江苏省淮安市2023-2024学年高三上学期开学调研数学试题及答案

2023-2024学年度高三年级第一次调研测试

数学试题

总分：150分   时间：120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A．     B．    C．     D．

2．“”是“函数是奇函数”的（    ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

3．己知长方形ABCD的边，E为BC的中点，则（    ）

A．        B．14         C．          D．18

4．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（    ）

图1        图2            图3         图4

A．     B．    C．     D．

5．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：）与位移y（单位：）之间满足函数关系：，则这个简谐运动的振幅是（    ）

A．         B．         C．         D．

6．函数与直线相切，则实数a的值为（    ）

A．1          B．2         C．e          D．

7．球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为（    ）

A．         B．         C．         D．

8．己知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，若，则（    ）

A．          B．            C．88          D．90

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．己知样本中的人数为20人，则以下说法正确的是（    ）

A．      B．

C．估计该样本数据的平均数为74

D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人

10．若，曲线C的方程为，则（    ）

A．当时，曲线C表示圆

B．当时，曲线C表示两条直线

C．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

D．当时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线

11．设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的有（    ）

A．如果，那么   B．如果，那么

C．如果，那么    D．如果，那么

12．设函数，对于任意给定的实数K，定义函数，则下列结论正确的有（    ）

A．函数的零点有3个           B．，使

C．若，则     D．若存在最大值，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的值为___________．

14．在我国长江中下游地区，每年的6月中下旬到7月中旬为梅雨季节，这段时间阴雨天气较多．这个地区的一个市级监测资料表明，该市一天为阴雨天气的概率是0.8，连续两天为阴雨天气的概率是0.72，己知某天为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是___________．

15．定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为___________．

16．椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，．

（1）若的面积，求a；

（2）若D为的角平分线与边BC的交点，，求a，

18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，将沿BD折起到的位置，使．

（1）求证：平面平面ABD；

（2）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

己知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，．

20．（本小题满分12分）

已知等差数列的前n项和为，．数列的前n项和为，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的最大项．

21．（本小题满分12分）

某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．

（1）求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；

（2）设甲游戏结束时取走的奖品个数为X，求X的概率分布与数学期望；

（3）设乙游戏结束时取走的奖品个数为Y，求Y的数学期望．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，函数有两个极小值点，求实数a的取值范围；

（2）若，求证：．

2023-2024学年度高三年级第一次调研测试

数学试题答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．B  2．C  3．A  4．D  5．C  6．B  7．C  8．B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9．ABC  10．AB  11．BC  12．BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．    14．0.9   15．    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1），        2分

因为，所以，

则，所以．                4分

解法二：的高，               2分

所以，则．                              4分

（2）因为AD是的角平分线，所以，

设，则．

在中，因为，所以，                6分

由内角和定理，，所以．        8分

在中，由正弦定理得，则．       10分

18．（1）证明：如图，取BD中点O，连接OA，OP．

因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，所以、是边长为2的正三角形，

因为O是BD中点，所以，                      2分

因为，所以，同理可得，因为，

所以，则，由二面角定义可得平面平面ABD．               5分

或：又因为，平面ABD，，所以平面ABD，

因为，所以平面平面ABD．                        5分

（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，           7分

设平面PAD的一个法向量为，

由得，

令得，则，                       10分

设直线AB与平面PAD所成的角为，

则．

所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为．                   12分

注：第二问用等积法、综合法等方法解答同样给分．

19．（1）因为，所以．          1分

①当时，在单调递减；                    3分

②当时，由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．                              6分

（2）当时，，

要证明，只要证，即证，             8分

设，则，令得，列表得

所以，即，所以.                  12分

20．（1）设等差数列的首项为，公差为d，           11分

则，所以，所以．         3分

因为，当时，，则，所以；              4分

当时，，所以，

则构成首项为1，公比为2的等比数列，所以．

（2）因为，所以，                   7分

当时，，

因为在时单调递减，所以，

所以，当时，，即，所以，               11分

所以数列的最大项为．                      12分

注：第二问解方程组得，结合得最大项为同样给分．

21．（1）因为每个箱子中放入的奖品个数满足，

所以，则，所以的概率分布为：

                                                                                     2分

设事件A为甲能从1号箱子中取走一个奖品，则，

所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为                   4分

（2），因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为，所以，

所以，，X的概率分布为：

                                                                                        8分

所以X的数学期望为．

或．                                                    9分

（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为，所以，所以Y的数学期望为．               12分

22．（1）因为所以，令得，

则在上单调递减，在上单调递增，所以．

①当，即时，在上单调递增，

因为，所以使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以仅有一个极小值点，不合题意．                                   2分

②当，即时，．

设，则，所以在上单调递减，则．

当时，，所以，因为，所以，则；

当时，，所以，则，所以．

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以，使，

所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增．             4分

因为有两个极小值点，

所以为的极小值点，且时，为的极小值点，

所以，即，则，所以，

此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，上单调递增，

所以，在及处取得极小值，实数a的取值范围是．                6分

（2）因为，所以．

则，即，

因为，则， 8分

令，则，令，

则，所以在单调递增，

因为，所以使得，

所以在单调递减，单调递增，                           10分

又，

所以，即．                     12分