浙江省嘉兴市八校联盟2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部是（    ）

A. 3 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的相关概念，即可判断.

【详解】根据虚部的定义，可知，复数的虚部是.

故选：B

2. 已知向量，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量减法的坐标运算可得答案.

【详解】，

.

故选：A.

3. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ）

A. 圆柱 B. 棱柱 C. 棱台 D. 圆台

【答案】D

【解析】

【分析】根据三视图确定正确选项.

【详解】由三视图可知，该几何体上下底面是圆且两个圆的半径不相同，所以该几何体是圆台.

故选：D

4. 已知，则（    ）

A. 10 B. 2 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求出再求模长可得答案.

【详解】，

则.

故选：C.

5. 中，点为上的点，且，若 ，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量，结合条件即可求得，可得答案.

【详解】由题意可得

,

又，故，

故，

故选:B

6. 若，且，那么是（    ）

A. 等边三角形 B. 等腰三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论.

【详解】因为，则，可得，

由余弦定理可得，因为，所以，，

因为，则，整理可得.

所以，为等边三角形.

故选：A.

7. 在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（    ）

A. -15 B. -12 C. -6 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的线性运算将用，表示，再由向量数量积运算可得结果.

【详解】

，，

，,

,

又,

，又，，，

.

故选：B.

8. 一个棱长为的正四面体中内切一个球，若在此四面体中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据球的几何性质，结合正四面体的性质、三棱锥的体积公式、等积法进行求解即可.

【详解】设内切球O的半径为r，球的半径为R.设此棱锥的高为，底面的中心为，

因为正四面体的棱长为，所以底面的，，

所以三棱锥的表面积为.

在底面中，，

则棱锥高，

所以三棱锥的体积，

由等积法知，得.

用一平行于底面ABC且与球上部相切的平面截此三棱锥，

下部得到一个高为的棱台，那么截得的小棱锥的高为，

即为高的，则此小棱锥的内切球半径即为球的半径，

根据相似关系，截得的棱锥的体积为，

表面积为，

根据等体积法，，解得.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用球和正四面体的性质、等积法.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，，则

C. 若，，则，是异面直线

D. 若，，，则或，是异面直线

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据面面平行的性质、线面平行的性质逐一判断即可.

【详解】A：当时，，可以相交、平行、异面，因此本选项不正确；

B：当，时，直线可以在平面内，因此本选项不正确；

C：当，时，，是可以是相交直线、平行直线、异面直线，因此本选项不正确；

D：因为，，，所以直线，是两条没有交点的直线，

所以或，是异面直线，因此本选选项正确，

故选：ABC

10. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ）

A. 是钝角三角形

B. 的面积是的面积的2倍

C. 是等腰直角三角形

D. 的周长是

【答案】CD

【解析】

【分析】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.

【详解】根据斜二测画法可知，

在原图形中，O为的中点，，

因为，

所以，,，

则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：

所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.

在中，，

过作轴垂线，垂足为，，

所以，

所以的面积是，的面积是，

的面积是的面积的倍，故B错误.

故选：CD

11. 已知向量不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数的值可以是（    ）

A. 2， B. ， C. 2， D. ，

【答案】CD

【解析】

【分析】由，，三点共线，可得存在唯一实数，使，从而可得到的关系，进而可得答案

【详解】因为向量不共线，，，且，，三点共线，

所以存在唯一实数，使，

所以，所以，

所以，

故选：CD

12. 在平面内，设，，，，，，，则以下结论正确的是（    ）

A.  B. 的取值范围是

C. 的最大值是5 D. 的最小值是

【答案】AC

【解析】

【分析】利用可判断A；，当，，都同向时可得长度最大值，当，同向，且与方向相反时可得的长度最小值可判断B，利用，当，同向，且与同向时，可得最小值可判断D，当，同向，且与反向时可得最大值可判断C.

【详解】，，，，，，，

，即，故A正确；

，当，，都同向时，的长度最大为，

当，同向，且与方向相反时，的长度最小为1，

即的取值范围是，故B错误；

，

则当，同向，且与同向时，最小为，故D错误；

当，同向，且与反向时，最大为，故C正确.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：由，当，，都同向时，的长度最大，当，同向，且与方向相反时，的长度最小.

非选择题部分

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的表面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用圆锥表面积公式计算作答.

【详解】依题意，该圆锥的表面积为（）.

故答案为：

14. 彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________.

【答案】

【解析】

【分析】在中，由正弦定理可得，再由可得答案.

【详解】因为，，所以，

在中，由正弦定理可得，可得，

在直角三角形中，，

所以.

故答案为：.

15. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据投影向量的定义计算可得答案.

【详解】向量在向量上的投影向量为.

故答案为：.

16. 已知中角所对的边为，点在上，，记的面积为的面积为，则___________.

【答案】2

【解析】

【分析】利用面积公式和已知面积比可以求得，从而得到，在和中同时应用正弦定理并结合得到．设，则，，在和中同时应用余弦定理并结合，消角求值；

【详解】设，则，

则，．

因为，所以．

在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

两式相比得．

设，则，，

在中，由余弦定理得，

所以①．

在中，由余弦定理得，

所以②，

联立①②得，所以．

故答案为：2．

四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：

（1）z是实数；

（2）z是纯虚数；

（3）z是复平面中对应的点位于第二象限.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据复数的概念列式可求出结果；

（2）根据复数的概念列式可求出结果；

（3）根据复数的几何意义可求出结果.

【小问1详解】

由题意得，所以；

【小问2详解】

由题意得，所以；

【小问3详解】

由题意得，所以.

18. 已知向量，．

（1）当且时，求；

（2）当，求向量与的夹角．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出，的坐标，再由条件可得，求出的值，再求的坐标，得出其模长.
（2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出的值，然后由向量的夹角公式可得答案.

【详解】（1）向量，，则，

由，可得

即，解得或

又，所以，则，则

所以

（2）由，，，则

由，可得，解得

所以，，

又，所以

19. 如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.

（1）求圆柱的侧面积和体积；

（2）若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.

【答案】（1）圆柱的侧面积为，体积为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式即可求解；

（2）将CE和ED转化到一个平面中，利用两点间线段最短即可求得最小值.

【小问1详解】

圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，

圆柱的侧面积.

圆柱的体积.

小问2详解】

将△PAC绕着PA旋转到使其与平面PAB共面，且在AB的反向延长线上.

∵，，

，，

∴在三角形中，

由余弦定理得，

∴CE＋ED的最小值等于.

20. 已知村庄在村庄的北偏东方向，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.

（1）求村庄之间的距离；

（2）求农贸市场到村庄的距离之和.

【答案】（1）6千米；   

（2）千米.

【解析】

【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；

（2）设，则，在中，由余弦定理求出,从而可求解.

【小问1详解】

由题意可得，.

在中，由正弦定理可得，

则.

即村庄，之间的距离为6千米.

【小问2详解】

村庄在村庄的正西方向，因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，

所以.

在中，设，则，

由余弦定理可得，

即，

化简得，解得或（舍去），

即.

所以农贸市场到村庄的距离之和为千米.

21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点.

（1）证明：面

（2）在上是否存在一点，使得面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）上存在点，且，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据中位线定理作图，结合线面平行的判定定理，可得答案；

（2）根据等比例平行，结合线面平行判定以及面面平行判定，利用面面平行性质，可得答案.

【小问1详解】

证明：连交于，因为为中点，所以是中位线，

所以.又面，面.

所以面.

【小问2详解】

上存在点，且，使得面，

证明：上取点，且，

因为为上的点，且，

所以在中，，所以，

因为面，面，所以面，

又在中，，所以，

因为面，面，所以面，

因为，面，所以面面，

因面，所以面.

22. 在中，有，其中、、分别为角、、的对边.

（1）求角的大小；

（2）设点是的中点，若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；

（2）延长到满足，连接、，则为平行四边形，在中，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，在中利用三角形的三边关系，综合可得出的取值范围.

【小问1详解】

解：在中，因为，

由正弦定理可得，

因、，则，，

所以，，则，

所以，，故.

【小问2详解】

解：如图，延长到满足，连接、，则为平行四边形，

则，，，，

在中，由余弦定理得：，

则，可变形为，即，

由基本不等式可得，即，

可得，当且仅当时，等号成立，

由三角形三边关系可得，则，