因此，

由二倍角公式可得

，故选：B

5. 函数在的图象大致为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解.

【详解】， ，定义域关于原点对称，

，

是奇函数，排除A；

当时，，排除C；

当时，中，故，排除B.

故选：D

6. 若，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，再结合对数函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】因为，令，其中，

因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，即，故，则，

所以，，则，A错B对；无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错.故选：B.

7. 已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（）

A.  B.  C. 3 D. 4

【答案】A【分析】根据题目条件得到，故的一个周期为8，从而得到，计算出，得到答案.

【详解】因为，所以，即，

又，故，即①，

用代替得②，

由①②得，故的一个周期为8，故，

又得，

时，，故，故.故选：A

8. 若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上奇函数得到与0的大小，从而解不等式.

【详解】令，，

则，当时，，

故在上单调递减，

则当时，，因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，

当时，所以，解得，

又，故不等式的解集为.故选：B

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．下列命题正确的有（）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. ，则

【答案】BD

【解析】对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，所以，故D正确.

故选：BD.

10. 下列命题中正确的是（）

A. 的最小值是2

B. 当时，的最小值是3

C. 当时，的最大值是5

D. 若正数满足，则的最小值为3

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，①，

但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.

B选项，当时，，

，

当且仅当时等号成立，所以B选项正确.

C选项，当时，，

所以，

当且仅当时等号成立，所以C选项正确.

D选项，是正数，

，

当且仅当时等号成立，所以D选项正确.

故选：BCD

11. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 的最大值为2

C. 在区间上单调递增

D. 为偶函数

【答案】BC

【分析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结论．

【详解】由图知，的最小正周期，则.

由，得.由，得，则，所以.

当时，，则单调递增.

因为，则不是偶函数，故选：BC．

12. 已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（）

A. 在上有极小值 B. 的最小值为

C. 在上单调递增 D. 的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据导数的运算法则结合求得函数的表达式，同时求得，然后利用导数确定，的单调性和最值．

【详解】因为函数及其导函数满足，

则，即，令（为常数），

所以，，因为，可得，所以，，，

，时，，递减，时，，递增，

对于A选项，易得时达到极小值；A对

对于B选项，，B错；

，

对于C选项，当时，，所以上单调递增，C对；对于D选项，，令，可得，

当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，

所以，，D对.故选：ACD．

【点睛】难点点睛：对于已知等式中含有，的式子，难点在于构造新函数，已知条件转化为新函数的导数的关系式，从而得出新函数的性质．常见的新函数有，，，，，．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设，若，则的取值范围是__．

【答案】

【分析】根据同角同角三角函数的基本关系和正余弦函数图象的性质即可求解.

【详解】因为，

所以，又因为，所以的取值范围是．

故答案为:.

14.已知，则___________.

【答案】【解析】因为，所以

所以，故答案为：.

15. 若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______.

【答案】或

【解析】

【分析】设切点，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程化简，得到关于的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由可求得答案.

【详解】，设切点，则切线的斜率为，

故切线方程为，

取，代入，得，

∵，∴有两个不等实根，

故，解之，得或，

故答案为：或

16. 已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为_________.

【答案】12

【分析】不妨设，由函数的单调性化简不等式为，引入函数，问题转化为恒成立，由此只要用导数确定的单调性，再由分离参数法转化为求函数的最值，得出结论．

【详解】因为，函数在上单调递增，不妨设，

则，可化为，

设，则，

所以为上的减函数，即在上恒成立，

等价于在上恒成立，设，所以，

因，所以，所以函数在上是增函数，

所以（当且仅当时等号成立）.

所以.

故答案为：12.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题中含有两个自变量以及其它参数，解题方法有两种，

（1）不妨设，转化不等式后利用函数的单调性把问题转化为新函数的单调性：如，再解决新函数的单调性得出参数范围；

（2）不妨设，然后引入参数（，已知关系转化为关于的关系式，从而利用换元法变为关于的关系式（降元，即二元变一元），再由新函数的性质求得参数范围．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，，命题，命题.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据元素和集合的关系列式可求出结果；

（2）根据且是的真子集列式，解不等式组可得结果.

【小问1详解】

，且，

∴，解得.

即实数的取值范围是.

【小问2详解】

，得或，

由，得，，

是的充分不必要条件，∴是的真子集，

所以（等号不能同时取得），解得，

又或，所以.

实数的取值范围是.

18. 已知函数，记函数的最小正周期为，向量，，，且．

（1）求在区间上的最值；

（2）求的值．

【答案】（1）最大值是4，最小值是2

（2）

【解析】

【分析】（1）把函数化为一个角的一个三角函数形式，再利用正弦函数性质得最值；

（2）由三角函数周期求出，再由平面向量数量积的坐标运算公式求出，化简待求式得，最后由同角关系式可得结论．

【小问1详解】

，

∵，∴，

∴当，即时，取最大值4；当，即时，取最小值2．

【小问2详解】

∵，故，

∴，

∴，又.

∴

19. 已知函数是定义域为R的偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）2    （2）

【解析】

分析】（1）由偶函数定义求得参数值；

（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得范围．

【小问1详解】

由偶函数定义知：，

即，

∴对成立，.

【小问2详解】

由（1）得：；

∵，∴，当且仅当即时等号成立，

∴，

∴，即，解得：或，

综上，实数的取值范围为.

20.（本小题满分12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①；②；

③.

在中，内角，，的对边分别是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周长的取值范围.

解：（1）选①，，由正弦定理得

，即

∴

∵∴

选②，由得

，

∵，∴，∴，∴

选③，由

∴

∴，

∵，

∴，∵，∴

（2）解法一：由（1）可知，又，由余弦定理得

∴

即，当且仅当时取等号

又

∴周长的取值范围为

解法二：由（1）知，又正弦定理

得

∴周长，

又，∴

周长，

又，∴

∴周长的取值范围为

21. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：对任意的.

【答案】（1）在上单调递减，上单调递增

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和单调性的关系，即可求解；

（2）不等式转化为证明，再构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式.

【小问1详解】

由题可知函数的定义域为

令得或（舍去）

所以，在上单调递减，上单调递增.

小问2详解】

，

要证明，只用证明，

令，

设，，即单调递增，

，，

可得函数有唯一的零点且，满足，

当变化时，与的变化情况如下，

所以，

因为，因为，所以不取等号，

即，即恒成立，

所以，恒成立，

所以，对成立.

22. 已知函数．

（1）若，求的最小值；

（2）若方程有解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）时，设，利用导数判断出的单调性可得答案；

（2）即有解，构造函数设，利用导数判断出的单调性，可得方程有解转化为在上有解，再构造函数，利用导数求出值域可得答案．

【小问1详解】

当时，，

，

设，则，

在上单调递增，且，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以；

【小问2详解】

即，

即，

设，则，

，设，则，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以，即，在上单调递增，

所以方程有解即在上有解，

有解，即有解，

设，则，

时，，单调递增，

时，，单调递减，所以，

当时，，

所以，即实数a的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：构造函数利用导数判断出单调性及求出最值是本题解题的关键点，构造函数是求解导数问题的常用策略，而构造函数的方法技巧较为众多，需要结合具体问题合理选用.